高中数学,分类讨论

高中数学,分类讨论 篇一:分类讨论思想在高中数学中的应用 分类讨论思想的探究 前言: 高中数学常用的数学思想包括数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想以及转化(化归)思想，在此主要探讨研究分类讨论思想。何为分类讨论思想,在解决数学问时，有时候会出现多种情况，需要将情况分类、求解，然后综合从而得解，这就是分类讨论思想。其实，从刚接触数学开始，分类讨论这一思想我们就开始慢慢形成，简单至对多个计算结果检验是否符合题意也包含了分类讨论思想。分类讨论是解决问题的重要策略之一，不知不觉我们常会用到分类讨论。 分类讨论思想的常见应用: 1.含有参数的问题 参数可能存在于几乎所有的数学问题中(集合问题，函数问题，三角函数问题，向量问题，数列问题，不等式问题，立体几何问题，平面解析几何问题，统计问题，概率问题等)。一般地，参数值的不确定性，使得问题会出现多种情况，从 1 而需要用到分类讨论。 以集合问题和函数问题进行分析: 例一:(倾向于2012年高考理数最后一题) 已知集合A={x|a+1<=x<=2a-1},集合B={x|-1/2<x<=2},若A包含于B，求a的取值范围。 解析:首先注意到集合A中含有参数，所以使得集合A有两种情况，为空集或为非空集，从而易然而然分类讨论。 解:若A为空集，则:2a-1<a+1 解得:a<2 若A为非空集，即a+1<=2a-1，即a=2 则如图:(画图) 得:? a+1-1/2 且2a-1<=2 解得:-3/2<a<=3/2 与a=2矛盾 不成立 ? a+1=-1/2即a=-3/2 与a=2矛盾 不消除这种阻碍，使问题得到解决。 但需要注意一点，不能形成定势思维:有参数就一定要分类讨论。例如: 已知函数f(x)= 1/2x2+?x+(a-4)x在(1, +?)是增函数，求实数a的取值范围。 这一题要求的是参数的取值范围，做法如下: 得:f’(x)=x+1/x+a-4 ?a=4-(x+1/x) ?4-(x+1/x)<4-2=2 2 ?a=2 显然可见，这道题并不需要用到分类讨论。其实，关于参数可以涉及到很多方面。是否要用到分类讨论，要具体情况具体分析，关键看参数值的不确定性是否对解题有无阻碍，不能一概而论。 2.某些数学定义、等本身就包含多(转 载于:wWw.xLTkwj.cOM 小 龙 文档网:高中数学,分类讨论)种情况在中学数学中，某些定义本身就包含了多种情况，譬如:分段函数(不同的自变量值有不同的对应关系)，绝对值(可以看作是一个特殊的分段函数)，直线的斜率(存在或是不存在)、等比数列求和公式(分公比等于1和不等于1)等等。所以，在解决涉及这些方面的问题时，经常会用到分类讨论。 例1:a=1/2是直线ax，2y,3与直线x，a(a,1)y，6 垂直的什么条件, 解析:在解决直线平行的问题时，通常采用的方法是 两直线斜率k1?k2=,1。关键是涉及到直线的斜率问题，就应该考虑斜率不存在的情况，这也是此类题目的易错易漏之处。显然可知，当 一条直线斜率不存在，而另一条直线斜率为0也是直线垂直的一种情况。所以，要用到分类讨论。 解:?若两直线斜率都存在，则: 3 k1?k2=,a/2×(,1/a(a,1))= ,1解得:a=1/2 ?若一条直线斜率不存在，而另一条直线斜率为 0，则:(大括号)k1=,a/2=0 a(a,1)=0 解得:a=0 综合得:要是该两条直线垂直，a=1/2或0 所以是:充分不必要条件 例2:设函数f(x)=x 3-3x,求过点A(1，,2)的切线方 程 解析:由题意得，该切线过点A，而易知:点A在f(x) 的图像上。所以会出现两种情况:点A是切点或不是切点，需要用到分类讨论。 解:得:f′(x)=3x-3 ?若A是切点,k=f′(1)=0 ?切线方程为:y=,2 ?若A不是切点，设切点为(x,y)，其中，x?1 则:(大括号)y=x 3-3x 篇二:高中数学分类讨论专题 分类讨论专题 一、选择题(本题每小题5分，共60分) 1(用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数，把这些自然数从小到大排成一数列，则1230是这个数列的 4 A(第30项 B(第32项 C(第33项 D(第34项 ( ) ( ) 2(已知函数f(x) =3 - 2|x|，g(x) = x2- 2x，构造函数F(x)，定义如下:当f(x)?g(x)时，F(x) = g(x);当f(x),g(x)时，F(x) =f(x)，那么F(x) A(有最大值3，最小值-1 C(有最大值7-27 ，无最小值 B(有最大值3，无最小值 D(无最大值，也无最小值 3(从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则 A. 0B(m等于 nD( ( ) 1 4C(1 21 6 bn?an 等于 limn??bn?an ( ) 4(记二项式(1+2x)n展开式的各项系数和为an，其二项式系数和为bn，则 A(1 B(,1 C(0 D(不存在 5(过点C(1,2)作直线，使其在坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线的斜率为( ) A(?1 6(设函数f(x)?? A(a B(?1 C(?1或2 D(?1或2 ??1(x?0)(a?b)?(a?b)?f(a?b)(a?b)的值为( ) ，则2?1(x?0) B(b 5 D(a、b中较大的数 C(a、b中较小的数 ( ) A(圆或椭圆或双曲线 C(两条射线或圆或椭圆 7(已知点P在定圆O的圆内或圆周上，圆C经过点P且与定圆O相切，则动圆C的圆心轨迹是 B(两条射线或圆或抛物线 D(椭圆或双曲线和抛物线 8(若集合A1、A2满足A1?A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一个分拆，并规定:当且仅当A1=A2 A.27 B.26 C.9 D.8 ( ) 时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1,a2,a3}的不同分拆种数是 2?(当n为奇数时)?n，9(已知函数f(n)??2 且an?f(n)?f(n?1)，则a1?a2?a3???a100 ?(当n为偶数时)??n， 等于 A(0 B(100C(-100 D(10200 () 10(四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为 ( ) A(5724B( C(71035D(47 70 11(设双曲线的左、右焦点为F1F2的一个顶点P在双曲 1、F2，左、右顶点为M、N，若PF线上，则PF1F2的内切圆 6 与边F1F2的切点的位置是 A(在线段MN的内部 C(点N或点MB(在线段F1M的内部或NF2内部 D(以上三种情况都有可能 ( ) 12(从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要 求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 A(210种 B(420种 C(630种 D(840种 ( ) 二、填空题(本题每小题4分，共16分) ?1x?0?sgnx13(定义符号函数sgnx??0 x?0， 则不等式:x?2?(2x?1)的解集是??1x?0? 14(已知正?ABC的边长为2，则到三个顶点的距离都为1的平面有_________个. 15(从装有n?1个球(其中n个白球，1个黑球)的口袋中取出m个球?0?m?n,m,n?N?，共 mm有Cn?1种取法。在这Cn?1种取法中，可以分成两类:一类是取出的m个球全部为白球，共有m1m?1种取法;另一类是取出的m个球有m?1个白球和1个黑球，共有C1种取法。显C10?Cn?Cn m1m?1mmm?1m然C10?Cn，即有等式:?C1?Cn?CnC?C?C?1nnn?1成立.试根据上述思想化简 7 下列式 子: m1m?1m?2m?kCn?Ck?Cn?Ck2?Cn???Ckk?Cn? ?1?k?m? n,k,m,n?N?. 16(直线l经过点P?2,?1?，它在y轴上的截距等于它在x轴上截距的2倍，求直线l的方程。某学 xy??1， 则b?2a (1)， ?点P在直线l上，ab 213???1(2)，解由(1)、(2)组成的方程组，得a?,b?3，?直线l的方程为ab2生作出了以下解答: 设直线l的方程为 2x?y?3?0. 判断上述解法是否正确，如不正确，给出你的答案 . 三、解答题(本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17((本小题满分12分)已知数列{an}中,an?0(n?N),其前n项和为Sn，且S1?2，当n?2 时， Sn?2an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn?log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 篇三:高中数学二次函数分类讨论经典例题 例1(1)关于x的方程x2?2(m?3)x?2m?14?0有两个实根， 8 且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围; (2)关于x的方程x2?2(m?3)x?2m?14?0有两实根都在[0,4)内，求m的取值范围; ?关于x的方程x2?2(m?3)x?2m?14?0有两实根在?1,3?外，求m的取值范围 (4)关于x的方程mx2?2(m?3)x?2m?14?0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围. 解(1)令f(x)?x2?2(m?3)x?2m?14，?对应抛物线开口向上，?方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于f(1)?0(思考:需要??0吗,)，即m??21. 4 (2)令f(x)?x2?2(m?3)x?2m?14，原命题等价于 ?f(0)?0?2m?14?0?f(4)?0?16?8(m?3)?2m?14?0?27??????? m??5. 2(m?3)?5?4?0??2??7?m??3 ???m??5,m?12?4(m?3)?4(2m?14)?0? (3)令f(x)?x2?2(m?3)x?2m?14，原命题等价于 ?f(1)?0?1?2(m?3)?2m?14?021即?得m??. ?4?f(3)?0?9?6(m?3)?2m?14?0 (4)令g(x)?mx2?2(m?3)x?2m?14，依题得 ?m?0?m?019或?,得??m?0. ?13?g(4)?0?g(4)?0 例2(1)已知函数f(x)?ax 范围; 值范围。 2?a?2，若f(x)?0有解，求实数a的取值(2)已知f(x)??x2?4x，当x?[?1,1]时，若f(x)?a恒成立，求实数a 9 的取 解:(1)f(x)?0有解，即ax2?a?2?0有解?a(x2?1)?2有解?a?解?a?|2|max?2.所以a?(??,2). x2?12有x2?1 (2)当x?[?1,1]时，f(x)?a恒成立?[f(x)]min?a.又当x?[?1,1]时， [f(x)]min?f(?1)??5，所以a?(??,?5). 【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论:(1)f(x)?a恒成立?[f(x)]min?a;(2)f(x)?a恒成立?[f(x)]max?a;(3)f(x)?a有解?[f(x)]max?a;(4)f(x)?a有解?[f(x)]min?a. 例3已知函数f(x)?ax2?(2a?1)x?3在区间[?,2]上的最大值为1，求实数a的值。 分析:这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数a是否为零，如果a?0,f(x)的最大值与二次函数系数a的正负有关，也与对称轴x0?1?2a的位置有关，但f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必2a32 须用讨论法。 解、a?0时，f(x)??x?3， 3f(x)在[?,2]上不能取得1，故a?0. 2 f(x)?ax2?(2a?1)x?3(a?0)的对称轴方程为x0?1?2a. 2a 3 2 10 233此时x0???[?,2]， 202(1)令f(?)?1，解得a??10， 3 因为a?0，f(x0)最大，所以f(?)?1不合适。 (2)令f(2)?1，解得a? 此时x0???[?,2]， 313 ?0,x0???[?,2]，且距右端点2较远，所以f(2)最大，合适。432 1(3)令f(x0)?1，得a?(?3?22)， 2 1验证后知只有a?(?3?22)才合适。 2 31综上所述，a?，或a??(3?22). 4213323， 432因为a? 11