【doc】《量子力学》自学辅导之二—光的波粒二象性（续）

【doc】《量子力学》自学辅导之二—光的波粒二象性（续） 《量子力学》自学辅导之二—光的波粒二象 性(续) 2卷第lO期 993年l0月 告善移彦二桑瞧 大学物理VOI_【2NO,l0 oct.1993 竹 D 《量子力学》自学辅导之二 ' 2 (=)曹心愉裴文杰宋宇辰'V1' 系,上海200433;2)复旦大学理论物理骨干教师斑,L海200433) 二,德布罗意(deBroglie)波和量子化条件 直接显示物质粒子波动性的实验,是戴维孙一革 末(Davisson—Germer)的电予衍射实验:经i蝴差 加速的由电子枪发射的电子束,经镍单品散射,在一 系列方向上散射电予柬取极大值,他们发现 ,/ 一 sm0=常数 这是一个典型的衍射现象.他们把镍晶体切开,抛光, 去枵,把轰击面作成所谓{jiI}平面(这个平面在立 方晶体三个棱上截距相等),电子束垂直照射这个表 面,相应的平面栅常数dTM2.I5A.他们把实验数据代 入衍射公式n2;dsin,推算出电子束的波长 2=h,,j,即^;h/p 后来,施特恩(Stern)等人用更为明显的方式来显 示物质粒子的渡粒二象性.他们使用的是氯分子束, "为了得到机械的单色光,氦分子束穿过两个齿轮组成 的系统.两个齿轮周定在同—个轴上作快速旋转.…… 两个齿轮之间没有扭动错位,所以两个相互对准的获 缝能同时截断粒子束(粒子束轨迹平行于转轴)".设齿 轮每秒钟转数为,齿轮一圈的齿数为?,两个齿轮之 间的距离为,如果不计两齿之间狭缝的宽度则齿 轮转过一个齿的时间是1/Nn,而恰恰在这一段时间内 走完距离的分予,能从下一个狭缝穿过,因而其速 度=NnL.选样选出的单一速度分子(.单色分子), 具有渡长2=h/NnLM(或中为氦分予质量),让这 束单色分子照射氧化锂晶体表面,使得到相应的衍射 极大值分布. 截维孙一革末的电子衍射实验和施特恩的分子 衍射实验非常清楚地显示了物质粒子(电子和分子)具 有波动性的一面,虽然在制备一束粒子时,我们根据 其徽粒性计算出它们的动量值,但是在它们与晶体 相互作用时,我们叉不得不放弈这种经典图象而改用 波动网象.这表明,我们不能把构成物质的基本单元 —— 电于,原子分子等,设想为在三维空间中运动 的离散经典质点或经典质点系.例如把原子设想为 电于绕棱旋转的.微现行星系",把晶体设想为由经典 质点构成的点阵等等,事实上,如果应用经典力学, 经典电动力学和经典统计力学来处理这一类模型,我 们将遇到巨大的困难. 第,,如果说电子在原子中象经典荷电质点那样 绕核转动.按经典电动力学.电子将按速率3/3c 不断辐射能量而耗损自身动能,最终落入核心.也就 是说,经典的"行星模型"不能保证原子的稳定性,从 而最终不能解释原子的存在. 第二,以氢原子为例,即使保证电子作为经典荷 电质点在椭圆轨道上运动,它也将辐射出整数倍绕棱 旋转频率的电磁波谐波成份,但光谱中的谱线却不构 成谐波关系.如果认为每条诺线额率都是一个基频, 即就意味着原子有无数多振动自由度,这不但要求原 子包含无数多荷电质点,而且在热平衡下,按经典统 计力学的能量均分定理,每个自由度的平均能量为kT. 换句话说,这种物质应具有无限大比热,这显然是荒 谬的. 第三,如果把晶俸点阵中的原予,设想为在平衡 位置附近振动的质点.按能量均分定理,原子的三个 振动自由度对比热的贡献是常数3K.但是,在低温下 人们发现固体比热趋于零. 为了解决第一个困难(原子稳定性问题),玻尔假 定原子巾的电予只能处在一系列特定的稳定轨道上 电子在这些轨道上运动时,并不象经典电动力学所预 言的那样连续地辐射电磁波.确定这些被允许的特定 轨道(称为定态)的条件,,称为量子化枭件".索末菲 以非常一般的形式给出了量子化条件:对于一个r自 由度的保守力学系.如果我们能找到一组正则变数 ,;pf,pr)1并且找到_厂个运动稠分口f=I 'q1,一,Pf);…;At--,Pil.使得P.可以表 达为运动积分和相应的吼的函数 f=P.(l,…,) 【iI,-一, 而.或者是一个角度(在0到2之间变化),或者在 J:限_f(.,…,嘶)和F限吼之问取值这时我们就称 该动力学系是一个多周期可分体系:对丁这种体系的 量子化条件是 r . .'l 9), i=1,?,r:ni=常数 r J,在经典力学中称为怍用变数",其中积分号是指 J ^2 Idq,(当吼是一个转角时).或者是指从g,到_I积分 J0一 的两倍 J.2lP(;..,却)dqf J生 由F被积函数和积分限.qi依赖于参数l,,,, 故,个作用变数是,个运动积分的函数也可把,个 运动积分表达为f个作用变数的函数 j畸畸(Jlt?,J,) 11,.,, 耐f保守力学系,能量总是一个运动积分,令E=. 我们把能量封作用变数的依赖表为 E=l(Jl,…,Jt)=E(J,,…,,) 代人量子化条件.=n,h,得到以量子数.,.,标 志的定态的能量(能级)公式 ,….afiElh,…,mh) 为了解决第=个困难,即光谱问题,玻尔假定原 子由一个定态(,…,)改变到另一个定态(.,… /),是一个没有中闻连续过渡的突然跳变,并且伴 随着电磁波的一次发射或吸收,称为一次"量子跃迂 相应的电磁渡频率 =AE 式中?E是两定态能级差向高能级跃迁吸收电磁渡 向低能级跃迁,则是发射电磁波.这一频率公式表达 了跃迁时的能量守恒要求,例如,向高能级跃迁时 ..<__,原子吸收一个频率为的光子,根据频 率公式 v:(.一E..) 从而得到 ^ l一?l+E-lBl 玻尔的这一假定完垒解释了里兹(Ritz)组合定则,即 光谱中谱线的频率或渡数(=1/5.=vA,)总可表达为 两个"谱项之差i=TLT.很清楚,这里的谱项本质 J:就是定态能量.更准确地说 J:2/ch ,!一ln2. 为了解释固体低温比热的困难我们也必须假定固 体中在晶格格点附近振动的原子的行为服从玻尔的两 个假定在初级近似中,可以把一个原子视为在三个 方向l:独立振动的谐振子.例如,在方向上振动时 取能量E作为运动积分. 巨=l=eS/em+1/2mo~2x r = d 由~v"—2mE, - — m~ea2x2dx 由被积函数等于0解出上.F限=(2正/mto). =一 (2),于是 2I?dx =2q'—2m—E , ? 代人表达式,令=n.fl得 j?E)=n 因此,Ex=方fJJ[育=^,2),而原子总能量 E;E+巨+E=(++豫山 式中..H独立地取正整数(包括0).因此,原子 在热平衡F的平均能量 ???e一?= = 争而万一???en 嘶 3;~rne一-. 一= 原子的比热贡献,在低温F趋于零 巫dT:(kT0r(1一 e一?)' 德拜(Debye)指出,在低温F,还必须考虑原子之问 45 g d E = 蓍 或 .'柏上i=怍用,即由振荡原子之间的嘏台造成娘子 " 惮{叫:链的声波激发.如果对这种弹性链应H{索束非 子化条件,在驻竣端点条件F,便得到空腔电磁 波类似的声波量子化:进一步计算鼍子化声波的平均 能量,就可算出更准确的固体低温比热公式. 玻尔的假定不仅可以解释光谱,而且可以解释物 质枉与原子相互作用而产生的跃迁现象.例如.弗 '!克一赫兹(Franck—Hertz)实验表明.当电子通过 汞蒸汽时入射电子束能量在一系列能量值l:,如4.9 ev,6.73ev等,电流突然降低,并伴有相应的光辐 射片i玻尔假定来说明这一现象是容易的:只有当 电子能量达到一定值,它才能把原先处最低能级 (基态)的原子激发到邻近的一个较高能缎:同样 H有当电子能量达到更大的一系列值时,才冉可能把 原激发到相应的一系列更高能级当原子后来由受 激发的较高能级(激发志)跃迁回到基态时,便产生相 应的辐射.既然擞发志与基态能量差AE=V为 电子能量,为电子电荷绝对渣),因而辐射电磁坡糖 率v=AE/h:PV/h. 又如,一个质点在半径为d的圆形轨道卜作周期 运动,它的德布罗意波长n离足圆形轨道驻波条件= 2ha(n=整教),于是旋转角啦和角动量J=ap对正 则变量满足量子化条件瞳E意到=旱=—生) :一柚 这里可看到由德布罗意渡圆形轨道驻波条件,可导出 角动量的黾子化 ,=ap'^/2nTi 因此,当氢原子中电子绕棱旋转时,其圆形轨道半径 和相应德布罗意波长i的关系为 ^=2na=A) 同时,由于电子的惯性离心力与核的静电吸0l力平衡 要求 血: pa? l式联立,解出 nh2 , ()!1'\J 缶一 条仁要求(设第i个自由度周期为) 46 4)P.:lpi.dt=nrh1J:I,?.r) 式中一.是整数.例如,谐振子能缎 fa=r和:.c,嘶a. 德布罗耐进一步目【^物质渡的概念来解释玻尔 一 素末菲量子化条件.他的基本思想是把物质粒子设 想为某种"物质波,和电磁渡一样,物质嫂"的1睦长 z(德布罗意波长)或渡矢七与粒子动量p满足p=Yik= 喜扛=k/~-),而频率和能量也满足类似关系= hv:m)然后,象我们前面处理空腔电磁波那样,把 "驻波与定态"联系起来,例如,一个封闭在边长为 L的空腔中的电子,它的波矢七应满足驻波条件(壁 上为0).2/2=L(1,2.3)即 k詈詈t} .,为整教.这个驻波条件相当于玻尔一索求 菲量子化条件,由于P=h/2=n~/'2L,故 :z=警 中一 d:3^ 于是能缎已,,,?(一+;+;)? 直接显示上述物质粒子角动量量子化现象的早期 实验是施特恩一格拉赫实验(1922年).在这项实验 中,他『门让物质原子(例如银原子)束通过非均匀磁场, 后者梯度方向(记为=轴)与原子束垂直原子的磁矩 与非均匀磁场的相互作用产生一个净作用力F,其方 向沿:轴,其大小正比于原子磁矩U在=轴上的投影 U一.既然原子束中大量原子磁矩是随机取向的,因而 受到磁场散射的原子束在z方向上应有一对称的连续 分散(取原子束的瞄准点为z轴原点)但实验显示 原子束通过磁场后,不连续地分裂成L.F对称的两 束,也就是说入射原子的磁矩在:轴上只取两个相反 分量值?一实测表明I一I=,因而原子磁矩u要么 滑4-:方向,要幺沿=方向fO=0或)往?定条 件(例如激发态)原子束在非均J磁场中还町以分裂 为更多束原先认为原子磁矩的不连绩取向似乎提示 一 种原f取向灼"空间量子化一,但是我1通过原子 物理已经知道,基志银腻子的磁矩丰要是外层电子的 旌磁矩t忽略核磁矩),激发态原于的啦矩州由总角 动量决定,所谓"空问量f化"本质只是角动量子 化现象角动最星f-化有一个作常令人吃惊的现象:如 果说,基态银原子磁矩只职?=两个方向,那幺它在 乖直=的轴【如轴)J:的投影必定为零,但事实并非 如此我们只要把施特恩一格拉赫仪器转动一F,让 磁场梯度沿空间轴(假定原子束方向始终取向l-轴), 我们发现,银原子束仍然分裂为不连续的两束这似乎 义表明不是沿士:轴方向而是沿?轴方向!这一 悖论的根源是我们不加限制地在用经典力学观念来理 解原的磁矩和角动量,把它们看成是来源于质点系 在二三维空间中连续运动而产生出来的物理量} 从前面的讨论中,我们注意F面一些完垒违背经 典物理的新观念: 【I)波粒_二象性不但电磁波,而且象电F这样 的物疆粒f-都具有嫂动性和微枉性两个方面的性质. 不同的实验安排,它们显现出不同的十宅质.在光的干 涉衍射实验中,由于涉及到大量光子,并且光子的 渡长与光栅间距可以比较,因而主要呈现出波动性质. 在康普顿散射实验中,光子波长非常短,而散射事件 又只涉厦单个光子,因而光子更突出地表现出微粒性 质.I可样,在戴维孙一革末实验条件下,电子的德布 罗意波长与晶格栅间距可以比较.而且入射电子束含 有大量电,因而呈现出波动现象.相反,在室中 [J_F电子德带罗意波长远小于木滴的尺度,而个电 FLj原f发生一次非弹性碰撞{电离)产牛一个可观察 的小水滴,因此,电子象经典质点那样在=ij室中划出 一 条由小水滴组成的清晰运动轨迹. (2)量子跃变和几率最f不连续性包含两个方 , 一 是象能量,角动量那样的物理景取不连续的分 离值现象:一是这些不连续量的改变,是'个按机会 突然发生的,没有中问连续过渡阶段的.作为不可分 割整体的最子转移过程或跃迁过程让一个具有确定 动量的粒子射向接收屏,我们无法准确预言它将击中 哪一点,因为当它与构成屏的原F相碰撞时晾的 电离作为一个量子跃迁过程是按概率发生的.究竟哪 个F会发生这一跃迁事先无法知道.如果把量f跃 迁设魁为粒子或波在时空中连续进行的过程,例如 牲由一条轨迹连续地转移到另一条轨逋,被场象流 体一样在空间中连续地改变等等,这时,我们就可以 按照其连续运动的规律,由初始状态预言其后状态的 发展过程,从讲,我们完垒不必要用概率来描 述其变化.但个量子跃迁都是一个无法预言的突然 改变,它是整体而不可分割的,裁们既无法断定它发 生的精确时刻(只知遭在一个小的时间间隔内),也不 能把它进一步细分为若干阶段量子跃迁作为微观 世界一个突发事件,其本身无法用经典力学或经典电 动力学那种方式来描述,它是无法确切预言的,本质 是统计性的(服从或然性),因此,大量跃迁事件只 服从缆计规律,我们必须用给定条件F一个量子跃迁 发生的概率来描述它们. 请读者考虑一下,测量仪器产生一个结果,如接 收屏上出现一个斑点,记数器记录到一个粒子,云室 中出现一条径迹,光谱呈现某条谱线等,所有这些都 涉及列原子的跃迁过程,所以毫不奇怪,量子力学在 描述测量结果时总是采用统计的语言,甚至对德布罗 意渡也用概率的语言重新加以解释, [侧1]利用玻尔一素末菲的量子化条件求一维 谐振子的能量. 【解1设谐振子能量为E,按经典力学 n 21一 =+1I={+?,D:(1) 卅为振子的质量,口为动量,k=mf为常量,clJ为经 典粒子的角频率.设粒子能量为E时其是大活动范围 是I?d而当x=?d时.T=0,故 口?2E(2) 按素末菲量子化条件一 d)P?如= 即 f,踊 =2,I,dx J =2m?/2 Ht0?sHh 得出口=nh/nrruo(3) 由(2),(3)两式解得 E-删2a2/2=,0n^/2?=n^n)/2=,赢. n=l,2,3,… [侧2]利用玻尔一索末菲量子化条件求均匀磁 (转3O页) 47 .f1便感应}}}电压信号.由可以看H1.:的睐冲信作操人探讨,有兴趣的读者可阅读 有关专着或文献 ..的峰值相对应. 3(e)表明,进一步增大,.时,的信号随之 增大,但波形上总有一部分为零的直线段.这是因为 当,l<,lc(11c:,c/?1)时,超导环内的涡电流,s= 1v,l<Nllclc,超导环仍能保持抗磁作E}j因此,在 <,lc的这段时间内/,=0. 4画出丁,的峰值大干llc时…波形枉相位 1.的对应关系. 根据我们所用的元件数据和图示的测最值可计算 出样品的临界电流,?IA,由此可计算出相应临界 电流密度=67A/cm.但对于同一材'的另一切割 // ,—,\/一 ,《. J,\ i, j一,/ 厂\ ,V, . \ lline 4超导环中的感应电流超过临界电流后电fh信号,2与 输入信号11的相位对应关系 块,用直流四引线法测得的Tc=91K,?22A/era 发现二者结果不一致用直流四l线法测得的要 比甩述环形样品感应珐测得的太几倍,这是两 者的失超不同引起的.此外高氧化物超 导材料是?类超导体,磁通骧结状态的破坏或电阻的 现并不意味着由超导态真正转变为正常态,这 磁通的"演阻超导态有关.对这方面的问题,本文不 四.演示器的结构, 整套装置由示-嫒器信号发生器,液氨容器和带 手持杆的测量头组成. 手持杆是一段不锈钢管,导线从管内穿过.杆的 一 端是蒯量头,另一端为接线挂.手持杆的长度以便 干将测量头插入液氯容器(一般用广口冰瓶)为宜. 测量头由线圈,B,超导环SC,铁轭和活动的铁 芯组成.与文献『】1采用的封6『j式的磁盒不同,我 们尽量使装置与原理圈一致,使原副线圈礁超导环 之间的耦台一目丁然,因而具有更好的演示功能.此 外,铁芯可方便地从线圈中取出或插入,便于演示时 更换样品环. 超导样品是用粉末法反应烧结的YBa,Cu]O7一 (YSCO)用Y,O,BaCO,CuO为原一.按化学组分 比混合后,经950?高温反应,再研磨.压制成圆片, 烧结并通氧气退火如此得到的样品致密性不根高, 可直接用钻头打内孔.若是掺杂的,或II}i熔融法制备 的高密性样品,由于硬度很高,需借助于研磨砂,用 类似于玻璃打孔的技术来制成环形样品.. 五结论 在互感器两个线圈的磁路中,插入一个超导环, 不仅演示了超导电的基本特征(临界电_疏,临界温度 和磁通捕获现象),而且还利用超导环的磁通俘获作 用,可以使副线圈的感应信号消失将输入电漉增大 到使超导环中感应的抗磁环流大于超导材.'的临界电 撬值时,盟II超导环失去磁屏蔽性而在副线圈两端出现 感应信号电压,由此可推算出超导环的临界电流值. 参考文献 …1GPMeisner,CATaylor.JAppIPhys1989,66 (f接47页) 场中作圆周运动的电子轨道的可能半径. 【解】均匀磁场中的正则动量 D=—eA 式中用e为电子的质量和电量,为磁场的矢势.若 采片{拄坐标系,设均匀磁场沿:轴方向电子在平 面内运动,剐有 = B×,/2=BrO/2 并且=坤,则 = (m一孚) 式中的由j各伦兹力确定 xBl=P=/r 即=eBr/m,敝有 = (r一孚r)=丁lpI丁丁删 利用玻尔一索末菲条件,且注意到如=rdO,有 = 聿){?,d自={?: 园电子道的可能半径为:,=:等 n:1.2,3, f续完)