梁的平面弯曲及微分方程公式

达。 本例分四段给出了各截面的剪力方程和弯矩方程，依据这些内力方程画出的剪力图和弯矩图，如图9.7所示。注意观察梁上作用载荷变化处，剪力图、弯矩图的变化。 综上所述，用截面法求内力的一般方法是： 由内力方程画内力图 §9.2 利用平衡微分方程作梁的内力图     梁整体处于平衡时，截取其中任一部分研究，均应处于平衡。即在梁中截取任一微段，此微段受力亦应是平衡的。从最一般情况出发，研究微元的平衡，将可得到关于梁内力分析的若干具有普遍意义的结果。 9.2.1 梁的平衡微方方程     由图9.8(a)为代表的任意梁中取出一长dx的微段，其受力如图9.8(b)所示。假定图示向上的分布截荷q(x)为正，左、右截面上的内力均按规定的正向表示。注意右侧截面上的内力与左侧相比较，一般应有一增量。列出该梁微元的平衡方程有：       q(x) 略去式中的二阶微量，得到：    --- (9-1)                 --- (9-2)               将(9-2)式再对x求导一次，有： --- (9-3)                 式中，M、FQ、q都是x的函数。 (9-3)式即为梁的平衡微分方程，它反映了梁上分布载荷集度q(x)、剪力FQ(x)和弯矩M(x)之间的微分关系。须要指出的是，其成立的条件是在所讨论的区间内，FQ(x)、M(x)必须为x的连续函数；即在区间内无集中力或集中力偶作用。     依据上述微分关系，分析梁上的分布载荷集度、剪力和弯矩之间的几何关系，可得出如下结论：式(9-1)表明，剪力图在任一点的斜率dFQ(x)/dx等于梁上相应点处的分布载荷集度q(x)；同样，式(9-2)表明，弯矩图在任一点的斜率dM(x)/dx等于剪力图上同一点处的剪力FQ(x)。     由平衡微分方程确定的这些关系，对于绘制剪力图和弯矩图时，判明其应有的曲线形状及检查所绘之剪力、弯矩图的正误极有用处。 9.2.2 剪力图、弯矩图的简捷画法     利用上节导出的平衡微分方程，可以判断出在不同分布载荷q作用下，梁各段剪力图与弯矩图的大致形状。在图9-8(a)所示坐标及前述内力FQ、M及载荷q的符号规定下，有如下结论： 1. 当梁上某段q=0时，该段剪力FQ为常数，故剪力图为水平直线。相应的弯矩M为x的一次函数，即弯矩图为斜直线。当FQ>0时，弯矩图为上升斜直线（斜率为正）；FQ<0时，弯矩图为下降斜直线（斜率为负）。 2. 当梁上某段q为常数时，该段剪力FQ为x的线性函数，剪力图为斜直线（斜率为q）。相应的弯矩M为x的二次函数，即弯矩图为二次抛物线。 当q>0时，剪力图为上升的斜直线；弯矩图为凹口向上的曲线(凹弧)。若FQ>0，弯矩图为上升凹弧；FQ<0，则弯矩图为下降凹弧。 当q<0时，剪力图为下降的斜直线；弯矩图为凹口向下的曲线(凸弧)。若FQ>0，弯矩图为上升凸弧；FQ<0，则弯矩图为下降凸弧。 3. 在集中力作用处(包含支承处)，剪力图因左右剪力不连续将发生突变，其突变值等于该处集中力之大小。当集中力向上时，剪力图向上跳跃；反之，向下跳跃。弯矩图将因该处两侧斜率不等（FQ不等）而出现转折。 4. 在集中力偶作用处，弯矩图因左右弯矩M不连续将发生突变，突变值即等于集中力偶矩的大小。当集中力偶顺时针方向作用时，弯矩图向上跳跃，反之向下跳跃。剪力图在集中力偶作用处并无变化。 5. 对于无集中力和集中力偶作用的梁段AB，平衡微分方程成立，由(9-1)、(9-2)式积分可得： ；             即：二截面间剪力FQ的增量∆FQ=FQB-FQA，等于该梁段上分布载荷图形的面积；二截面间弯矩M的增量∆M=MB-MA，等于该梁段上剪力图图形的面积。分布载荷q向上，∆FQ>0；剪力FQ为正，∆M>0。 上述结论可汇总于表9-1中。 表9-1 梁上载荷与Q、M图之关系 载荷 突变 转折 突变 无变化 q=0 q=const.>0 q=const.<0     F     M0 FQ FQ>0 FQ<0 FQ>0 FQ<0 FQ>0 FQ<0 M 依据以上分析，不必列出梁的剪力与弯矩方程即可简捷地画出梁的剪力与弯矩图。其基本步骤可归纳如下： 1） 确定控制点。梁的支承点、集中力与集中力偶作用点、分布载荷的起点与终点均为剪力图与弯矩图的“控制点”。 2） 计算控制点处的剪力与弯矩值。剪力FQ等于该点左侧梁上分布载荷图形的面积加上集中力（向上为正）；弯矩M等于该点左侧剪力图图形的面积加上集中力偶（顺时针为正）。 3） 判定各段曲线形状并连接曲线。依据表9-1确定各相邻控制点间剪力图与弯矩图的大致形状，并据此连接二相邻控制点处剪力或弯矩之值，画出梁的剪力图与弯矩图。 例9.5 试利用梁的平衡微分方程用简捷方法作例9.4之剪力图与弯矩图。 o 解：已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN.m， 参考正向 例9.4中已求出梁的支反力为： FAy=49kN；  FE=32kN 1）确定控制点。     控制点有A、B、C、D、E五处。 2）计算控制点的剪力，作剪力图。 剪力FQ等于该点左侧梁上分布载荷图形的面积加上集中力(参考正向如图）。有： FQA左=0， FQA右=FAy=49kN；(集中力作用处) FQB=-4q+FAy=13kN； FQC=-4q+FAy=13kN； FQD左=-4q+FAy=13kN； FQD右=-4q+FAy-F=-32kN；  (集中力作用处) FQE左=-4q+FAy-F=-32kN； FQE右=-4q+FAy-F+FE=0；  (集中力作用处) 作FQ图：AB段q=const.，剪力图为斜直线；且q<0，斜率为负。其余各段q=0，故各段均为水平线。 3）计算控制点的弯矩，作M图。 弯矩M等于该点左侧剪力图图形的面积加上集中力偶(参考正向如图），有： MA=0； MB=4m13kN+(49-13)kN4m/2=124 kNm； MC左=MB+13kN2m=150 kNm； MC右=MC左-M0=150 kNm-48 kNm(=102 kNm；  (集中力偶作用处) MD=MC右+13kN2m=128 kNm； ME=MD-32kN4m=0 作M图：AB段剪力图为斜直线，故弯矩图为抛物线；因为q<0，且FQ>0，弯矩图为上升凸弧。其它各段FQ为常数，弯矩图均为直线，BC、CD段FQ>0，弯矩图直线斜率为正；DE段FQ<0，弯矩图直线斜率为负。 得到的FQ、M图如图9.9所示。值得注意的是， BC、CD二段剪力Q相等，故对应在弯矩图中的二段直线斜率相同；B处左右二侧FQ相等，故弯矩图在该处斜率不变，即直线BC应与曲线AB在B处相切。 例9.6 梁AB和BC在B处铰接，如图9.10所示，试作其剪力图与弯矩图。 2.5qa2 解：1)求约束力： 参考正向     整体受力如图，有平衡方程： ∑Fy=FA-qa-F+FC=0 研究AB段受力，有平衡方程： ∑MB(F )=FAa-qa2/2=0 研究BC段受力，有平衡方程： ∑MB(F )=3FC a-Fa-qa2-MC=0 解得： FA=qa/2； FC=3qa/2；MC=5qa2/2 2）计算控制点的剪力，作FQ图。 剪力FQ等于该点左侧梁上分布载荷图形的面积加上集中力，参考正向如图。有： FQA=FA=qa/2； FQB=qa/2-qa=-qa/2； FQD左=FQB=-qa/2； FQD右=FQB-qa =-1.5qa；  (集中力作用处) FQE=FQD右=-1.5qa；                    FQC左=FQE=-1.5qa； FQC右=-1.5qa+FC=0；    (集中力作用处) AB段为斜直线，q<0，斜率为负；其余各段为水平线(q=0)；作剪力图如图9.10所示。注意在AB段内FQ由正变负，由剪力图几何分析可知，在x=a/2处，FQ=0。 3）计算控制点的弯矩，作M图。 弯矩M等于该点左侧剪力图图形的面积加上集中力偶（顺时针为正），有： MA=0； MB=0.5qa0.5a/2-0.5qa0.5a/2=0；  (由FQ图计算左侧面积而得) MD=MB-0.5qa2=-0.5qa2； ME左=MD-1.5qa2=-2qa2； ME右=ME左+qa2=-qa2；    (集中力偶作用处) MC左=ME右-1.5qa2=2.5qa2；  MC右=MC左+2.5qa2= 0      (集中力偶作用处) 可判定M图曲线形状如下： AB段为抛物线。在0x0，弯矩图为上升凸弧；在 a/2x0，剪力图为上升直线。截面A左边，FQA左=20kN (分布载荷图形面积)；A处有向下的集中力FA，故剪力图向下行25kN，即截面A右边有FQA右=FQA左+FA=-5kN。AB段为水平直线（注意集中力偶对剪力图无影响）。截面B处有向上的集中力FB=35kN，故剪力图应向上行35kN，即有，QB右=QA左+FB=30kN。BE段为水平直线；截面E处有向下的集中力F=30kN，FQ图下行回至零。 得到的剪力图如图9.11(b)所示。 3) 作弯矩图：端点C处无集中力偶，弯矩为零。CA段q>0，FQ>0，弯矩图为上升凹弧且MA=20kNm(截面以左FQ图的面积)。A处有集中力作用，弯矩图在该处出现转折。AD段，FQ=const<0，故弯矩图是斜率为负的直线，且MD左=(20-51) kNm=15kNm。D处有逆时针集中力偶作用，弯矩图应下行60kNm，即MD右=MD左-60kNm=-45kNm。DB段剪力与AD段相同，故弯矩图上是斜率与AD段相同的直线，且MB=MD右-15kNm=-60kNm。BE段是斜率为正的直线（FQ=const>0），且有ME=MB+(302) kNm=0。 得到的弯矩图如图9.11(c)所示。 qa q 例9.8 图9.12中梁用二块砖头在A、B处支承。梁上承受均布载荷q作用。为使梁中的弯矩值最小，距离a应为多大？ 解：1）求约束力。二支承处受力如图，有：                 FA=FB=qL 2) 作FQ、M图。 FQ图：全梁有q=const.<0，故剪力图各段均为斜率相同的下降直线。左端无集中力，剪力为零。截面A左边，FQA左=-q(L-a) (分布载荷图形面积）；截面A处有向上的集中力FA，故FQA右=FQA左+FA=qa。同样地，B处有：FQB左=FQA右-2qa=-qa；FQB右=FQB左+FB=q(L-a)；梁右端有FQ=0。得到的剪力图如图9.12所示。 M图：二端点处弯矩为零。因为全梁q<0，故剪力图上FQ<0的二段，弯矩图为下降凸弧；FQ>0的二段，弯矩图为上升凸弧。且MA=MB=-q(L-a)2/2；由剪力图可知在梁中点处有FQ=0，故弯矩M在该处应取得极值，且M中点=-q(L-a)2/2+qa2/2=qLa-qL2/2。得到的弯矩图亦示于图9.12中。 3）梁中弯矩值最小的条件：距离a过大，梁中点的弯矩值大；距离a过小，二支点处弯矩值大；故梁中弯矩值最小的条件为梁中点与二支点的弯矩值相等：即 q(L-a)2/2= qLa-qL2/2 整理后得：  a2-4La+2L2=0 解二次方程得： a= 0.586L  (另一根不合理，请读者自行分析)。 §9.3 梁的应力与强度条件 如前所述，本章讨论的是平面弯曲梁，即梁有纵向对称面，载荷均作用在此纵向对称面内。平面弯曲梁横截面上的内力一般有剪力和弯矩，为了进一步简化问题，先讨论平面纯弯曲梁内的应力，即梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况。 与分析杆的轴向拉压、圆轴的扭转一样，梁的弯曲应力和变形分析，同样要从静力平衡条件、变形的几何关系及材料的物理关系三方面进行。 9.3.1 变形几何分析 为考虑梁弯曲的变形几何关系，先做一个简单的实验以观察变形时的表面现象，然后再由表及里地推断其内部的变形规律。 (b) 在梁的侧面作垂直于其轴线的横向线AA和BB及平行于梁轴线的纵向线段aa和bb，然后在二端施加弯矩M，使梁发生纵向对称平面内的纯弯曲变形，如图9.13(b)所示。在变形后的梁上可以观察到：横向直线AA、BB仍然保持直线，只是相对转动了一个角度∆；但仍垂直于梁变形后的轴线；原来的纵向直线段aa与bb虽然发生了弯曲，但仍与横向线AA及BB正交。据此，可作出关于梁纯弯曲变形的横截面平面假设如下：   梁的横截面在变形后仍然保持为平面，且仍然垂直于梁的轴线。     进一步观察上述实验的表面现象，可以看出：纵向线段aa缩短，而线段bb伸长。 依据横截面的平面假设，不难得出如下两条关于梁变形的推论： (c) 图9.14 截面上的中性轴 推论1：梁弯曲变形时，凹部纵向纤维受压缩短，凸部纵向纤维受拉伸长。各层纵向纤维长度的变化应当是连续的，从受压到受拉的连续变化中必定存在一个纵向平面，其上纵向纤维的长度保持不变，这层纵向面即称为中性层或中性面。中性层与横截面的交线，称为该截面的中性轴，如图9.14所示。 进一步分析图9.15所示的梁段，建立坐标系如图所示(y轴为截面对称轴，z轴为截面中性轴)。考虑横截面AA与BB间梁的微段，弯曲后截面AA与BB将形成夹角d，直线AA与BB延长线的交点到中性层的距离，即梁微段中性层之曲率半径。显然，在中性面上有；那么，距中性轴坐标为y的纵向纤维变形前的长度aa=oo，变形后的长度aa=(-y)d，应变则为： ---(9-4) (9-4)式即平面纯弯曲梁应满足的变形几何关系。 由(9-4)式可进一步得到下述推论： 推论2：梁内纵向纤维的线应变的大小，与其到中性轴的距离成正比。 9.3.2 材料的物理关系     由梁弯曲实验现象还可观察到，横向直线段AA、BB的尺寸并未发生改变。故可以假设：梁内相邻的纵向纤维之间无相互挤压作用，即各纵向纤维都处于单向拉伸或压缩的状态。基于这一假设，当限于在线性弹性范围内考虑问题时，对每一纵向纤维均可应用单向拉压时的应力-应变关系。利用(9-4)式，即有： ---（9-5）                         上式表示梁横截面上各点的弯曲正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。 大多数金属材料拉伸和压缩下的弹性模量E值相等，于是可作出梁横截面上的应力分布如图9.16所示。 dA 至此可知，对于平面纯弯曲梁，横截面上只有由弯矩引起的正应力σ，横截面上任一点的弯曲正应力σ的大小与该点到中性轴的距离成正比。在到中性轴的距离y相等的各点处，弯曲正应力σ相等。弯矩为正时，中性轴以上y>0，故σ<0，是压应力；中性轴以下y<0，故σ>0，是拉应力。最大拉、压应力在梁截面上离中性轴距离最大的上下缘处。 9.3.3 静力平衡条件 在平面纯弯曲情况下，横截面上的内力只有弯矩。由图9.16之微段梁可见，作用在右端截面上内力的合力应与作用在微梁段左端的弯矩构成平衡力系。 作用于图9.16中右端截面上任一微面积上的力均沿x方向且等于σdA，故由静力平衡方程∑Fx=0有：                 将式(9-5)式代入，得到：             注意到式中材料的弹性模量E、梁弯曲变形后的曲率半径均不为零，故有：             上式表示横截面对z轴的静面积矩Sz=0，这是确定形心的条件。由此可以确定中性轴的位置，即中性轴必过横截面形心。     再由静力平衡方程∑Mz(F )=0，还可写出：           将(9-5)式代入，又可得到：           式中称为横截面对z轴的惯性矩，记作IZ，其量纲为[长度]4。对于给定截面几何的梁，可以通过积分算出其值。表9-2给出了若干简单截面几何形状图形对轴z的惯性矩。 表9-2  若干简单几何形状图形的惯性矩   图    形   ymax       Iz       Wz z y h b   h/2         H z y h b B     H/2     z y h b/2 H b/2 B   H/2     z y d   d/2         z y D d     D/2       利用横截面对z轴的惯性矩IZ，上式可写为： ---(9-6)                                           (9-6)式指出，梁弯曲变形后的曲率与弯矩M成正比，与EIZ成反比。EIZ越大，梁变形后的曲率越小；因而，EIZ称为梁的抗弯刚度。再将(9-6)式代回(9-5)式，即得： ---(9-7)                     这就是平面纯弯曲梁横截面上正应力的。可见，在中性轴上，y=0，弯曲正应力=0。对于如图9.15和图9.16所示之坐标系，若弯矩M为正，则y>0时 P b ( 4m 2m 4m (60 D E YA x YA XA ZA YB C M0 r D d( dy ，<0；y<0时，>0。弯矩M为负时则相反。依据梁弯曲的凸凹变形情况，不难判断中性轴z上下哪一部分截面受拉、哪一部分截面受压，故在使用公式(9-7)时也可以不考虑其前面的负号与y坐标的正负，由中性轴上下二侧受拉还是受压，直接判断弯曲正应力的正负号。 9.3.4 平面弯曲时的最大正应力公式及强度条件 公式(9-7)是在梁的平面纯弯曲情况下得到的正应力公式。实际上，工程中的平面弯曲梁大多数属于横截面上既有弯矩又有剪力的横力弯曲。横力弯曲情况下公式(9-7)还能否适用? 深入分析（如弹性力学分析）的结论是：对于工程中的大多数细长梁(高跨比h/<0.2)来说，即使其横截面上有剪力存在，用公式(9-7)计算横截面上的正应力也具有足够的精度，可以满足工程要求。因此，公式(9-7)也可以用来计算横力弯曲下细长梁的正应力。 由（9-7）式可知，越大，弯曲正应力值越大。注意到IZ与ymax均为只与截面几何形状有关的量, 故可定义梁的抗弯截面模量为： ---(9-8) 抗弯截面模量是衡量梁截面抵抗弯曲的能力的几何量，其量纲为[长度]3。 于是，梁中任一截面上的最大正应力则为： ---(9-9)                   一般地说，梁内弯矩M是变化的。因此，梁内最大正应力可能出现在弯矩M大、抗弯截面模量WZ小的截面上，这些截面是梁中可能的危险截面。 梁的正应力强度条件为： ---(9-10) 式中，[]为材料的许用应力。梁中处处都要满足强度条件。而且，如同讨论杆的拉压强度一样，对于拉压许用正应力不同的材料制作的梁，应当同时满足：                   和    以保证梁具有足够的强度。 MB 如第六章所述，利用强度条件，可以进行强度校核、截面、确定许用载荷、选择梁的材料等强度计算。 例9.9 一空心矩形截面悬臂梁受均布载荷作用如图所示。已知梁跨长=1.2m，均布载荷q=20kN/m，横截面尺寸H=120mm，B=60mm，h=80mm，b=30mm，材料的许用正应力[]=120MPa，试校核梁的强度。 q 解：1）作梁的剪力、弯矩图如图。固定端弯矩最大，其值为：     2) 求截面惯性矩IZ与抗弯截面模量WZ。 查表9-2有：    IZ=(BH3-bh3)/12=7.3610-6 m4       注意到ymax=H/2, 故得：                       WZ= IZ/ymax=7.3610-6 m4/0.06m=1.22710-4 m3 3）强度校核 最大应力出现于固定端横截面的上下边缘处，由强度条件有： 可见，梁的强度足够。 例9.10 一矩形截面木梁如图所示。已知F=15kN，a=0.8m，许用应力[]=10MPa。设梁横截面的高宽比h/b=3/2，试选择梁的截面尺寸。 图9.18 例9.10图 解：1）求约束力，作内力图。 梁受力如图，由平衡方程可得： FA=FB=3F 作FQ、M图，梁中最大弯矩为：         Mmax=Fa =15kN0.8m=12 kNm  2) 注意到梁横截面的高宽比为h/b=3/2，则矩形截面抗弯模量可写为： WZ=bh2/6=3b3/8     3) 强度条件给出：           WZMmax/[σ]=12103 Nm /(10106 )Pa=1.210-3 m3 得到：            3b3/81.210-3 m3；     b0.147 m 故梁的截面尺寸可取为：   b=150mm， h=3b/2=225mm。 讨论：本题横截面h/b=3/2，如图9.19(a)放置。若截面如图9.19(b)和图9.19(c)所示，试设计其尺寸并讨论其重量比。 图9.19 不同的矩形截面情况 前面已求得梁中最大弯矩为：   Mmax=Fa=12 kNm 截面抗弯模量可写为： (a) WZ=bh2/6=3b3/8    (b) WZ=bb2/6=b3/6    (c) WZ=hb2/6=b3/4 由强度条件仍然可得: WZMmax/[σ] =1.210-3 m3 将三种情况下的截面抗弯模量WZ代入，可确定所需的截面尺寸为： (a)  b147 mm， h220.5 mm； (b)  b193 mm； (c)  b169 mm， h253.5 mm。     重量比等于截面面积比，有 a : b : c=0.87 : 1 : 1.15     可见，承受弯曲梁的截面设计应使材料尽可能远离中性轴，以充分发挥其承载潜力。空心截面设计、工字形截面设计通常是更适当的选择。 (c) 例9.11 铸铁T形截面梁如图9.20(a)所示， 若[σ]压/[σ]拉=2，试求其所能承受的最大正负弯矩之比。 解：1) T形截面梁中性轴位置。     梁的中性轴垂直于纵向对称轴且通过截面形心。设形心c到z′轴的距离为yc，利用第三章求组合图形重心（即均质物体形心）的方法，设比重为，则二部分矩形单位厚度的重力为4a2，作用点通过各矩形形心；组合图形的重力为8a2，作用点通过yc。将截面转过90，应用合力矩定理，对z′轴上o点有：           8a2yc=2a4a2-0.5a4a2 解得：  yc=3a/4 中性轴z如图所示。     2) 梁横截面上的应力分布。     若截面弯矩M>0，则中性轴以上受压，中性轴以下受拉，如图9.19(b)所示; 若截面弯矩M<0，则中性轴以下受压，中性轴以上受拉，如图9.19(c)所示。     3) 截面最大应力及强度条件。 注意上缘到中性轴的距离为y=1.75a，下缘到中性轴的距离y=3.25a，有：     M>0时：    σmax拉=M(3.25a)/Iz；    σmax压=M(1.75a)/Iz  由强度条件应有： M拉[σ]拉Iz/3.25a；                   M压[σ]压Iz/1.75=2[σ]拉Iz/1.75a         截面上下缘均应满足强度条件，故有： Mmin{ M拉，M压}=[σ]拉Iz/3.25a； M′<0时：      σmax拉=M′(1.75a)/Iz；      σmax压=M′(3.25a)/Iz 由强度条件应有： M′拉[σ]拉Iz/1.75a；                   M′压[σ]压Iz/3.25a=2[σ]拉Iz/3.25a=[σ]拉Iz/1.625a         上下缘均应满足强度条件，故有： M′min{ M′拉，M′压}=[σ]拉Iz/1.75a； 最后得到梁所能承受的最大正负弯矩之比为： M/M′=([σ]拉Iz/3.25a)/([σ]拉Iz/1.75a)=1.75/3.25=7/13     上述结果表明，对于[σ]压>[σ]拉的材料，可采用T形截面梁使离中性轴较远的一边承受压应力，离中性轴较近的一边承受拉应力，以充分发挥材料的潜力。 9.3.5 矩形截面梁横截面上的剪应力 前面讨论了梁横截面上的正应力。对于受纯弯曲作用的梁，横截面上的内力只有弯矩，引起的应力是正应力σ。如前所述，对于横截面上既有弯矩又有剪力的横力弯曲梁，当梁的跨度与高度之比足够大时，横截面上的弯曲正应力σ仍可由(9-7)式计算。但是，横力弯曲梁的横截面上不仅有正应力（弯矩引起的），而且还有剪应力（剪力引起的）存在。下面以矩形截面梁为例，讨论其横截面上的剪应力，建立对于梁弯曲剪应力的基本认识。 (b) 设有矩形截面梁，其横截面高h、宽b。截面上除承受弯矩M外，还承受着剪力FQ。对于梁横截面上的剪应力，可作如下两个假设： 1.截面各点处剪应力的方向都与剪力FQ平行； 2.到中性轴等距离之各点处的剪应力均相等。 如图9.21(a)所示，到中性轴距离为y处各点的剪应力均为τ。 取长dx的微梁段中到中性轴距离为y以上的部分研究，如图9.21(b)所示，讨论其沿x方向的平衡。 梁的横截面（阴影面）上作用着正应力σ=My/Iz，横截面上沿x方向的力F1为应力σdA在阴影面积A1上的积分，即：     式中Sz称为阴影面积A1对中性轴z的静矩，且对于矩形截面有： ---(9-11)             微梁段另一端的横截面上作用着正应力σ′，且σ′=(M-dM)y/Iz，截面上沿x方向的力F2为应力σ′dA在面积A1上的积分，即： 底部水平面上作用着剪应力τ′，由剪应力互等定理知τ′=(τ，如图9.21(b)所示。因为微梁段上无外载荷作用，各横截面上的剪力不变，则底部水平面各处作用的剪应力均为τ，故截面上沿x方向的力F3为应力与面积的乘积，即：       F3=τbdx 由上述分析可列出平衡方程：     (∑Fx=F1-F2+F3=0 即： 得出矩形截面梁横截面上的剪应力为： ---(9-12)               注意上式中利用了梁的平衡微分关系dM/dx=FQ，FQ为横截面上剪力的值；IZ为整个横截面对中性轴Z的惯性矩，SZ为所求剪应力作用位置线至截面边缘部分的面积（图中阴影部分）对中性轴的静矩；b为横截面在所求剪应力处的宽度。 ---(9-13) 将(9-11)式代入(9-12)式即可得到矩形截面梁横截面上距中性轴为y处的剪应力公式为：                                     上式指出，矩形截面梁上的剪应力沿截面高度按抛物线规律变化，如图9.21(c)所示。在截面上、下边缘处，剪应力为零；在中性轴处(y=0)，剪应力最大；且有： ---(9-14)                         注意到FQ/bh是横截面上的平均剪应力，故矩形截面梁的最大剪应力为横截面上平均剪应力的1.5倍。 例9.12 矩形截面简支梁AB受均布载荷q作用，求梁中的最大正应力和最大剪应力。 o 解：1）求支反力有： FA=FB=qL/2 ；     2）作FQ、M图，如图9.22所示。       二端剪力最大，且 FQmax=qL/2 ； 中间弯矩最大，且 Mmax=qL2/8 ；     3）求最大应力：       (τmax=3FQmax/2bh=3qL/4bh；       (σmax=Mmax/Wz=3qL2/4bh2 可知，受均布载荷作用的矩形截面简支梁中，最大正应力和最大剪应力之比为：σmax/τmax=L/h。一般而言，梁的跨度L大大于梁高h，故细长梁的强度控制因素在大多数情况下都是弯曲正应力。 (max 例9.13 工字钢截面尺寸如图9.23所示，H=200mm，h=180mm，B=100mm，b=8mm，若FQ=100kN，试讨论其剪应力分布。 解：对于由矩形组合而成的截面，剪应力也可用（9-12）式估算。在翼缘(上下板)端部，剪应力为零；在腹板(中间板)中心(y=0)处，剪应力最大。 由表9-2可知，工字形截面惯性矩为： Iz=[BH3-(B-b)h3]/12 =[0.10.23-0.0920.183]m4/12=2.19510-5 m4 中性轴（y=0）处截面静矩为： 腹板上、下缘（y=h/2）处的截面静矩为：   利用剪应力公式，可以得到： y=0处(腹板，b=0.008)： y=h/2处(腹板，b=0.008)： y=h/2处(翼缘，B=0.1) y=H/2处：  τ=0 可见，工字钢截面上的剪应力主要分布在腹板上，翼缘主要承受弯曲正应力作用，其上的剪应力很小。工字形截面上剪应力分布如图9.23中右图所示。 若忽略翼缘上承受的剪力，假定剪力FQ均匀分布在腹板上，则腹板上的平均剪应力为： τave=FQ/bh=100000N/(8180)mm2=69.44MPa 故可见，本例中用平均剪应力作为工字钢梁腹板上最大剪应力的近似，误差小于5%。     梁的剪应力强度条件为： ---(9-15)             根据正应力强度条件设计的梁截面，一般都能满足剪应力强度条件，只有少数特殊情况才需作剪应力强度校核，这里不再作进一步研究。 §9.4 梁的变形 9.4.1 梁的挠度和转角 现在研究梁在平面弯曲下的变形。先以图9.24所示的简支梁为例，进一步讨论梁的变形的描述。 挠曲线     取梁变形前的水平轴线为x轴，y轴垂直向上。如前所述，若xoy平面为梁的纵向对称面，且载荷均作用于此平面内，则弯曲变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条曲线，称之为挠曲线。梁弯曲时，各截面形心在xoy面内垂直方向的位移，可用坐标y(x)表示，y之值称为梁的挠度。各横截面在xoy面内的角位移θ(x)，称为该截面的转角。由于转动后的横截面仍然垂直于梁的轴线（即变形后的挠曲线），故截面在x处的转θ，等于挠曲线在x处的切线与x轴的夹角，如图9.24所示。梁的挠度y(x)和截面的转角θ(x)，二者都是梁截面位置x的函数，它们描述了梁的弯曲变形。     一般说来，梁的挠度y远小于梁的跨长，故挠曲线是一条平坦的小挠度曲线。从数学上不难证明，梁截面形心的水平位移与其挠度相比是高阶小量，在此可略去不计。 9.4.2 梁的挠曲线微分方程     在图9.24中所选取的坐标系下，梁的挠曲线方程可表示为: ---(9-16)                                         式中，x为梁变形前水平轴线上任一点的横坐标，y为该点的挠度（横截面形心在垂直方向的位移）。由于挠曲线十分平坦，转角θ是一个小量，故 ---(9-17)         即：截面转角近似地等于挠曲线上与该截面对应点处的斜率。     因此，只要知道梁的挠曲线方程 y=y(x)，就可以确定梁在各截面x处的挠度y和转角。在图9.24所示的坐标系中，挠度向上为正，反之为负；横截面从变形前到变形后的转角逆时针时为正，反之为负。图9.24所示C处的挠度、转角均为负。 上节已知，发生纯弯曲变形后，梁轴线的曲率与弯矩M之间的关系由(9-6)式给出，即：             弹性理论的进一步精确分析指出，梁承受横力弯曲作用时，只要其跨长与横截面高度之比足够大，则剪力FQ对梁弯曲变形的影响可以忽略不计。故可将上式推广应用于细长梁的横力弯曲。对于EIZ不变的梁段，有： ---(9-18)                   式中1/(x)为梁轴线上任一点x处挠曲线的曲率，M(x)为作用在该点相应截面上的弯矩。在数学分析中已给出曲线y(x)的曲率1/(x)为：             在小变形条件下，是很小的量，就更小，略去二阶小量，得到：                 由上式及(9-18)式，可给出挠曲线的近似微分方程为：                 前面已经作出了截面弯矩的符号规定，即使梁弯曲成凹弧形的弯矩为正，使梁弯曲成凸弧形的弯矩为负。由数学分析可知，凹弧形曲线的二阶导数为正值，凸弧形曲线的二阶导数为负。因此，按照弯矩的正负号规定和本节所取的坐标系，与M(x)的正负号应当是一致的。于是, 梁的挠曲线近似微分方程可写为: ---(9-19)             由于忽略了剪力和高阶小量对变形的影响，故上式只是挠曲线的近似微分方程，适用于小挠度下的细长梁。 如同抗拉刚度EA、抗扭刚度GI一样，EIZ称为梁的抗弯刚度。抗弯刚度EIZ越大，弯曲后梁的变形（挠度和转角）越小，梁抵抗弯曲变形的能力越强。 9.4.3  用积分法求梁的变形     将梁的挠曲线近似微分方程(9-19)式写为：                                       ---（9-20）     对于等刚度梁(EIZ=常数)，将上式直接积分，即得梁的挠度和转角为：                         上面二式中的积分常数C1、C2可利用梁的变形几何边界条件确定。 梁的几种常见的边界条件如下：   固定铰支座与可动铰支座 无论固定铰支座还是可动铰支座，由于梁在支承处不可能出现y方向的位移，故几何边界条件为：   y=0  如图9.25(a)所示，铰链A、B二处均有y=0，但二处的转角并不一定等于零。 (b) yA=0; A=0   固定端     固定端限制梁任何形式的变形（截面在该处既不能移动也不能转动），如图9.25(b)所示，有二个边界条件，即：               y=0，        ==0     注意，（9-17）式已指出，转角等于挠度y的一阶导数。 自由端     如图9.25(b)所示，自由端(B端)对梁的变形无约束，故无几何边界约束条件（或称为自由边界条件）。 对于静定梁，约束一定会限制约束处的移动和/或转动，总有二个变形几何边界条件可用来确定挠曲线二阶微分方程求解时的二个积分常数。 如果弯矩是分段描述的，或梁的抗弯刚度变化，则求变形时需分段积分；多分一段将多出二个积分常数。但在梁不发生破坏前，分段处应保持连续，即分段处左右二边应有相同的挠度和转角。由此，每一分段处可补充二个连续性方程，仍然足以确定多出的积分常数。 x 例9.14 求图9.26所示受均布载荷作用之悬臂梁的挠曲线方程y(x)及转角方程θ(x)，并求自由端B的挠度yB和转角B。 解：1）求固定端的约束力，写弯矩方程。                   FA=ql；  MA=-ql2/2 弯矩方程为： 2）挠曲线的近似微分方程积分。 将上述M(x)代入方程(9-20)并积分两次, 得到：   3) 利用边界条件，确定积分常数。 在固定端A处，有x=0时，y=0 及 x=0时，=0。代入后不难求得：               C1=0，    C2=0     4）求自由端的挠度和转角 积分常数确定后，得到转角方程和挠度方程为：             自由端处，x=, 代入上式即得自由端B处的挠度与转角为：             FB 例9.15 简支梁AB受集中力作用如图9.27所示。试写出梁的挠度方程与转角方程，并求出梁的最大转角与最大挠度。 解：1) 求约束力，列出弯矩方程。            由平衡方程求得：   FA=Fb/l ；  FB=Fa/l 梁的弯矩方程为：         AC段： M1(x)=Fbx/l          (0xa)         CB段： M2(x)=Fbx/l-F(x-a)   (axl ) 2) 求挠度方程和转角方程。 根据挠曲线近似微分方程，分段积分如下： AC段(0xa)有：                         CB段(axl )有：                3）确定积分常数。 由于分段积分，本题出现了4个待定积分常数。 二端为铰链，两个边界条件为：在 x=0处，y1=0；  在 x=l处，y2=0。 注意到梁变形后的挠曲线应是一条连续且光滑的曲线，故在分段处（x=a），左右二边应当有相同的挠度和转角，即还有如下二个连续性条件：     当 x=a时， 有 y1=y2，  和  将上述四个条件代入相应的挠度、转角方程，即可求得四个积分常数为：       故得到梁的挠度方程和转角方程为： AC段(0xa)有：                         CB段(axl )有：      4)求和     由于全梁的挠曲线应当是一条连续曲线，故由数学分析可知，出现在d/dx=M(x)/EIZ=0处；即在弯矩M(x)为零处，转角取得极值。本题在梁两端截面的弯矩为零，故为A或B。且知：                     如果a>b，则，所以：           同理，应出现在dy/dx==0处；即在转角为零处，挠度y取得极值。 先考查AC段，其转角方程为：         设在x=x0处，1=0，解得：         如果a>b，因为 l2-b2=a2+2ab<3a2，故由上式显然可知x0b时，若考查CB段, 由2=0求得的x将不在(a