化二次型为标准型的方法

化二次型为型的方法 二、 二次型及其矩阵示 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax2?2bxy?cy2?f. (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度?，作转轴(反时针方 '' ??x?xcos??ysin? 向转轴) ? (2) '' ??y?xsin??ycos? 把方程(1)化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 x二次齐次多项式 设P是一数域，一个系数在数域P上的x1,x2,...,的nf(x,x,...n,?x)11a1?x12 2 12 2a1?xx?2...1n2?a1 n xx2?a?x22 2 ..2.n?2a?x x2n 2 nn ...na x 称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。 设x1,x2,...,xn;y1,y2,...,yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 ?x1?c11y1?c12y2?...c1nyn ? x?c21y1?c22y2?...c2nyn?2? ?x3?c31y1?c32y2?...c3nyn (4) ?...........???xn?cn1y2?cn2y2?...cnnyn 称为由x1,x2,...,xn到y1,y2,...,yn的一个线性替换，。如果cij?0，那么线性替换(4)就称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 aij=aji，i<j. 由于xixj=xjxi，所以 f(x1,x2,...,xn)?a11x1?2a12x1x2?...?2a1nx1xn?a22x2?...?2a2nx2xn?...?annxn n n2 2 2 =? i?1 ?a j?1 ij xixj 它的系数排成一个n*n矩阵 ?a11 a12?a1n? a21 a22?a2n A?? ??? ?an1 an2?anm??? ??? 它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。 ?x1?x2 令 X?? ????xn ??? ??? 于是二次型可写成f(x1,x2,...,xn)=X'AX 非退化线性替换可以表示 成X=CY 三、化二次型为标准形的方法之一:配方法 定理:数域P上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。 证明:下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。 我们对变量的个数做数学归纳法。 2 对于n=1，而二次型就是f(x1)?a11x1已经是平方和的形式了。现假定对n-1元二次 nn ij 型，定理的结论成立。再假设f(x1,x2,...,xn)?分三种情况来讨论: ??a i?1 j?1 xixj(aij=aji) 1)aii(i=1，2，„，n)中是少有一个不为零，例如a11?0。这时 n 21 nnn f(x1,x2,...,xn)=a11x +?a1jx1xj+?ai1xix1+? j?2 i?2 ? aijxixj i?2j=2 n 21 nn =a11x +2?a1jx1xj+? j?2 ? aijxixj 2 i?2j=22 =a11 ? ?x1??? ?x1?? n ? j?2n n ??n??1?1 a11a1jxj?-a11??a1jxj?+? ??j?2?i?2 2 n ? j=2 aijxixj =a11 这里 n ? j?2 n??1 a11a1jxj?+? i?2? n ? j=22 bijxixj， n ?? i?2j=2 bijxixj=-a ?1 11 n ?n? ??a1jxj?+??j?2?i?2 n ? j=2 aijxixj 是一个x2,...,xn的二次型。令 ? ?y1?x1??? ?y2?x2?...........???yn?xn n ? j?2 ? aa1jxj ?x1?y1??? 即?x2?y2 ?...........???xn?yn -1 11 n ?a j?2 -111 a1jxj nn 这是一个非退化线性替换，它使f(x1,x2,...,xn)=a11y+? 21? bijxixj。 i?2j=2 nn 有归纳法假定，对??b ij yiyj有非退化线性替换 i?2j?2 ?z2?c22y2?c23y3?...c2nyn? ?z3?c32y2?c33y3?...c3nyn222 能使它变成平方和d2z2?d3z3?...dnzn。 ? ?........... ?z?cy?cy?...cy n22n33nnn?n 于是非退化的线性替换 ?z1?y1 ? z?c22y2?c23y3?...c2nyn?2? ?z3?c32y2?c33y3?...c3nyn ?...........???zn?cn2y2?cn3y3?...cnnyn 222 就使f(x1,x2,...,xn)变成f(x1,x2,...,xn)=d2z2?d3z3?...dnzn由归纳法，即证。 2)所有aii都等于0，但至少一 a1j?0(j>1)，不是一般性，设a12?0。 令 ?x1?z1?z2 ? ?x2?z1- z2 它是非退化线性替换，且使 f(x1,x2,...,xn)=2a12x1x2?... ? ...........? ?x?z?nn 22 =2a12(z1?z2)(z1- z2)?...=2a12z1?2a12z2?... 这时上式右端是z1,z2,...,zn的二次型，且z1的系数不为0，属于第一 种情况，定理成立。 3)a11?a12?...a1n?0由于对称性，有a21?a22?...a2n?0 n n ij 2 这时f(x1,x2,...,xn)? ??a i?2j?2 xixj是n-1元二次型。根据归纳假设，它能用非退化线性替 换变成平方和。 这样就完成了定理得证明。 :虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。配方法需要通过观察来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。 四、化二次型为标准形方法之二:变换法(初等变换法) 由上述配方法即得: 定理 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。 即对于任意一个对称矩阵A，都可以找到一个可逆矩阵C使CTAC成对角形。 即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。 典型例题:用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。 f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x1x3 2 2 2 ?1 ? 解:f(x1,x2,x3)的矩阵为A=1 ???1? 120 ?1??0 ??1?? 以下为合同变换过程: ?1 ?1???1??1?0??0??1?0??0? 120010011 ?1???1*(?1)0?2??????1??0?? 0 ?1?? ?1??1?3????1*(1)??2?? ?1 ?0???1??1?0??0? 011 110010 ?1??1?2?????1*(?1)??1???1 ?0???1??1?0??0?010 011?110 ?1???1*(1)1?3??? ??1??0??0 ??1? 0? ? 0 ??1? 0???2*(?1)1?3??????2?? ?1 ?0??0? ?1?0??0?0?? 1?3???? ?2*(?1)??3?? ?1 ?0??0??1?0??0? ?110010 0?? 0 ?1??0??0 ??3?? ?1 ?0??0? ?110 1?? 0 ??1??1 ?0??0? ?110 1??0 ??1? ?1 ?0??0? ?110 2???1 ?1?? ?1? 因此D=0 ??0? 010 0??1??0，C=0????0?3?? ?110 2? ??1 ?1?? 令X=CY，得f(x1,x2,x3)=y12?y22?3y32 五、 化二次型为标准形方法之三:正交变换法(实二次型) 利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论: 对于任意一个n级是对称矩阵A，都存在一个n级是正交矩阵T，使 T-1 TAT=TAT 成对角形。 nn ij 定理 任意一个实二次型f(x1,x2,...,xn)? ??a i?1 j?1 xixj (aij=aji) 222 都可经过正交的线性替换变成平方和f(x1,x2,...,xn)=d2z2?d3z3?...dnzn 其中平方项系数d1,d2,...,dn就使矩阵A的特征多形式全部的根。 因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。正交变换更具实用性。如: 典型例题:作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲面, x?2y?3z?4xy?4yz?1 2 2 2 解:此方程左端的二项式部分为:f(x,y,z) =x2?2y2?3z2?4xy?4yz 下把它正交替换成标准型: ?1? 它的矩阵A=??2 ?0? ?22?2 0???1? ?2?E?A=2? 03?? 2 02 ??22 =(??2)(??5) ??3 (??1),A的全部特征值是2，5，-1.对于特征值2，求出(2E-A)X=0 的一个基础解系:?2? ??? 3 ??2??????1??1?1?1单位化，得?1?,把;对于特征值5，求出(5E-A)X=0 的一个基础解系:???3? ?2?????2?? ???3??1???3 ?1??? 2?? ?2????;对于特征值-1，?2??2,把?2单位化，得求出(-E-A)X=0的一个 基础解系:???3? ?2?????2?? ???3? ?2?32???2?? ?3?2,把?3单位化，得?3?? ???3?1???? ?1??3 ?2?? 3??1令T= ?3??2??3 13?23 ???? ????? 23 2??3 ?2? 2???1 ，则T是正交矩阵，且TAT=0 ?3??0??1? ?3? 050 0???1 ?0?? ?x*??x? ?*??? 令?y??T?y?，则f(x,y,z)=2x*2?5y*2?z*2 ?z??*????z? 所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为:2x*2?5y*2?z*2=1 由此看出，这是单叶双曲面。 六、化二次型为标准形方法之四:雅可比方法 (一)相关定义 1、 双线性函数定义 V是数域P上一个线性空间，f(α,β)是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α、β，根据f都唯一地对应于P中一个数f(α,β)。如果f(α, β)有下列性质: 1) f(α,k1?1+k2?2 )=k1f(?,?1)?k2 f(?,?2) 2) f(k1?1+k2?2,?)=k1f(?1,?)?k2f(?2,?) 其中?,?1,?2,?,?1,?2是V中任意向量，k1,k2是P中任意数，则称f(α,β)为V上的一个双线性函数。 例如:欧式空间V的内积是V上双线性函数。 2、 对成双线性函数的定义 f(α,β) 线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α,β都有f(α，β)=f(β,α),则称f(α,β)为对称双线性函数。 3、 度量矩阵定义 设f(α,β)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数。?1,?2,...,?n 是V的一组 ?f(?1,?1)? 基，则矩阵A=?? ?f(?,? n1)? ??? f(?1,?n)? ???叫做f(α,β)在?1,?2,...,?n下的度量矩阵。 f(?n,?n)?? 结论:双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。 (二)化二次型为标准型的雅可比方法 设V是数域P上一个n维线性空间，取定V的一组基?1,?2,...,?n，令 n α= ?x? i i=1 i ,β=?yi?i， i=1 x=(x1,...,xn)T,y=(y1,...,yn)T, 那么给定一个F上的n元二次型xTAy(其中A是n阶对称矩阵)，则由A可以定义一 ?f(?1,?1)?f(?1,?n)? ??A=??????f(?,??f(?,?? nn)??n1) 个V上对称双线性函数f(α,β)= xTAy，其中在固定的基 。反之亦然。 ?1,?2,...,?n 下，二次型xTAx和对称双线性函数f(α,β)=xTAy是互相唯 一确定的(都是由A确定的)。 这种方法的中心问题是:对在V的基?1,?2,...,?n下游二次型xTAx确定的对称双 线性函数f(α,β)=xTAy，满足条件 f(?i,?j)=0，对i?j(i,j=1,2,…,n) (bij)(f(?i,?j))是f(α,β) 我们知道，设{?1,...,?n}是V的另一组基，而B=n?n= (cij)关于这个基的矩阵，又设C=n?n是由基?1,?2,...,?n到基?1,...,?n的过渡矩阵，即 n ?i=?cij?j，i=1,„,n j?1 那么 B=CAC， (1) 即一个双线性函数关于V的两个基的两个矩阵式合同的。 由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。设可逆矩阵C使CAC成对角阵， ?b11 ?B=???0? ??? 0?? ?, (2) ?bnn?? T T 再设C是基?1,?2,...,?n到基?1,...,?n的过渡矩阵，由(1)式知，f(α,β)关于基?1,...,?n的矩阵是对角矩阵(2)式，即 f(?i,?j)=0，对i?j(i,j=1,2,„,n) 这表明，对于每一个对称双线性函数f(α,β)，都存在一个适当的 基?1,...,?n，使它可以写成如下形式 f(α,β)=zTBu=b11z1u1?b22z2u2?...?bnnznun, n n ii ii 其中?? ?z?,???u? i?1 i?1 ，从而它所确定的二次型zTBz可以写成标准形 2 2 2 T zBz=b11z1?b22z2?...?bnnzn 且二次型xTAx化为zTBz所作的非退化线性替换为 x=Cz， 其中C是由基?1,?2,...,?n到基?1,...,?n的过渡矩阵，它使CTAC=B。 于是，化二次型xTAx为标准形的问题就可以归结为上述关于对称双线性函数的“中心问题”，为此，需要寻找满足条件(2)得V的一个基?1,...,?n。 在Rn中，从一个基?1,?2,...,?n出发，利用施密特正交化方法，可以构 造一个与之等价的正交基?1,...,?n。该方法的实质就是设 ??1?c11?1, ? ??2?c12?1?c22?2, ? ...? ??n?c1n?1?c2n?2?...?cnn?n,? 然后用待定系数法求使得??i,?j?=0(其中 i?j，i,j=1,2,„,n)的系数cij。 为此我们先解决下问题: 1)设V是数域P上一个n维线性空间，f(α,β)=xAy使V上对称双线性函数，其中 n T ?1,?2,...,?n是V的一组基，α= ?x? i i=1 i ,β=?yi?i， i=1T T x=(x1,...,xn),y=(y1,...,yn), A是n阶对称矩阵，那么从基{?1,?2,...,?n}出发，是否能构造如下形式的基?1,...,?n: ??1?c11?1,? ??2?c12?1?c22?2, ? ?... ??n?c1n?1?c2n?2?...?cnn?n,? 使得 f(?i,?j)=0，对i?j(i,j=1,2,„,n) 解:将?j?c1j?1?c2j?2?...?cjj?j代入f(?i,?j)得 f(?i,?j)=f(?i,?j?c1j?1?c2j?2?...?cjj?j) =c1jf(?i,?1)?c2jf(?i,?2)?...?cjjf(?i,?j)， 所以，若对任意的i及j<i有f(?i,?j)=0，则对j<i，也有 f(?i,?j)=0， 又因双线性函数f(α,β)是对称的，则对j>i，有 f(?i,?j)=f(?j,?i)=0， 即?1,...,?n是所求的基。于是，问题归结为求待定系数c1i,c2i,...,cii,i?1,2,...,n,使向量 ?i?c1i?1?c2??...?ci? (3) i2ii ?i?满足条件 f(, j )=f(?j,?i)=0，j=1,2,„,i-1 (4) 显然，若?i满足f(?i,?j)=0，则?i的数量倍c?i也满足 f(c?i,?j)=0， 故为了确定?i，我们再要求?i满足条件 f(?i,?i)=f(?i,?i)=1。 (5) 这样，?i可以利用条件(4)(5)唯一确定了，将(3)式代入(4)和(5)，得到关于cji的线性方程组 ?c1if(?1,?1)?c2if(?1,?2)?...?ciif(?1,?i)?0 ? ?c1if(?2,?1)?c2if(?2,?2)?...?ciif(?2,?i)?0? (6) ?... ?cf(??)?cf(??)?...?cf(??)?0 i-1,12ii?1,2iii?1,i ?1i ?c1if(?i,?1)?c2if(?i,?2)?...?ciif(?i,?i)?1? 这方程组的系数行列式为 ?f(?1,?1)??i=?? ?f(?,? i1)? ??? f(?1,?i)? ???。 f(?i,?i)?? (aij)因此，当?i?0时，方程组(6)由唯一解，从而可求得向量?i。于是，当A==(f(?i,?i))n?n a11 a12?a1n 的顺序主子式?1=a11，?2= a11 a12a21 a22 ，?n= a21 a22?a2nan1 an2?anm 都不等于0时，可以由方程组(6)求出向量?i，i=1，2，„，n 2)由1)可知，在?i?0，i=1，2，„，n的情形下，由方程组(6)可求出上三角矩阵 ?c11 ? (cij)?C=n?n =? ?0? ??? c1n???, ?cnn?? 从而由(3)式求得?i，i=1，2，„，n，它们满足 bij=f(?i,?j)=0，对i?j，i,j=1,2,„,n 使得双线性函数f(α,β)关于基?1,...,?n的矩阵为 ?b11?T B=CAC=?? ?0? ??? 0???, ?bnn?? 是对角矩阵，由此可见，二次型xTAx可经非退化线性替换x=Cz，化 成标准形 T zBz=b11z1?b22z2?...?bnnzn 2 2 2 其中x=(x1,...,xn),z=(z1,...,zn). 下面计算bii=f(?i,?i)i=1，2，„，n，由(3)(4)(5)可得 bii =f(?i,?i)=f(?i,c1i?1?c2i?2?...?cii?i) TT =cii=f(?i,?i) 再由克拉默法则，由方程组(6)可解得 cii= ?i?1?i (其中令?0=1)。 因此，bii= ?i?1?i ，i=1，2，„，n 综上所述，我们可得以下结论: n n 设二次型? i?1 ?a j?1 ij xixj(其中aij=aji)中，顺序主子式?1，?2，„, ?n都不等于零， 则该二次型必可化为下面的标准形: ?0?1 z1? 2 ?1?2 z2?...? 2 ?n-1?n zn 2 其中?0=1。 这个化二次型为标准形的方法称为雅可比方法。 典型例题:用雅可比方法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替 换。 f(x1,x2,x3)=2x1?x2?x3?3x1x2?4x1x3 2 2 2 ??? 解:由于矩阵A=? ????? 2322 3210 ?2? ? 11 0?,它的顺序主子式?1=2，?2=?，?3=?4都?44?1??? 不等于零，故可用雅可比方法。 ?1??0??0??????? 设?1??0?，?2??1?，?3??0?，双线性函数f(α,β)关于基 ?0??0??1??????? ?1，?2，?3的矩阵为A,则 ? ???????=? ????? ??? 2322 3210 ?2??0? ??1??? ?f??1,?1?? A=?f??2,?1??f??,??31? f??1,?2ff ? ??2,?2???3,?2? f??1,?3f??2,?3f??3,?3 ??1?c11?设? 1??2?c12?1?c22?2 ???3 ?c13?1?c23?2?c33? 3系数c11可由条件f??1,?1?=1求出，即c11f??1,?1?=2c11=1 ?1? ??故c=1?22，故有??1 ?111?c111?2 ?1=?0? ?0????? 系数?c?c12f??1,?1??c22f??1,?2??0 12,c22可由方程组???12?1?求出， cf?,2? ?c22f??2,?2??1得?c?6?6? ?12 ?c22 ??8，故??c?? 212?1?c22?2=??8 ???0?? ? ?2c313?2c23?2c33?0?系数cc?3 13,23,c33可由方程组?c13?c23?0求出， ?2 ?2c13?c33?1???8?? ?c13?8?? 17??得??c12?17 ，故??12 ?23??3??17?? 17? ?1? ??c???33 ?117??17 ?? ?1??26由此可得，由基??? 1，?2，3到?1,?2,?3的过渡矩阵为C= ?0?8???0 ? 因此 f( 1 x, 2 x,经x)线性替换 X=CZ化成标?0?z2 ?12 ?22 111? 1 ?z2? = 2 z22 1?8z2? 17 z2 3 2 ?z33 8?17 ??12??17?1??17?? 准型 (三)雅可比方法在判定二次型的正定性问题上的应用 nn ij1)实二次型f(x1,x2,...,xn)???a i?1j?1xixj=xTAx是正定的充要条件是: 矩阵A的顺序主子式?1，?2，„, ?n全大于零; nn ij2)实二次型f(x1,x2,...,xn)? k??ai?1j?1xixj=xTAx是负定的充要条件是: (?1)?k?0,k?1,2,...n. 证:1)必要性显然成立，下正充分性。 由于矩阵A的顺序主子式全大于零，故该二次型必可化为 ?0 ?1z1?2?1?2z2?...?2?n-1?nzn 2 由于?i?1 ?i〉0(i=1,2,...,n)，故该二次型的正惯性指数等于n,所以它是正定的。 2)证明与1)类似，只是因(?1)?k?0,k?1,2,...n.故 所以该二次型的负惯性指数等于n,是负定的。 k?i?1?i<0(i=1,2,...,n)