【word】 以南京大学的自主招生试题为例谈一类不等式的证明

以南京大学的自主招生试为例谈一类不 等式的证明 福建中学数学2011年第3期 推得D2(一下d~+kd2,一堕), 故圆c2的方程可为 +Y+(dl+kd2)x+(el+七)+c=0, 整理得,(+++q)+k(Gx+e2y)+c=0 (料),接下来求常数c, 由于点(,Y1)在圆Cl与直线上,满足 ++++=0与4x,+e2y~+:0. 又点A也在圆c2上,所以满足(?)式, (+Yl+4x,+ejyj)+尼(l+e2Y})+c=0, 推得=+. 整理()式,得到(+Y+dlx+e,y)+k(Gx+e2Y) 十(+)=0,推得 (+Y+dIx+etY+)+(d2x+e2Y+)=0, 结论得证. 本文主要讨论了圆系方程及其推导,该方法可 以引伸到其它二次曲线中——如过两个二次曲线所 有交点的二次曲线,其方程可以设成这两个二次曲 线方程的线性组合.经验告诉我们,在尽可能的情 况下,转化为曲线与直线的组合更为筒捷一些. 参考文献 【1]高卫东,乔凤.圆系方程法释疑【J】.中小学数学(高中版),2009(5), 39-4l 【2]马健.圆系方程中圆的存在性,性质及应用[J].数学教学通讯,2010 (2),46—47,61 [3]谢维勇.巧用圆系方程简化解题过程[J].中学教研(数学).2008(4), 】8.19 以南京大学的自主招生试题为例谈一类不等式的证明 陆建根江苏省镇江中学(212017) 1.引例 2008年南京大学自主招生考试第二大题为: 设a,b,c为正数,且口+b+c=1,求 (+)+(6+)+(c+)的最,值. 该题是不等式的一个常见问题,可以用基本不 等式或柯西不等式求解,还可以推广为: al,02….,an均为正数,a}++…+:1,求证 (口+)z+(口+)z+…+(+)z的最小值为 al02” 本文用构造函数,进一步寻找函数切线的方法 来求解,并例谈该方法在解决一类不等式时的运用. 解由于所要求解的代数式关于口,b,c轮换对 称,所以猜想,当口:6=C---:时取得最小值100. 下 面来证明:(口+(6+)2了100. 把上式改写为 ++.一 H+?., 构造函数/():+):一100,?(0,1),如果 能找刽常数,u使不等式/()?2x+怛成立,则 f(a)?2a+,(6)?2b+?,/)?2c+It,相加 得f(a)+_厂(6)+/(c)?(口+6+c)+3:五+3. 若能使+3p=0,即:一3,则问题就解决 了.下面我们来寻找满足上述条件的常数,?. X--,I.I----(+ (3x一1)[(3+X一27x一9)+9px】 ————————一’ 要使上式当?(0,1)时大于等于零恒成立,则 3X3+Xz--27X--9+9ux2中必含因子3一1,把=j1代 入得=了160. 再把:代入上式整理得 ,()-2x-~=—(3x— - 1)2(x2+5— 4x+9) . 当X?(0,I)时,X.+54x+9恒大于零, 所以当=一时x-~t>0恒 成立,所以 口+, 6+, 2011年第3期福建中学数学41 )>-, 厂(口)+/(6)+(c)一—160【.口+6+c)+160:0, 即(口+)+(6+_1)+(c+).?100 ,当且仅当 : 6::时取得最小值100. 2.待定系数法的应用 以上方法并不一定限于条件a+b+c=1,其它情 况可以通过调整函数来解决问题. 例1(第30届IMO加拿大训练题)设a,b,C 是正数,且a+b+c:1,求证: abc,343 丁二++丁二?丁’ 证明设/()=-一,?(0,1),如果能找 1,’2 到常数,使不等式f(x)?2x+恒成立,则 /(口)?2a+,-厂(6)?Ab+,f(c)?2c+,相 加得_厂(口)+f(b)+f(c)?(a+b+c2)+3/.t:+3p. 若能使+3/u:0,即:一31u,则问题就解决 了.下面我们来寻找满足上述条件的常数,. )-Ax2-,u=专一孚+(3x2-1) :— (43x- - 1)(x+一 43) +(?+1)(一1)2f 1一1,.… = (_1)[州十1)】. 要使上式当?(0,1)时大于等于零恒成立,则 [圭+(,fix+1)】中必含因子?—l,把=3 代入得p=-43 . 再把p=-代入上式整理得 当?(0,1)时, /()-Ax2-~u=—(,,/3— x-1)(3x3+x/3x2-2x) = — x(x— /3x-1)2(~一 x+2).恒成立 ,所以原不等式成立. 从南京大学自主招生试题的上述解法不难发 现,当?(0,1)时,/()+:一160+恒成 立,即?(0,1)时曲线:厂)恒在育线 =一+的上方,而直线=一+了160恰为 曲线Y=厂()在点f1,0I处的切线.所以我们可以不 必用待定系数法来寻找常数,,而可以直接求 出函数在X?(0,1)时的切线,只要再加以验证即可. 3.构造函数,寻找切线 例2(2003年美国数学奥林匹克试题)设a,b,c 是正实数,求证: ?垒?噬+?+8.2a+(6+c)2b+(c+口)2c+(口+6) 证职由于左式分子分母是关于a,b,C的齐次 式,所以可以设a,b,C?R,a+b+c=1,左式化 为 (1+口).(1+6).(1+c) 3a2—2口+I.3b一 2b+I.3c.一 2c+I’ 构造函数():一;,?(o,1),则 /(=4,函数:/()的图像在点(,.)处的切 线为Y:4(一?). 而当?(O,1)时, f(x)一4(x一)=一詈一4(一) 3(x-1)(4+1) =一— 0恒成立, 所以/(口)?4口一i4 , /(口)?4口一4 , (口)?4口一昙, 相加得(口)+/(6)+/(c)?4+6+c)一4=0,所以原 不等式成立. 当需要求证的不等式比较复杂时可以把不等式 作适当的变形,使右式为零,左变形为可以写成一 个函数的若干个函数值的形式. 4.推广到/-/元 上述方法并不限于含2个,3个或4个字母的不 等式,当不等式含有”个字母时,可以用同样的方法 求解. 例3(1982年联邦德国数学奥林匹克试题)非 负实数a1,a2….,a满足al+a2+…+on=1,证明: ——————竺L——一+——————2-——一+…+ 1+a2+a3+…+口I+al+a3+…+a 42福建中学数学2011年第3期 —__有最小值,并把它算出来.1 ++a2+…+a, l ...’ 证明左式可以化为a1+去+…+去, 由于所要求解的代数式关于,a,...,a轮换 对称,所以猜想,当::…::时取得最小 值.下面来证明: ,?一1 — +—+…+—?—.——L+——L+…+——?—. 2一al2一a22一a2n一1 构造厂()X一,?[0,1], — Z”一l ():番, 函数:厂()的图像在点f,0]处的切线为 2nf,1, 可 而当x?f0,11时, 一 番 2一2n1,(2n一一一 1,,. :?o’恒成立,(2一 x)(2n一1)一, 所以 番, ? 番, ?一 志, 相加得 f(a.)+f(a2)+…+厂() 番+-..一番 所以原式当且仅当q::…::一1时取得最 小,f~ 2 /7 ? 例谈等与不等关系的转化 石磊张超 山东省滕州市第一中学(277500) 数学是研究空问形式和数量关系的科学,数学 中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素.等与不等 是数学中两个重要的关系,把不等问题转化成相等 问题,可以减少运算量,提高正确率;把相等问题 转化为不等问题,能突破难点找到解题的突破口.它 们既是对立统一的,又是相互联系,相互影响的, 在一定的条件下可以互相转化. 例1(2010年高考浙江卷?理15)设,d为 实数,首项为a.,公差为d的等差数列}的前”项 和为,满足?+15=0,则d的取值范围 是 化筒得2口+9dal+10d+1=0. ? . ‘ 是实数, . ? . A=(9d)一4×2(1Od+1)?0,即d8. . ? .d的取值范围是:d2,/2或d一2,/2. 例2若a,b都是正实数,a+b+8=ab,则口+b 的最小值是——. 解由基本不等式可得:a+6+8=ab(), 令t=?+b>0,则上不等式可化为:4t+32?t, 解得:t8或者f一4(舍), . ? . 日+b的最小值为8. 点评等与不等的转化主要体现为化相等为不 等及化不等为相等.在等与不等的矛盾转化中,基 本不等式,方程的思想,函数的性质等,常常发挥 = 2 可孚 由+ 解