1 圆面积公式
设圆半径为 :r, 面积为 :S .
则 面积 S= π?r^2 ; π 表示圆周率
即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方即
S=πr^2
2 弓形面积公式
设弓形AB所对的弧为弧AB,那么:
当弧AB是劣弧时,那么S弓形=S扇形,S?AOB(A、B是弧的端点,O是圆心)。
当弧AB是半圆时,那么S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr^2。
当弧AB是优弧时,那么S弓形=S扇形+S?AOB(A、B是弧的端点,O是圆心)
计算公式分别是:
S=nπR^2?360,ah?2
S=πR^2/2
S=nπR^2?360+ah?2
3 菱形面积公式
3.1
简述及证明
菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)?2
菱形的面积也可=底乘高
抛物线弓形面积公式
抛物线弦长公式及应用
本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及
解决一些与弦长有关的题目.
简单明了,以供参考.
抛物线弓形面积公式等于:以割线为底,以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4,即:
抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S
定理 直线y=kx+b(k?0)被抛物线y^2=2Px截得的弦AB的长度为
?AB?= ?
证明 由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2,+=0
? y1+y2=,y1y2=.
?y1,y2?==2,
??AB?=?y1,y2|=
当直线y=kx+b(k?0)过焦点时,b=,,代入?得?AB?=P(1+k2),
于是得出下面推论:
推论1 过焦点的直线y=kx,(k ?0)被抛物线y^2=2Px截得的弦
AB的长度为
?AB?=P(1+k2) ?
在?中,由容易得出下面推论:
推论2 己知直线l: y=kx+b(k?0)及抛物线C:y^2=2Px
?)当P>2bk时,l与C交于两点(相交);
?)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);
?)当P<2bk时,l与C无交点(相离).
3.2 定理应用
下面介绍定理及推论的一些应用:
例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x^2截得的线段的长?
分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用?即可.
解 曲线方程可变形为x^2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y,,
即k=1,b=,.由?得?AB?=4.
例2 求直线2x+y+1=0到曲线y^2,2x,2y+3=0的最短距离.
分析:可求与已知直线平行并和曲
线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.
解 曲线可变形为(y,1)^2=2(x,1)则P=1,由2x+y+1=0知k=,2.由推论2,令2bk=P,解得b=,.?所求直线方
程为y,1=,2(x,1),,即2x+y,=0. ?.
故所求最短距离为.
例3 当直线y=kx+1与曲线y=,1有交点时,求k的范围.
解 曲线可变形为(y+1)^2=x+1
(x?,1,y?,1) ,则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1),k+2,?b=2-k.由推论2,令2bk?P,即2k(2,k)?,
解得k?1,或k?1+.故k?1,或k?1+时直线与曲线有交点.
注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.
例4 抛物线y^2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.
解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=,.由?, |OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.?抛物线方程为y^2=x.
例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知?OF?=a,?PQ?=b,.求SΔOPQ
解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y^2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由?|PQ|=,
已知|PQ|=b,k^2=.?k^2=tg2θ?sin2θ=.即sinθ=,
?SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π,θ)=ab sinθ=. 3.3 常见的面积定理
1( 一个图形的面积等于它的各部分面积的和;
2( 两个全等图形的面积相等;
3( 等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底的和相等)的面积相等;
4( 等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高(或底)的比;
5( 相似三角形的面积比等于相似比的平方;
6( 等角或补角的三角形面积的比,等于夹等角或补角的两边的乘积的比;等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比;
7. 任何一条曲线都可以用一个函数y=f(x)来表示,那么,这条曲线所围成的面积就是对X求积分 4 扇形面积公式
在半径为R的圆中,因为360?的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2,所以圆心角为n?的扇形面积:
S=n(圆心角)xπ(圆周率)xr 2【半径的平方(2次方)】/360
比如:半径为1cm的圆,那么所对圆心角为135?的扇形的周长:
C=2R+nπR?180
=2×1+135×3.14×1?180
=2+2.355
=4.355(cm)=43.55(mm)
扇形的面积:
S=nπR^2?360
=135×3.14×1×1?360
=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)
扇形还有另一个面积公式
S=(1/2)Rl
其中l为弧长,R为半径
4.1 扇环面积
圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径))
圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方)
用字母表示:
S内+S外(?R方)
S外—S内=?(R方-r方)
还有第二种方法:
S=π[(R-r)×(R+r)]
R=大圆半径
r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径
还有一种方法:
已知圆环的外直径为D,圆环厚度(即外内半径之差)为d。
d=R-r,
D-d=2R-(R-r)=R+r,
可由第一、二种方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d,
圆环面积S=π(D-d)×d
这是根据外直径和圆环厚度(即外内半径之差)得出面积。这两个数据在现实易于测量,适用于计算实物,例如圆钢管。
5 三角形面积公式
5.1 海伦公式
任意三角形的面积公式(海伦公式):S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=(a+b+c)/2, a.b.c为三角形三边。
证明: 证一 勾股定理
分析:先从三角形最基本的计算公式S?ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。
证明:如图ha?BC,根据勾股定理,得: x = y = ha = = = ? S?ABC = aha= a× = 此时S?ABC为变形?,故得证。
证二:斯氏定理
分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:?ABC边BC上任取一点D, 若BD=u,DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明:由证一可知,u = v = ? ha 2 = t 2 = , ? S?ABC = aha = a × = 此时为S?ABC的变形?,故得证。
证三:余弦定理
分析:由变形? S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 ,2abcosC 对其进行证明。
证明:要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。
证四:恒等式 分析:考虑运用S?ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式:若?A+?B+?C =180?那么 tg ? tg + tg ? tg + tg ? tg = 1 证明:如图,tg = ? tg = ? tg = ? 根
据恒等式,得: + + = ???代入,得: ?r2(x+y+z) = xyz ? 如图可知:a+b,c = (x+z)+(x+y),(z+y) = 2x ?x = 同理:y = z = 代入 ?,得: r 2 ? = 两边同乘以 ,得: r 2 ? = 两边开方,得: r ? = 左边r ? = r?p= S?ABC 右边为海伦公式变形?,故得证。
证五:半角定理 半角定理:tg = tg = tg = 证明:根据tg = = ?r = × y ? 同理r = × z ? r = × x ? ?×?×?,得: r3 = ×xyz
5.2 坐标面积公式
1:?ABC,三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),
S?ABC=?a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2?/2.
2:空间?ABC,三顶点的坐标分别为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S,则
S^2=(a1b2+b2c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+
(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2.
6 椭圆面积计算公式
椭圆面积公式: S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。