数学与哲学的关系

数学与哲学的关系 数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科。这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学，而马克思主义哲学是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科学。马克思主义哲学来源于实践，同时又对实践具有重要的指导意义。它来自于具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括，同时又对具体学科有着重要的指导作用。 因此，数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中，以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神。这就需要研究数学与哲学的联系，将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起，用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学。 1、数学对哲学的作用 美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积分理论——非标准分析。 在非标准分析中，构建非标准实数轴并引入单子概念，使非标准实数轴成为一个层次结构空间。在该空间中，单子外部表现为不同数量层次之间质的差异;单子内部是无穷小量，其间只是量的差异，其比值是有限数量，其运算性质是同单子外普通实数是一样的，可重新作为微分运算的出发点。因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。而在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。 法国数学家托姆，在考察自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上，运用微分映射的奇点理论，为这类客观现象建立了数学模型，用以预测和控制该类客观对象，这就是突变论的产生。 突变论提供的模型表明，在一定条件下，质变可以通过飞跃的形式来实现，也可以通过渐变的方式来实现。在给定的条件下，只要改变控制因素，一个飞跃过程可以转化为渐变;反过来，一个渐变过程也可以转化为飞跃。突变模型还表明，在奇点 (质变点)领域事物状态的变化，不仅具有多种可能性，而且有它的随机性。 2、数学的发展促进了逻辑的模式一合情推理的发现 美籍匈牙利数学家波利亚在数学领域里观察分析众多典型事例基础上，经过比较综合，概括出合情推理的这一发现模式。 波利亚把科学推理分成论证推理和合情推理两种。论证推理是一种必然推理，有逻辑所制定和阐明的严格标准，每一步推理步骤都须经的住逻辑规则检验。合情推理则是一种或然推理，它由一些猜想构成的，因而它的标准是不固定的。事实上，人类的认识都是经过合情推理才得到，而论证推理的主要作用在于肯定或解释我们所得到的知识。波利亚给出了三种合情推理类型:渐弱证明式、渐弱启发式、以及启发式。 无数事实证明，合情推理模型具有很大的普遍适应性，是科学发现逻辑的一般模式。 3、数学发展使得科学思想方法产生重大变革 数学中某一重大成果及某一重要思想方法的取得，有时会为科学思想方法带来巨大活力，引起科学思想方法的重要变革。美国控制论专家扎德于1965年创立的模糊数学就是典型事例。 模糊数学是以模糊性事物和现象为研究对象的，模糊集合论与经典集合论之间的根本区别在于两者赖以存在的基本概念集合的意义不同。在经典集合中，一个元素是否属于一个集合，只有两种可能，属于或不属于，二者必居其一，其特征函数的逻辑基础是二值逻辑，它是对事物 “非此即彼”的定量描述;模糊集合是把特征函数推广到隶属函数，把仅能取0与1两个值推广到可以取 [0，1]的任何实数值，其逻辑基础是多值逻辑，它是对事物 “亦此亦彼”状态的定量描述。模糊集合是与经典集合密切相关的。 当隶属函数的值只含0，1两个数的集合时，这时的隶属函数就是经典集合中的特征函数，此时的集合就是通常的经典集合。当把经典集合的特征函数视为隶属函数时，则经典集合也可看作是模糊集合。经典集合是特殊的模糊集合，而模糊集合是经典集合的推广。 模糊理论已不断丰富，应用范围不断扩充，就基础理论而言，已经涉及到诸如模糊数、模糊关系、模糊图、模糊概率、模糊判断、模糊逻辑、模糊识别以及模糊控制等;就应用领域来说，已渗透到物理学、化学、生物学、医学、气象学、地质学、社会科学、人文科学、系统论、控制论、信息论与人工智能等。可见，模糊数学给整个科学带来巨大的方法论启迪，它是科学思想史上的一次重大转折。而今，认识和利用模糊数学已经成为观察世界、分析客观事物的一个重要基本方法。 4、 哲学为数学发展起到了指导作用 在人类的科学手段、科学方法尚未达到真切认识事物的时候，哲学往往有很强的前瞻作用，这种认识往往会指导人类去准确定位客观事物，对科学的发展方向能够正确把握。 哲学作为人类认识世界的先导，其首先应当关注的是科学的未知领域，其往往对科学的发展有预言性定论。在一门学科发展的萌芽阶段，其粗浅认识经常以哲学的形式出现。这方面的例子举不胜举。 哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前，哲学家谈论元素在化学家研究元素之前，哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前。 希尔伯特曾直言不讳，他关于无限的形式主义思想来自康德的哲学观念。罗素从分析哲学的基本立场出发，坚持逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代的观点。从这个意义上来讲，哲学实际上就是数学发展前进路上的方向盘。 数学作为空间形式和数量关系的科学，其研究的是客观世界的运动规律，因而其必然是唯物的。数学对象是人类抽象思维的结果，无法脱离感性事物而独立存在。数学是形式的，但决不是形式主义的。数学的抽象形式离不开现实世界，在内容上仍与现实有着密切的关系，抽象的数学内容在现实世界中都能找到原型。如平面几何的全等，就是反映了把两个现实对象相互贴附在一起的实际操作过程;微积分的概念，反映了自然界无限接近的结果。不过，数学形式对客观现实而言，具有相对独立性。数学理论住,往仅通过内部因素交汇融合、震荡提炼，就会涌现出简明深刻、和谐统一的理论。但是，我们应当充分认识到，这仅仅是 暂时的形式脱离内容。这种居高临下的发展态势，往往有助于人类进一步理解认识其他学科。只有形式而无内容的事物是世界上没有的，数学的形式必须结合内容才会获得旺盛的生命。那种在数学工作中人为的推广、盲目的抽象，往往会形成无足轻重的支流末节，不久就会在数学大地上干涸消失。雄才大略的希尔伯特数学规划的破产就是不争的事实。因此，数学研究必须以客观事物及其发展规律的客观实在性为前提，通过科学实践完成所要解决的课题。 证唯物主义克服了古代朴素唯物主义的缺点和唯心主义的局限性，是科学辩 的世界观和方法论。半个世纪以来，数学的发展呈现两个态势，即高度分化又高度综合。分化越深人，综合就越需要，这是辨证统一的。在数学研究中自觉地运用辩证唯物主义哲学做指导，就可能避免或减少片面性、局限性，否则数学的发展就可能会误人歧途，停滞不前。数学发展史上有很多这样的实例，如古希腊宁愿使用 “严格但相对贫瘠的穷竭法”而不采用根基松懈但很有效的 “原子法”，正是由于深受柏拉图唯心主义的影响。 非欧几里德几何学诞生时，这一伟大的发现之所以不能立即被人接受，就连高斯这样伟大的数学家也不敢发表看法，正是由于康德哲学在作怪。 因此，哲学对数学发展的影响是深远的，正确的哲学思想无疑会极大促进数学发展，反之，错误的哲学思想会阻碍数学的发展。 5、哲学作为方法论，为数学提供有用的认识工具和探索工具 从实无穷小一潜无穷小一实无限与潜无限交叉，无穷小方法走过了漫长的曲折道路。实无穷小方法是一种静态的思想方法，潜无穷小方法是一种动态的思想方法，两者是辨证统一的。当人们认识充分到无穷小量方法和无限可分方法并非绝对对立，它们不仅具有内在联系，而且是相辅相成的，在一定条件下，还可以相互转化、相互借用的辨证统一后，无穷小方法在就有了突破性进展，因此就有了微积分的诞生的前提。 近代数学公理化进展中最重要且最有效的成果之一，就是明确地认识到数学的基本概念并不必须具体化，冲破了教条主义哲学的束缚。 再如:借用模型研究原型的功能特征及其内在规律的数学模型方法，在当今已成为解决科学技术及人脑思维等问题的最重要的一种常用方法。它的主要特征是高度的抽象化和形式化。那么，如何揭示和把握这种抽象形式结构的规律性呢?是运用数学变换方法。它的思想基础是辩证法:任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断的发展变化。因此作为一个数学系统和数学结构，其组成要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的。数学家们也正是利用这种可变的规律性，强化自身在解决数学问题中的应变能力，不断提高自己解决数学问题的思维能力和技能、技巧。 6、数学与哲学的渊源 历史上很多知名的数学家也是有影响的哲学家。他们既研究数学也研究哲学。比如:古希腊的泰勒斯(公元前624一前547)，他是著名的哲学家，希腊几何学的鼻祖，也是天文学家。 古希腊的毕达哥拉斯(约公元前580一前497)，他是古希腊数学家、天文学家、哲学家，还是音乐理论家。他发现了勾股定理。他的哲学基础是“万物皆数”。 法国的笛卡儿(1596—1650)，他是数学家、哲学家、物理学家，角析几何的奠基人之一。他于17世纪上半叶划时代地在数学中引进了变量概念和运动的观点，被恩格斯赞誉为是 数“学的转折点”，它导致了微积分的诞生，进而推动 了自然科学的发展。<几何学)虽是这位著名的哲学家的惟一一篇数学著作，然而它的历史价值却使笛卡儿的名字在数学史卷上写下了重重的一笔。 法国的莱布尼茨(1646—1716)，他是德国的数学家、哲学家、科学家。他独立创建了微积分，并发明了优越的微积分符号。他在哲学上是客观唯心主义者，“单子论”是他的著名哲学观点。 7、历史上很多哲学家及其哲学思想影响着数学的发展 马克思(1818—1891)和恩格斯(1820—1895)不仅创立了马克思主义哲学，对数学研究和发展起到了巨大的指导和推动作用，而且他们也直接研究过数学。在辩证法的研究中，他们对变量进入数学给了高度评价，同时直接考察了无穷小量。这可见于马克思的<数学手稿>、因格斯的<自然辩证法>以及他们的其它著作和通信中。对于实无穷小的建立，他们的思想无疑是富有启发性的。但由于<数学手稿>长期没有发表，人们对马克思和恩格斯在这方面的工作所知甚微。 哲学家亚里士多德(前384一前322)，他也是逻辑学的创始人，为几何学奠定了巩固的基础。他的公理化思想促进了几何学的诞生和发展。哲学家柏拉图(前428一前348)对严密定义和逻辑证明的坚持，促进了数学的科学化。哲学家赫拉克利特提出的朴素的辨证法的思想促进了数学的发展。 8、数学史上的三次“数学危机"都与哲学有关 哲学家芝诺于公元前5世纪提出了几个著名的悖论，加之无理数的发现，使人们对于数学能否成为一 门科学产生怀疑，这就是第一次 “数学危机”;由于初期的微积分逻辑上的缺陷，围绕微积分基础开始了大论战。英国的唯心主义者大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，数学家、哲学家和神学家都纷纷介入，引起了第二次 “数学危机”;哲学家罗素在集合论中发现的“罗素悖论”，震动了整个数学界，引起了数学界、哲学界激烈的争论，史称第三次 “数学危机”。 这三次“数学危机”，都和哲学家及其哲学思想相联系，伴随着哲学家之问激烈的论战，反映了尖锐的哲学思想的斗争。历史表明，“危机”大大促进了数学基础的奠定工作，数学在攻击的洗礼中进一步并不断地完善和发展。同时说明，在新学科产生的时候，总是唯心主义者首先加以反对，而实践又总是证明，利用新理论暂时的逻辑上的困难所制造的 “危机”，虽然可能暂时阻碍理论的发展，但必然随着新理论的基础的完善而消失。科学就是在这种不断战胜各种唯心论和形而上学的过程中发展和完善的。 故数学和哲学事相互促进，共同发展的。数学和哲学都产生于生产劳动的实践，它们都是随着社会的进步，科学的日益发展而发展。哲学的观点决定了数学的思想，哲学思想指导着数学的发展。在数学中处处体现了唯物辨证法的思想的光辉，处处闪烁着人类思维进步的理论结晶。数学的每一成果，都是 自然现象理性的概括。数学的每项重大成就，都在证实并丰富和发展马克思主义哲学理论。所以，数学和哲学有着不可分割的内在联系。哲学以博大的胸怀容纳了数学的理论，数学以广泛而深奥的知识丰富了哲学宝库。要想学好数学，必须具有哲学的理性思维的头脑，并且要掌握哲学科学的认识方法。