勾股定理逆定理

教学目标 理解并能灵活应用勾股定理的逆定理，深刻理解互逆命题与互逆定理 教学重难点 重点：互逆命题的理解 难点：能熟练应用勾股定理逆定理， 第一部分：知识点回顾 知识点1：互逆命题与互逆定理 （1） 互逆命题：一般的如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。 （2） 互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称为原定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理。 注意：（1）互逆命题是两个命题形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换即可得到它的逆命题。但是当原命题成立时，它的逆命题不一定成立。 （2）每一个定理都是一个命题，它有逆命题，当且仅当这个逆命题经过证明是正确的时候，即也是一个定理的时候，才能称为原定理的逆定理。当这个逆命题不成立的时候，原定理没有逆定理。 知识点2：勾股定理的逆定理       如果三角形的三边长度分别是，并且满足,那么这个三角形是直角三角形。 注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。 （2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。 知识点3：勾股数     （1）满足的三个正整数就是一组勾股数 （2）对于任意两个整数，这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。 （3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15 第二部分：自我评测 知识点 掌握情况 备注 非常好 一般 有待提高 互逆命题与互逆定理 勾股定理的逆定理 勾股数 第三部分：例题剖析 例题1：写出下列命题的逆命题，并判断真假。 （1） 同位角相等，两直线平行。 （2） 如果x=2，则=4 解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等。它是真命题。 （2）逆命题是：如果=4，则x=2。它是假命题，x可以取到±2 例题2：判断由线段组成的三角形是不是直角三角形。 （1） （2） 解（1）∵ ∴ ∴是直角三角形。 （2）∵ ∴ ∴是直角三角形。 注意：计算时只需判断两较小边与较大边的平方之和是否相等即可。 第四部分：典型例题 【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。 例题3：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（      ） A  7,10,13                        B          C                  D  【变式练习】1、以下列各组数作为三角形的三边，其够组成直角三角形的是（  ） A．6，7，8      B．5，6，7    C．4，5，6      D．5，12，13 例题4：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+50 =6a+8b+10c，试判断△ABC的形状． 【变式练习】2、已知在△ABC中，AB：BC：CA=1:3：，试判断△ABC是否是直角三角形。 例题5：判断：三边长分别为的三角形是否是直角三角形 【变式练习】3、若△ABC三边满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状。 例题6：在正方形ABCD中，F是DC边中点，E是BC上的一点，且EC=BC。求证∠EFA=90°。 【变式练习】4、如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，AB=4，CD=13，CB=12，求四边形ABCD的面积是多少。 【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。 例题7：如图在△ABC中，AB=5，AC=13，BC上的中线AD=6，求BC边的长。 【变式练习】5、如图，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A B C的距离分别是3、4、5，求∠APB的度数。 【知识点三】勾股定理逆定理与折叠问题。 例题8：如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使得B落在边AD上的B′，点A落在A′上。 （1） 求证：B′E=BF （2） 设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想abc三者之间的关系并给予证明。 【变式练习】6、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于F，AF=cm，求AD的长是多少。 【知识点四】勾股定理逆定理在实际生活中的应用。 例题9：某港口位于东西方向的海岸线上，A、B两军舰同时离开港口，各自沿-固定方向航行，A舰每小时航行16海里，B舰每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后，相距30海里，已知A舰沿东北方向航行，问B舰沿哪个方向航行？ 【变式练习】7、甲乙两艘船同时离开海港，各自沿一固定方向航行。已知甲船每小时行12海里，乙船每小时行16海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，若已知甲船沿东北方向航行，试问乙船的航行方向可能是怎样？ 例题10：如图，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯上面铺地毯，则地毯长度至少要多少米？如果楼梯宽两米，每平方米地毯200元，试问这块地毯要多少钱？ 第五部分：思维误区 误区一、没有正确理解勾股定理逆定理。 【例】判断以线段a=0.6，b=1，c=0.8为边组成的三角形是否是直角三角形。 错解：∵ ∴三角形不是直角三角形。 错因分析：没有正确理解勾股定理逆定理中判断三边是否能组成直角三角形时要看最长边平方是否等于较短两边平方之和。 正解：∵a=0.6，b=1，c=0.8 ∴ ∴三角形是直角三角形。 误区二、勾股定理与勾股定理逆定理运用混淆。 【例】如图，在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，试问△ABC是等腰三角形吗？说明理由。 错解：△ABC是等腰三角形。证明如下： ∵AD是BC边上的中线，所以CD=BC=5cm 又∵AD=12cm， 由勾股定理，得=169 ∴AC=13=AB ∴△ABC是等腰三角形。 错因分析：此题错因在与没有确定直角三角形形的前提下使用勾股定理，在运用勾股定理与勾股定理逆定理的过程中混淆已知条件。 正解：△ABC是等腰三角形，证明如下： ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=DC=BC=5cm 在△ABD中，AB=13cm，AD=12cm，BD=5cm ∴ 即： ∴△ABD是直角三角形。且∠ADB=90° ∴∠ADC=90° 在Rt△ADC中，AD=12cm，DC=5cm ∴ ∴AC=13=AB ∴△ABC是等腰三角形 第六部分：方法规律 勾股定理逆定理：关键要确定最长边 勾股定理逆定理的应用：关键要能得到直角三角形 第七部分：巩固练习 习题A组 1．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的图形的面积是        2．已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是（  ） A．锐角三角形　B．钝角三角形 C．等边三角形     D．等腰直角三角形 3．在Rt△ABC中，若AC＝，BC＝，AB＝4，则下列结论中正确的是（  ） A．∠C＝90°              B．∠B＝90° C．△ABC是锐角三角形    D．△ABC是钝角三角形 4．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（    ） A．仍是直角三角形  B．不可能是直角三角形      C．是锐角三角形    D．是钝角三角形 4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（  ） A．0    B．1    C．2      D．3 第6题 第5题 第4题 5．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC约为（≈1.732，结果保留三个有效数字）（  ） A．5.00米    B．8.66米  C．17.3米    D．5.77米 6．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（  ） A．3  B．  C．1    D．4 7、△ABC的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（  ）   A．a=41，b=40，c=9      B．a=1.2，b=1.6，c=2   C．a=，b=，c=    D．a=，b=，c=1 8、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（  ） 9．下列命题的逆命题是真命题的是（  ） A．若a=b，则a2=b2 B．全等三角形的周长相等 C．若a=0，则ab=0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形 10．下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（  ）     A．4组    B．3组    C．2组      D．1组 11．如果△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则△ABC是______三角形，_____=90°，  这个定理叫做_______． 12、一个命题成立，那么它的逆命题_______成立 3、△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______． 13．已知两条线段的长为3cm和2cm，当第三条线段的长为        cm时，这三条线段能组成一个直角三角形. 14．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里． 15．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________． 16．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______． 17．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________． 13. 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．这棵树在折断之前有__________米. 14、若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为      . 15、已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为                 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形. 16、如图1,在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26.则四边形ABCD的面积为____________. 图3 图1 17、如图3所示的一块地，已知AD＝4m，CD＝3m， AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积是__________. 18、1.判断由下列各组线段a、b、c的长，能组成的三角形是不是直角三角形，并说明理由. （1）a＝6.5，b＝7.5，c＝4；                  （2）a＝11，b＝60，c＝61； （3）a＝，b＝2，c＝；                    （4）a＝，b＝2，c＝；  19、如图3，AD=7，AB＝25，BC＝10，DC＝26，DB＝24，求四边形ABCD的面积. D 习题B组 1.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD，试判断△EFC的形状. 2.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形. 3.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？ 4.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：△ABC是直角三角形.                                                           5.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积. 6.如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。 7.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长 第八部分：中考体验 1、（2010•湛江）以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（  ） A．1，2，3      B．2，3，4    C．3，4，5    D．4，5，6 2．（2009•遂宁）如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为       cm 3．（2007•江苏）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为       mm． 4．（2011•青岛）如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1=        5．（2011•贵阳）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为l，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依次类推到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为