一元二次方程的解法易错点剖析

一元二次方程的解法易错点剖析 一元二次方程的解法错解示例 a,一、在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数0 22k,2k,1例1 关于x的方程是一元二次方程，求k的值( (k,1)x，x，k,0 2k,2k,1,2错解:? 2k,2k,3,0即 ?,3，,,1. kk12 2ax，bx，c,0错解分析:方程(0)为一元二次方程，这里强调0.当, ,,aak2 2k,1时，使,1,0，原方程是一元一次方程.正确的解法是 2,k2k12,,,,, ?,3. k,2k10,,,,, a,二、在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数0 2例2 关于x的一元二次方程有实根，求的取值范围. (m，1)x，23mx，3m,2,0m ,错解:?方程有实根，??0， 2即?0， (23m),4(m，1)(3m,2) ?,4m，8?0，??2. m 错解分析:因为题中说明是一元二次方程，则还应满足，10，即,1，,,mm所以正确解法是 2,(23m)4(m1)(3m2)0,,，,,, ,m10,，,,, ??2，且,1. ,mm a三、忽视根的判别式和二次项的系数应满足的条件 12x,mx,n,0例3 已知关于x的方程的两根之积比两根之和的2倍小，并且两根2的平方和为22，求，的值. mn 错解:设两根分别为，，则，,，,,. xxxxxxmn121212 1 11,,2(xx)xx，,,2mn,，,,,1212由题意，得 即 ,22,,222,,m2n22,，,xx22,，,,12, m7,,m3,,,,,12,,解得 或 ,,1327n.,n,,,12,,,2,2 2m，4n错解分析:因为方程有两根，说明根的判断式,?0，即?0，但,7和mn 27,,不满足，应舍去.又这里二次项系数,1是已知的，解题时可不考虑，a2 所以正确解法是再增加: 27272当,7，,,时，,0，不合题意，舍去; 74,,,，mn22 13132当,,3，,时，(3)4>0， ,,,，，mn22 13,,3，,. ?mn2 四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况 xx，14x，a，,例4 为何值时，方程只有一个实数根. ax，1xx(x，1) 2错解:原方程化为. 2x,2x，(1,a),0 此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根， 2?， ,,(,2),4，2(1,a),0 1a,?. 2 2错解分析:当方程的两实根中有一个是原方程的增根，另一根2x,2x，(1,a),0 是原方程的根时，命题也成立.所以正确解法是再增加: 2把,0代入，得,l; 2x,2x，(1,a),0xa 2把,,1代入，得,5. 2x,2x，(1,a),0xa 1?当,，,1，,5时，原分式方程只有一个实数根. aaa3122 2 五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑是二次方程时的情况，忽视是一次方程时的情况. 2 已知关于的方程有实根，求的取值范围. 例5k(k,1)x，2kx，k,0x k10,，,k1,，,,错解:当即时，方程有实根， ,,222(2k)4k(k1)0,,，,4k4k4k0,，,,, ??0且1时，方程有实根. kk, 错解分析:只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程.正确解法应增加: 当,1,O，即,1时， kk 1方程化为2x，1,0，?x,-. 2 ?当?0时，方程有实根. k 六、不理解一元二次方程的定义 2m，1例6 方程(m,1)x，2mx,3,0是关于x的一元二次方程，求m的值. 2错解:由题意可得m，1,2，?m,?1( 错解分析:一元二次方程满足的条件是:?只含有一个未知数;?未知数的最 2高次数为2;?整式方程(方程经整理可转化为一般形式:ax，bx，c,0(a?0)(本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件( 2正解: 由题意可得，m，1,2，且m,1?0，?m,?1且m?1，?m的值是,1( 七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆 2例7 用配方法求2x,12x，14的最小值( 222错解: 2x,12x，14,x,6x，9,2,(x,3),2( ?当x,3时，原多项式的最小值是,2( 错解分析: 一元二次方程配方时，二次项系数化为1，方程两边同时除以二次 3 项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数(要注意等式与代数式变形的区别( 2222正解: 2x,12x，14,2(x,6x，7),2(x,6x，9,2),2(x,3),4( ?当x,3时，原多项式的最小值是-4. 八、解方程中错误使用等式的性质 2例8 解方程( x,6x 2错解: ，解这个方程，得,6( x,6xx 错解分析: 本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式( 2正解: x,6x， 2 x,6x,0， x(x,6),0， ?x,0，x,6( 12 九、例9 关于x的方程2x,4,x，k,1，有一个增根为4，求k的值( 1.对增根概念理解不准确 错解1:把x,4代入原方程，得2×4,4,4，k,1，解得 k,,3. 错解1分析:本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中去，等式不应该成立(实际上解法中把4当作原方程的根，而没有当作增根来处理( 2.忽略题中的隐含条件 2错解2:将原方程化为整式方程，得 4(x，k),(x,5,k)( (*) 2把x,4代入整式方程(*)，得4(4，k),(4,5,k)( 解之，得 k,,3，k,5(答:k的值为,3或5( 12 4 错解2分析:本解法已经考虑到增根的定义(增根是在将无理方程化为整式方 程时产生的，所以题目中的增根x,4肯定是在解整式方程(*)时产生的(将x ,4代入整式方程(*)，等式应该成立(求出k,,3，k,5，但本解法忽略了12对k值的验证( 将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须 将求得的值和,4代到原无理方程中去验证( kx 正解: (1)将k,,3，x,4代入原无理方程，左边,2×4,4 ,4,3,1，右边1 ,1(左边,右边( ?当k,,3时，x,4是适合原方程的根(不是增根)( (2)将k,5，x,4代入原无理方程，左边,,1，右边,1，左边?右边( 2 ?当k,5时，x,4是原方程的增根( 综上所述，原方程有一个增根为4时， k的值为5( 十、忽略前提，乱套公式 2x例10 解方程:+3x=4. 23错解:因为?=-4×1×4=-7,0，所以方程无解. 错解分析:用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一般形式 2xa+b+c=0(a?0).如果同学们没有理解这一点，胡乱地套用公式，解方程时x 就会造成错误. 2x正解:方程可化为+3-4=0. x 23? =-4×1×(-4)=25,0. ,3,5x=. 2 即=1, =-4. xx12 5 十一、误用性质，导致丢根 例11方程(-5)(-6)= -5的解是( ) xxx A.=5 B.=5或=6 C.=7 D.=5或=7 xxxxxx错解:选C.将方程的两边同时除以-5得-6=1,解得=7. xxx 错解分析:在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则就会产生漏根的现象，导致解题出错. 移项得(-5)(-6)-( -5)=0，因式分解得(-5)(-7)=0,解正解:选D.xxxxx得=5，=7. xx12 十二、考虑不周，顾此失彼 22xm例12 若关于x的一元二次方程(m+1)- +-m-2=0的常数项为0，则m的x 值为( ) A. m=-1 B.m=2 C.m=-1或m=2 D.m=1或m=-2 2m错解:据题意可得-m-2=0，解得=-1,=2，所以选C. mm12 2m错解分析:错解中根据题中条件构造关于m的方程-m-2=0，以达到求m的值的目的，这样思考并没有错，错就错在忽略了一元二次方程的一般形式 2xa+b+c=0中必须有a?0这一条件. x 2m正解:据题意可得-m-2=0，解得=-1,=2.又因为m+1?0,故m?-1，所以mm12 ，故选B. m=2 十三、一知半解，配方不当 2x例13 解方程:-6-6=0. x 22x错解:移项，得-6=6，故(x-3)=0 x 解得==3. xx12 错解分析:运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号 6 一边加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加或者加错.所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的，避免配方不当产生错误. 2x正解:移项，得-6=6, x 2x所以-6+9=6+9, x 2即=15, (x,3) 解得=3+,=3-. x1515x12 十四、概念不清，导致错误 例14 下列方程中，一元二次方程为 . 132222(3)40xx，,,; ; ; (2)(2)310xx,，,,(1)43xx,33 22(6)6(5)6xxx，,; ; . (5)12x,,(4)0x, 错解:多找了(2)或(6)或少找了(3)或(4) 错解分析:多找了(2)或(6)是因为没将方程整理，少找(3)是将它看作是分式方程，少找了(4)是因为方程没有一次项，常数项过于简单(判断一方程是否为一元二次方程，首先看它是否为整式方程，若是整式方程，再进行整理，整理之后再看它是否符合定义的另两个特点. 正解:是方程(1),(3),(4) 十五、忽略二次项系数a?0导致字母系数取值范围扩大 22例15.如果关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值( (2)340mxxm,,，,, 22(2)03040mm,,,，，,,错解:将x,0代入方程中，得， 2m,4m,,2，. m,,20错解分析:由一元二次方程的定义知，而上述解题过程恰恰忽略了这一 7 点，正确解法应为: 将代入方程中，得 x,0 22 (2)03040,mm,,,，，,, 2mm,,,4,2. 又因为，所以. m,,20m,,2 十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的，导致错解 22mxxxmx,,,，32例16(关于x的方程是一元二次方程的条件是什么, 错解:由一元二次方程的定义知m,0 . 错解分析:一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的. 2(1)(3)20mxmx,,,,,而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得， mm,,,10,1?( 22mxxxmx,,,，32所以关于的方程是一元二次方程的条件为m,1( x 十七、忽略一元二次方程有实根条件Δ?0导致错解 2222xxxx，例17. 已知,是方程的两实根，求的最大值. xkxkk,,，，，,(2)3501212错解:由根与系数的关系得 2xxkk,，，35xxk，,,21212，， 222xxxxxx，,，,()2121212 22,,,，，(2)2(35)kkk 2,,,,kk106 2,,，，(5)19,k 22xx，k,,5所以当时，有最大值19. 12 2xx，，,7150k,,5错解分析:当时，原方程变为，此时Δ,0，方程无实根. 错因是忽略了Δ?0这一重要前提. 8 正解:由于方程有两实根，故Δ?0， 22,,,，，,(2)4(35)0kkk即 ,,, 4解得,4?k?,. 3 22xx，时，有最大值18. 所以当k,,412 十八、未挖掘题目中的隐含条件导致错解 222222(1)(3)5xyxy，，，,,例18.若,则=_________. xy， 22222()2()80xyxy，,，,,错解: 2222(4)(2)0xyxy，,，，, 2222解得=4或=-2 xy，xy， 2222的非负性，所以应舍去=-2. 错解分析:忽视了xy，xy，正解:4 一元二次方程错解示例 2axx，,,350一、例1 已知方程有两个实数根，求ɑ 的取值范围( 错解:? 已知方程有两个实数根， ? ??0， 2即 34(5)0,,，，,,a 9? a?,. 20 9所以ɑ的取值范围是大于或等于,的实数( 20 错解分析:因已知方程有两个实数根，这个方程必须是一元二次方程，解答过 9程忽略了二次项系数ɑ不为0 的条件，正确的结果是: ɑ?,且ɑ?0( 20 2kxx,，,230二、例2 当k 为何值时，方程有实根? 9 错解:? 已知方程有实根， ? ? = (,2)?,4× 3 k?0， 1解得k?(又k?0， 3 1? 当k?且k?0 时，方程kx?,2x + 3= 0 有实根( 3 错解分析: 题目未说明已知方程为一元二次方程，当k = 0 时，方程为一元一 13次方程，此时有实根x=，也符合题意，正确的结果为:当k?时，已知方程有32 实根( 已知关于x 的方程( m? , 1) x? ,( m + 1) x + 1 = 0 的两实数根三、例3 互为倒数，求m的值. 1,12错解:?已知方程的两根互为倒数，由根与系数关系，知， m,1解得( m,,2 1,12经检验，它们都是方程的根， m,1 所以m 的值为，,( 22 错解分析:求出的m 值需保证已知方程有两个实数根，因此m 的值除满足是解题过程中的分式方程的根外( m? ? 1) ，还需代入已知方程的根的判别式进 2xx,,，,(12)10行检验(实际上，当m =,时，方程为，Δ =，232240,,,此时已知方程无实数根( 因此正确的结果为: m 的值是( 2 222xxxx，，,31xpxq，，,0四、例4 已知是方程的两个实数根，且，xx，121212 11()()0xx，，，,12，求p，q 的值( xx12 错解:由根与系数关系，有xxpxxq，,,,,.? 1212 22xxxx，，,31,由得 1212 2()1xxxx，，,1212， 10 ? p? + q = 1( ? 11()()0xx，，，,12由，得 xx12 1()(1)0xx，，,12xx12， 1,，,p(1)0?( ? q 由?得p=0 或q=,1( 当p=0 时，代入?得q=1( 当q =,1 时，代入?得p=?( 2 所以p，q 的值是0，1或，,1 或,，,1( 22错解分析:与例3 类似，当p=0，q=1 时，方程为x?+ 1 =0，此时没有实数根， 正确的结果是: p，q 的值为，,1 或,，,1( 22 11