焦点三角形面积公式

椭圆焦点三角形面积公式的应用 定理  P P 在椭圆（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，，则. 证明：记，由椭圆的第一定义得 在△中，由余弦定理得： 配方得： 即 由任意三角形的面积公式得： . 同理可证，在椭圆（＞＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1  若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求 △的面积. 解法一：在椭圆中，而记 点P在椭圆上， 由椭圆的第一定义得： 在△中，由余弦定理得： 配方，得： 从而 解法二：在椭圆中，，而 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！ 例2  已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（    ） A.               B.                 C.                 D. 解：设，则， 故选答案A. 例3（04湖北）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 若P、、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（    ） A.                   B.                 C.               D. 或 解：若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又 ，故答案选D. 金指点睛 1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（  ）     A.  20              B. 22                  C. 28                D. 24 2. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积为1时，的值为（    ）   A. 0                  B.  1                  C.  3                  D.  6 3. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积最大时，的值为（    ）   A. 0                  B.  2                  C.  4                  D.  4．已知椭圆（＞1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（    ） A．1                    B．                    C．                    D． 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的方程. 6．已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P为椭圆上一点，且，△ 的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程. 答案 1. 解：，. 故答案选D. 2. 解：设， ，，. 故答案选A. 3. 解：，设， ， 当△的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，， . 故答案选D. 4． 解：，，， 又 ， ，从而. 故答案选C. 5. 解：设，则. ， 又， ，即. 解得：. 所求椭圆的标准方程为或. 6．解：设，. ，. 又，即. 或. 当时，，这时椭圆的标准方程为； 当时，，这时椭圆的标准方程为； 但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，，不合题意. 故所求的椭圆的标准方程为.