高中数学向量垂直公式

高中数学向量垂直公式 篇一:高中数学-公式-平面向量 平面向量 1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),?为实数。(1)向量式:a?b(b?0)?a=?b;(2)坐标式:a?b(b?0)?x1y2,x2y1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)向量式:a?b(b?0)?a?b=0; (2)坐标式:a?b?x1x2+y1y2=0; 3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b ?=x1x2+y1y2;其几何意义是a?b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积; 4.设A(x1,x2)、B(x2,y2)，则S?AOB, 5.平面向量数量积的坐标表示: (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b=x1x2+y1y2 ? (2)若a=(x,y),则a2=a?a=x2+y2,a? 十、向量法 1x1y2?x2y1; 2(x1?x2)2?(y1?y2)2; ?x2?y2; ????b，平面?、?的法向量分别是u、v，则: 1、设直线m、l的方向向量分别是a、???? 1 (1)线线平行:l?m?a?b?a?kb ????u?0 (2)线面平行:l???a?u?a?????(3)面面平行:?//??u//v?u?kv 注意:这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合. ????b，平面?、?的法向量分别是u、v，则: 2、设直线m、l的方向向量分别是a、????b?0 (1)线线垂直:l?m?a?b?a?????(2)线面垂直:l???a?u?a?ku ????v?0 (3)面面垂直:????u?v?u?????b，平面?、?的法向量分别是u、v，则: 3、设直线m、l的方向向量分别是a、??a?b?(1)直线m、l所成的角?(0???)，cos?? 2ab ??a?u?(2)直线l与平面?所成的角?(0???)，sin?? 2au ??u?v(3)平面?与平面?所成的二面角的平面角?(0????)，cos?? uv 教学过程: 二、新课讲授 1. 定义:我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量(向量的大小叫做向量的长度或模. 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律( ???? ?加法交换律:a +b = b + a; ???????加法结合律:(a + b) + c =a+ (b + c); ???? ?数乘分配律:λ(a + b) =λa +λb; ?? ?数乘结合律:λ(ua) =(λu)a ( ?????????????????????????????4. 推广:? 2 A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An; ???????????????? ???????????????A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?AnA1?0; 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量(由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量( ????向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b,λa.称平面向量共线定理， 二、新课讲授 1.定义:与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向????量或平行向量(a平行于b记作a//b( 2(关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论: ???????共线向量定理:空间任意两个向量a、b(b?0)，a//b的充要条件是存在实数λ，使a,λb. ?????理解:?上述定理包含两个方面:?性质定理:若a?b(a?0)，则有b,?a，其中?是唯一确定的???????实数。?判断定理:若存在唯一实数?，使b,?a(a?0)，则有a?b(若用此结论判断a、b所在直线????平行，还需a(或b)上有一点不在b(或a)上). ???????对于确定的?和a，b,?a表示空间与a平行或共线，长度为 |?a|，当?0时与a同向，当?<0时与?a反向的所有向量. ?3. 推论:如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充?????????要条件是存在实数t满足等式 3 OP?OA?ta( 平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a,λ1e1，λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底( 1. 定义:如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α( 向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的( 2. 定义:平行于同一平面的向量叫做共面向量(共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内( 5. 得出共面向量定理:如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb ( 证明:必要性:由已知，两个向量a、b不共线( ? 向量p与向量a、b共面 ? 由平面向量基本定理得:存在一对有序实数对x，y，使得 p= xa+yb( 充分性:如图，? xa，yb分别与a、b共线， ? xa，yb都在a、b确定的平面内( 又? xa+yb是以,xa,、,yb,为邻边的平行四边形的 4 一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内， ? p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面( 说明:当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内( 6. 共面向量定理的推论是:空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得??????????????????????????????????MP?xMA?yMB，? 或对于空间任意一定点O，有 OP?OM?xM?Ay(?M ???????????????????????yMB:分析:?推论中的x、y是唯一的一对有序实数; ?由OP?OM?xMA得????????????????????????????????????????????????? ?????OP?OM?(xOA?O)M?(yO?B，)O M?OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB ? ????????1. 两个非零向量夹角的概念:已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA,a，OB,b，则?AOB叫做向量a与b的夹角，记作,a,b,( 说明:?规定:0?,a，b,??( 当,a、b,,,时，a与b同向; 当,a、b,,π时，a与b反向; 当,a、b 5 ,,?时，称a与b垂直，记a?b( 2 ? 两个向量的夹角唯一确定且,a,b,,,b,a,( ? 注意:?在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的( ?,a,b,?(a,b) 2. 两个向量的数量积:已知空间两个向量(来自:www.xLtKwj.coM 小 龙 文档网:高中数学向量垂直公式)a与b，|a||b|cos,a、b,叫做向量a、b的数量积，记作a?b，即 a?b,|a||b|cos,a,b,. 说明:?零向量与任一向量的数量积为0，即0?a,,; ?符号“? ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用”×”代替. ????几何意义:已知向量AB,a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量(作点A在l上的射影A′，点B在l上的射??????????????影B′，则A'B'叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影(可以证明:A'B',,AB,cos,a,e,,a?e(说明:一个向量在轴上的投影的概念，就是a?e的几何意义( 3. 空间数量积的性质:根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质: ?a?e,,a,?cos,a,e,; ?a?b?a?b,, ?当a与b同向时，a?b,,a,?,b,; 当a与b反向时，a?b,,,a,?,b,. 6 特别地，a?a,,a,2或,a ?a?b ?cos,a,b,,; ?,a?b,?,a,?,b,. a?b 4. 空间向量数量积的运算律:与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律: ?(λa)?b,λ(a?b),a?(λb) (数乘结合律); ? a?b,b?a (交换律); ?a?(b，c),a?b，a?c (分配律) 说明:?(a?b)c?a(b?с);?有如下常用性质:a2,,a,2，(a，b)2,a2，,a?b，b2 3. 空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a,a1i，a2j，a3k( 空间中相等的向量其坐标是相同的(?讨论:向量坐标与点的坐标的关系, ????????????向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB,OB,OA,(x2,y2,z2),(x1,y1,z1),(x2?x1,y2?y1,z2?z1)( 5. 两个向量共线或垂直的判定:设a,(a1,a2,a3)，b,(b1,b2,b3)，则 aaa?a//b?a,λb?a1??b1,a2??b2,a3??b3，(??R)?1?2?3; b1b2b3 ?a?b?a?b=0?a1b1?a2b2?a3b3?0( ? 向量的模:设a,(a1,a2,a3)，b,(b1,b2,b3)，求这两 7 个向量的模. 向量的长度公式( ,a ，,b 这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度( 2. 夹角公式推导:? a?b,|a||b|cos,a,b, ? a1b1?a2?b2?cos,a,b, a 由此可以得出:cos,a,b 这个公式成为两个向量的夹角公式(利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系: 当cos,a、b,,1时，a与b同向;当cos,a、b,,,1时，a与b反向; 当cos,a、b,,0时，a?b( 3. 两点间距离共识:利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式: 在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x 2,y2,z2)，则 dA、B?dA、B表示A与B两点间的距离( 5. 用向量方法证明:如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行( 篇二:高中数学平面向量公式 1、向量的的数量积 8 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0?〈a,b〉?π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共线，则a?b=+-?a??b?。 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a(交换律); (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律); (a+b)?c=a?c+b?c(分配律); 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a?b 〈=〉a?b=0。 |a?b|?|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即:(a?b)?c?a?(b?c);例如:(a?b) ?a ?b 。 2、向量的数量积不满足消去律，即:由 a?b=a?c (a?0)，推不出 b=c。 3、|a?b|?|a|?|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 9 2、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是:?a×b?=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是:垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。 向量的向量积性质: ?a×b?是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、??a?-?b????a+b???a?+?b?; ? 当且仅当a、b反向时，左边取等号; ? 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、??a?-?b????a-b???a?+?b?。 ? 当且仅当a、b同向时，左边取等号; ? 当且仅当a、b反向时，右边取等号。 4、定比分点 10 定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式) x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 5、三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在?ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为?ABC的重心 向量共线的重要条件 若b?0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 向量垂直的充要条件 a?b的充要条件是 a?b=0。 a?b的充要条件是 xx'+yy'=0。 零向量0垂直于任何向量. 篇三:高中数学有关平面向量的公式的知识点 11 高中数学有关平面向量的公式的知识点总结 定比分点 定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式) x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在?ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为?ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b?0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 a?b的充要条件是 a?b=0。 a?b的充要条件是 xx'+yy'=0。 12 零向量0垂直于任何向量. 设a=(x，y)，b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且?λa?= ?λ???a?。 当λ,0时，λa与a同方向; 当λ,0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 13 注:按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当?λ?,1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ,0)或反方向(λ,0)上伸长为原来的?λ?倍; 当?λ?,1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ,0)或反方向(λ,0)上缩短为原来的?λ?倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:? 如果实数λ?0且λa=λb，那么a=b。? 如果a?0且λa=μa，那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0?〈a,b〉?π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共线，则a?b=+-?a??b?。 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 14 a?b=b?a(交换律); (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律); (a+b)?c=a?c+b?c(分配律); 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a?b 〈=〉a?b=0。 |a?b|?|a|?|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即:(a?b)?c?a?(b?c);例如:(a?b) ?a ?b 。 2、向量的数量积不满足消去律，即:由 a?b=a?c (a?0)，推不出 b=c。 3、|a?b|?|a|?|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 4、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是:?a×b?=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是:垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。 向量的向量积性质: ?a×b?是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 15 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 向量的三角形不等式 1、??a?-?b????a+b???a?+?b?; ? 当且仅当a、b反向时，左边取等号; ? 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、??a?-?b????a-b???a?+?b?。 ? 当且仅当a、b同向时，左边取等号; ? 当且仅当a、b反向时，右边取等号。 16