牛顿莱布尼茨公式

…………………………装………………………订………………………线………………………… 教学过程 1、复习旧知识，引入课题 （1）复习：定积分的概念及几何意义 原函数的概念 导数的定义 （2）课题引入：从上节的例题和习题中可以看到利用定积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时甚至无法计算。下面将通过对定积分与原函数关系的讨论，到出一种计算定积分的简便有效的—牛顿-莱布尼茨公式。 2、讲解新课 2.1 定积分与不定积分的联系 若质点以速度 作变速直线运动，由定积分的定义，质点从时刻 到 所经过的路程为 。 另一方面，质点从某时刻 到时刻 经过的路程记为 ，则 ，于是 注意到路程函数 是速度函数 的原函数，因此把定积分与不定积分联系起来了，这就是下面要介绍的牛顿-莱布尼茨公式。 2.2牛顿-莱布尼茨公式 定理：若函数 在 上连续，且存在原函数 ,即 ， ，则 在 上可积，且 …………………………装………………………订………………………线………………………… （1） 则上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式，它也常写成 证明：由定积分定义，任给 ，要证明存在 ，当 时，有 下面证明满足如此要求的 确实是存在的。事实上，对于 的任一分割 ，在每个小区间 上对 使用拉格朗日中值定理，则分别存在 ，使得 （2） 因为 在 上连续，从而一致连续，所以对上述 ，存在 ，当 且 时有 于是，当 时，任取 便有 ，这就证得 …………………………装………………………订………………………线………………………… 所以 在 上可积，且有公式（1）成立。 公式使用说明： （1）在应用公式求 时， 的原函数必须是初等函数，否则使用公式求 失效。即 的原函数 可由 求出。 （2）定理的条件还可以适当减弱，如： 1） 对 的要求可减弱为：在 上连续，在 内可导，且 ，不影响定理的证明。 2）对 的要求可减弱为：在 上可积（不一定连续），这时公式（2）仍成立。 2.3 例题讲解 例1 利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分 （1） （ 为正整数） （2） （3） （4） …………………………装………………………订………………………线………………………… （5） 解：其中（1）—（3）即为上节的例题和习题，现在用牛顿-莱布尼茨公式来计算就十分方便了。 （1） （2） （3） （4） （5）先用不定积分法求出 的任一原函数，然后完成定积分计算： 例2 利用定积分求极限： 解：把极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分。为此作如下变形： 不难看出，其中的和式是函数 在区间 上的一个积分和（这里所取得是等分分割， ），所以 …………………………装………………………订………………………线………………………… 当然，也可把J看作 在 上定积分，同样有 注意：这类问题的解题思想，是要把所求的极限转化为某个函数 在某一区间 上的积分和的极限，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算 的值。 3、课堂小结 微积分基本公式： 若函数 在 上连续，且存在原函数 ,即 ， ，则 在 上可积，且 4、课后作业 习题4-3       …………………………装………………………订………………………线…………………………               …………………………装………………………订………………………线…………………………         …………………………装………………………订………………………线………………………… …………………………装………………………订………………………线…………………………             …………………………装………………………订………………………线………………………… 山西水利职业技术学院纸       …………………………装………………………订………………………线………………………… 山西水利职业技术学院教案纸         …………………………装………………………订………………………线………………………… 山西水利职业技术学院教案纸         …………………………装………………………订………………………线………………………… 山西水利职业技术学院教案纸         …………………………装………………………订………………………线………………………… 山西水利职业技术学院教案纸         …………………………装………………………订………………………线………………………… 山西水利职业技术学院教案纸