对标准偏差估算公式选用的一种解释

对偏差估算公式选用的一种解释 2001年l2月 第16卷第4期 江南学院 JOUI~IALOFJIANGNANo0UU? .200l .16No4 【文章编号]10?一~7C2001)04一?97—04 对标准偏差估算公式选用的一种解释 糜觉 (江南大学计算科学与信息传播系,江苏无锡214064) [摘要】针对用标准偏差估算公式对偏差的平方取平均值时为什么除n一1而不 除n( 用数理统计学的观点作了数学证明,使工科物理实验课程在为测量次数)的问题, 相关 章节的讲授中有合理的解释. [关键词]随机误差;数学期望;随机变量 [中图分类号】0411[文献标识码】B Anl~plmmliontotheF_~maiionFormulaoftheStandardAffect MIJI1e (Dep日I廿WnofCalculationScienceandInformafi~Communication, SouthernYang~eUniversity,Wuxi,Jiangsu,214064,im) Abstract:hlobtainingtheaveragevahleofthesquaredeviationwiththeestimationfom~laofs tandard affect,whyisitdividedby一1insteadofn?(nstandsforthesurvey.ti姗)collcemiJlgthisques d?,thispaperg【Ves蚰mathem~aicalexplanationfromastatisticalane,thusofferings0? leIleIp协the teachiIofrelatedpartsin血l?ringexperimentc0Il. Keywords:random~Yfor,mathematicalexpiration,randomvariables 在工科物理实验中常用标准偏差来估算随机误差的离散程度,它的形式分别为: 厂———一厂—————一 m= ?吉(一)(1)()=??(一)(2) 在以上两式中n为测量次数,(一i)为偏差的平方,m和()称为方差.因在实验 中测量次数总是有限的,所以通常用(2)式来估算测量列中单次直接测量的标准偏差(). 在课堂上讲到上述(2)式时,学生往往会提出这样的问题:"在标准偏差的估算公式中,对偏差 ?"对这个问题,的乎方取平均值时为什么要除/t,一1而不除n许多教科书的解释各不相同,往 往以简短的一句话带过.这些简短的解释往往使学生不可理解.笔者在教学过程中认为用偏 04;.I订日期:2fiOl一(39—08 啦稿日期:2001—07— 怍者筒卉:嚷觉(1952一).女,江苏无锡人.讲师 97? 离数学期望和不偏离数学期望来解释这个问题,学生较易理解. 要解释以上问题,首先要引入数学期望这一概念. 设随机变量X的分布函数和分布密度分别为F()和,(),如果积分1xdF()或 I)d绝对收敛,则积分结果为随机变量X的数学期望,并且用E()表示.即J E()=LdF()L) 由定义知,数学期望是随机变量概率密度曲线的中心位置,对于单峰对称的概率密度曲 线,数学期望就是与曲线峰值对应的位置. 由于随机误差近似服从正态分布,它的概率密度分布曲线具有单峰性,对称性,有界性,抵 偿性等特性.因此其算术平均值就是其峰值所在的位置,无穷多个测量值的平均值就是该物 理量的真值o.根据定义可以证明服从正态分布的随机变量的数学期望.即 E()=』(=. 正态随机变量的方差: DX:I(—E())dF()=d(dF():)dx(E():8)J一 同样对于n元正态随机变量(,:……)的方差为(,,…砜).其中 1)x=: 方差的算术根取正值就是正态分布的标准偏差. 为什么由于实验中测量次数有限就只能用(2)式来估算标准偏差呢?如在等精度条件下 对一个已知其真值为n的物理量进行n次直接测量,由于各种随机因素的综合影响,每次测 量的结果不可能完全一致,如果将每次测量结果分别用,,……?……来表示,则测量的 ?, =(一o),n次测量的平均值为j=.根据随机误差的特性可知,随着测,' 真误差为:?. 量次数的增加,直到n充分大的情况下必然有 4A ?(一.)? l旦L—一芍O同样liraL—E():8rr?rr' 符号表示左边的变量稳定于右边的数,这个数就是概率.且随着测量次数的增加,频率 越来越稳定于概率.故在等精度条件下对同一直接被测量进行测量时,当n充分大时用(1) 式或(2)式来估算标准偏差都是同样可靠的.但因实验课时间有限,测量次数n不可能充分 大,在此情况下选用(1)式和(2)式中的哪一个更好呢? 已知数学期望表示随机变量X在测量次数n充分大时的算术平均值(真值).而(1) 式和 (2)式中的算术平均值则是在等精度条件下.对同一直接被测量进行有限次测量时真值的一个 最佳估计值,通常在实验中通过测量得到的一系列数值组成的函数值包括偏差,标准偏差等都 是那些被测对象的估计值.因估计值不是真值,而是真值的近似值,所以常将估计值看成是一 个新的随机变量.从这个意义上说.要衡量两个估计值的优劣.实质上是对这两个随机变量进 行全面的比较和鉴别,而正态随机变量如在数学期望处取值,则能使密度函数取得最大值,即 ? 98- 随机变量取值为数学期望时最可靠.因此要区分估计值的优劣,关键就是要看其是围绕数掌 期望取值,还是偏离数学期望取值. 根据以上比较标准偏差估算公式的两种形式: (1)式的方差形式为 : 宝(一i)(注:由定义知方差的数学期望应该为)i;I 其右边为平均值均方偏差,数学期望为 --. 砉()={客【(.)一(—n)]. = 高(一n)一(一.)砉(一.)+(i一.) : 高(.)一2(i一.)+(i一.) = 毒(.)一(—n) . . . E(m)=(砉(.))一(i—n) = 砉E(%一n)一E(i一.) __l(麓一口)=DX:d (i一.)=:D(客)=?客巩=rid2= ..(m2):.一:玛nnn 可见(1)式方差的数学期望不是d而是!2,即(1)式方差的估计值不是在左右摆 动,而是在!左右摆动.随着测量次数的增加,其估计值不是靠近其数学期望,而是靠 近里.若采用(1)式作为标准偏差的估计值.将导人一个系统性的误差,这应该可以 避免. 为使标准偏差的估计值能围饶其数学期望取值,须将(1)式乘来消除上述系统误差. 即 =m rt-I:rt~虮=l — i)=1一 i) 上式两边取数学期望得 E(m)=(m)='= (2)式的方差形式为 ()=1善(i) 可以看出上式的数学期望为 (())=E(m)==未(i) 亦即 ? ?? ):?高( 上式即为标准偏差的估算公式(2),即贝塞尔公式.这从数理统计学的观点证明了用(2) 式来估算标准偏差比用(1)式来估算标准偏差更好.故在等精度条件下,对同一直接被测量进 行有限次数的测量时用(2)式来估算标准偏差比(1)式更为稳妥. [参考文献] [1]龚镇雄普通物理实验中的数据处理[M].西安:西北电讯工程学院出版社,1985 [2]冯浩鉴.相关平差概论[砌.北京:测绘出版社,1982 [3]张兆圭,罂莲元.大学物理实验[M].上海:华东化工学院出版社,1990. 江南大学科技产业集团简介 江大科技产业集团是以江南大学为投资主体,按照现代企业制度组建的集科,工,贸为一 体的股份制企业.公司总资本为2550万元,有科技开发工程总公司,建筑设计院,社桥科技 工业园,轻大科学园有限公司,轻大工程设计研究院,东方新格环境装饰工程有限公司等2o多 个下属科技企业.集团本着以江大为依托,以创新为主体,以优秀人才为支点,以资本为纽带, 以市场为导向的,积极扩大对外联合,力争通过3,5年的努力,培养l,3个基本具备上 市条件的企业集团,培养一批具有市场眼光的科学家和具有科学眼光的企业家.积极参与无 锡大学科技园的建设,并分步实施集团的"8633"."8"为八个专业孵化平台,即:特种纺织 材料,生物技术与生物制药,设计产业,功能食品与食品添加剂,农副产品深加工集 成技术,清 洁生产及环保工程,精细化工,光机电一体化等."6"为6个部省级工程中心."3"为3个拟上 市企业."3"为3个博士后工作站.真正把企业建成科技成果的转化基地,科技产业发展的辐 射基地,创新人才的培育基地和大学经济的示范基地,形成学科建设与科技产业的双赢格局, 推进集团经济的跨越式发展. (笔斗) ? 100?