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求一类H^∞控制最优值的非迭代算法

2018-02-05 10页 doc 25KB 12阅读

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求一类H^∞控制最优值的非迭代算法求一类H^∞控制最优值的非迭代算法 [标签:标题] H融\ 第20卷第4期 1994年7月 景宅恕1 自动化学’报 一一一, {短文;.弋 求一类控制最优值的非迭代算法 杨富文 (福州太学盲气_35(J0(J2) …一,………酬… 过一个简单例子说明非迭代算法的计算过程. 关键词:H最优控制,代数Riccatl方程,最优值,非迭代算法. 1引言 求控制最优值通常采用r迭代算法”.而近几年人们试图寻找求控制 最 优值的非迭代算法,对某些特定的问题,如鲁棒控制和混合灵敏度问 题,目前已有一些求 ...
求一类H^∞控制最优值的非迭代算法
求一类H^∞控制最优值的非迭代算法 [标签:标题] H融\ 第20卷第4期 1994年7月 景宅恕1 自动化学’报 一一一, {短文;.弋 求一类控制最优值的非迭代算法 杨富文 (福州太学盲气_35(J0(J2) …一,………酬… 过一个简单例子说明非迭代算法的计算过程. 关键词:H最优控制,代数Riccatl方程,最优值,非迭代算法. 1引言 求控制最优值通常采用r迭代算法”.而近几年人们试图寻找求控制 最 优值的非迭代算法,对某些特定的问题,如鲁棒控制和混合灵敏度问 题,目前已有一些求 解”.本文是从一般情况控制问题的两个代数Riccatl方程出发, 给出了求 一 类H控制最优值的非迭代计算方法.这种方法可以直接由系统参数 求最优值,不必 通过r迭代,非常简单. 2最优控制问题的求解 具有补偿结构的反馈控制系统如图l所示.图中P为广义对象, 为控制器, I’,ER为干扰向量,”ER为控制输入向量,=E 7R为误差向量,YER为输出向量,m?P2,Pl? D’g2.已知 图1具有标准扑偿结梅 P—()Pz(]一’l P()P(J【D:D::j 假设1.(-4,B:,C:)可稳可检测. 假对所有c.有rank一, 1’福建省自然科学基金资助. 本文于1992年5月19旦恒尉 Q ? R 8 8 一 0 漫腿 F 怍 现 4期杨富文:求一类/4控最优值的非迭代算法 【cD,1J一+p” 假设3.D2一0,D11—0. 假设4.[Dz】和[D五D】部是正交矩阵,其中,蹦分别为,D的正 交补. 假设.Ec.”】一Eo】,[j.5一[1.j. 则有下列定理成立: 定理2?1若系统(2.1)满足假设l一5,则存在内稳控制器K(0使得-b P苴(,一P:x)1P:.?的充要条件是 (i)存在X?0,Y?0满足下列代数Riccatl方程: X-bx-bX(一B1—B:)x+c}c1—0,(2.2) AY-I-Y-I-Y(7一c[c一c;c)y十B.B一0.(2.3) (ii)i…(yx)?7. 证明.根据假设3—5,由文献[5]中定理21即得. 从上述定理可以看出:X和y都是7的函数,为了求最优值,必须通过反复 迭代(一迭代)求得满足()?0,Y()?0和z?…(yX)的最小值,计 算相当麻烦.下节将舟绍一种非迭代计算方法. 3一类厅控制最优值7o的求解 假设c一0(这种情况在某些H最优控制问题申是存在的.),则式(z.z)和(2.3) 可以写成: X-t-X-t-兄(,B1B一B:})一o,(3.1) /1Y5-Y/1一Ycc2Y+Bt口一0.(3.2) 引理3.1.对于代数Riccatl方程 X5-X/1,XBBX一0. 其可稳解x的秩等于的不稳定特征值的个数,且存在一个芷交阵U使得 uu一[::I,【,xu一[:】, 其中为完全稳定,为完全不稳定,五为满秩. 引理3.2.假设P?R一>0,9?R…?0,若r*p—Q?0,则?…(P19). 下面来讨论最优值的求解,因式(3.2)与7无关,故y可由系统的参数直接求 出.对式(3.1)下面分三种情况进行讨论: 由j【理3.1可知,rznltX一的不稳定特征值个数,故有 1)为完全稳定,则X一0. 12)橱富文,优化殳计理-它厦直用研究,华中理工大学尊士学位论 文,t990 自动化 2)/1为完全不稳定,则X>O,故有 x二/14-x4-_B1丑—B一O,(3.3) 令 AP4-PA一BBI,(3.4) 9+9一B.B},(3) 综合并比较式(33),(34)和(35),则有 x:一P—y-29,- 即 一7(P一9)一. 3)为部分稳定,则存在一个正交阵U一[U.U]使得 UTAU[/.11’u比u—I~o.],, 式中.完全稳定,完全不稳定,X>O.将式(3.1)左乘E,,右乘U得到 /1:2X-1+X-.三4-7-2,,BlBu一u;B2B:u2—0.(3.7) 令 ::P-+-P一u;B:B}u:,(3.8) 29+9一u:BBu.(3.9) 综合并比较式(3.7),(3.8)和(3.9),则得 X一一P—y-2Q. 即 x一(P一9),. 由式(3.6)可得 一 [:]Ur~U2”/2(御一Q)-’U. 上面给出了两个代数Riccati方程的解,除此以外,定理2.1 ?…(YX), 根据这个条件,最优值定义为一i.(YX). 下面同样分三种情况讨论最优值的计算. 1.完全稳定耐,X一0,则一O. 2.完全不稳定时,X一7(7P一9)一,式中P,9满足式(3.4)和(3.5),因 此:?…[Y(P一9)-.】,则有 f?Y(P一9),, 即 P?y+9. 注意到(/1,B)可稳,故P正定,根据引理3.2有 ?…[P-.(y+9)], 故 == {i…[p(Y+9)]){.(3.10) 4期杨富文:求一类H控制最优值的非迭代算法’85 3.部分稳定时,X一U(P一9)一’畦,式中P,9满足式(3.8)和(3.9),因 此 ?…[yu(7P一9),v1], 一 i…[vr~Y7(P一9)], 则有 ,?ujyU:7(P一9),, 即 P?ujyU:+9. 注意到(,B)可稳,故P正定,由引理3.2有 ?z…[P-l(u;yU+9)], 故 ro一”[P,(VIrU:+9)]){.(3.11) 上面给出了一类H控制最优值的求解方法,这个最优值可以直接由 系统 参数获得,不需要通过迭代,从而简化了计算. 4算例 考虑下述系统 一 B2— 22—3 132 124 0O 2O 02 D1【一O,Dl2一 ,Bl一 0.500 O00 0O0 , cc:一[:;0], 10 01 0O 一 [::],=o. 可以验证上述系统满足假设1--5,且C一O,因此Y满足式(3.2),可求 得 Y一 4756491—4.766803E—O2一.2948831 — 4.766908E一02.229962l,3357925 — 2948845.33579127703714 困是完全不稳定,故由式(3.4)和(3.5)可求得 5.9645833.679167 r20.48334— P—l一5.9645833.18125一.5395833 I3679167一.5395833185 486自动化20卷 口一 6.145833E一02 — 9.505208E一03 — 7.O3l25E—O3 — 9505208E一03 2.2l3541E一03 l432292E一03 又根据式(3.10),求得最优值为 70一O.893493. 参考文献 r1]FranclsBA.AC0ur5einHC0DtTOltheory.LecturEDOtesinCOlltrotandinformation5cnce日. v.8B.SpflngerVerlag1987. [2]DoyleJC,GIoTefK.KhargonegarPandFranelsBA.State-spacesolucionc0standardH?and 1”1.c0DtrolproblemIEBE7:ra.Au;omaS.Con”.,1989.3屯83l847. 【3]JonckheereEJandJuagJC.Fasc~omputation0fachierablefeedba~kperform~n~ejnmixed lensitivity~Hdesign.IEEETra.Autoraar.c0lr..1987.32:896--907. [4]GloTerKandMcfarlaDeDRobUStstabiliz;onofnormallzedcoprimefactor口lantdcscrip. tj0ntwithH.-boundedUIl~ert~inty.IEEETran$.Au;omat.Co”. ,1989,34:82l一82B. 【5]KasenallyEMandLimebeerDJN.ClosedfoI”mulaeforpametricmixedscn5itlitv口ro_ blem.Systmc0lrolLett.1989,t2:l一7. [6]PoltlctbwaitelGUDWand0’YoungSD.,SomecornPtttationatreIulcs0nsizereduccionin H.design.1EET.?f0m口1.Comr..1988,3171B5. AN0N?ITERATIVEALGORITHMFORSOLVING月 CONTROLOPTIMALVALUE YANGFuwm~ (DepartmentofElectricEnglnee~ingFuzhouUnioetsityF~zhou350002) ABsTRT TklspaperdiscussesanHoptimalcontrolproblem.andgivesanon— iterative algorithmforsolvingHcontroloptimalvalue.Anexampleisgiventoillustrate thecomputlngprocedureofthe11011一lteratlvealgorithm. Keywords:Hoptimalcontrol,algebraicRiccatlequation.optimalvalue I]OD.iteratlvealgorithm.- ??_?_______’__『__f , 一一 地旭 596n ;
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