求一类H^∞控制最优值的非迭代算法
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H融\
第20卷第4期
1994年7月
景宅恕1
自动化学’报
一一一,
{短文;.弋
求一类控制最优值的非迭代算法
杨富文
(福州太学盲气_35(J0(J2)
…一,………酬…
过一个简单例子说明非迭代算法的计算过程.
关键词:H最优控制,代数Riccatl方程,最优值,非迭代算法.
1引言
求控制最优值通常采用r迭代算法”.而近几年人们试图寻找求控制
最
优值的非迭代算法,对某些特定的问题,如鲁棒控制和混合灵敏度问
题,目前已有一些求
解
”.本文是从一般情况控制问题的两个代数Riccatl方程出发,
给出了求
一
类H控制最优值的非迭代计算方法.这种方法可以直接由系统参数
求最优值,不必
通过r迭代,非常简单.
2最优控制问题的求解
具有
补偿结构的反馈控制系统如图l所示.图中P为广义对象,
为控制器,
I’,ER为干扰向量,”ER为控制输入向量,=E
7R为误差向量,YER为输出向量,m?P2,Pl?
D’g2.已知
图1具有标准扑偿结梅
P—()Pz(]一’l
P()P(J【D:D::j
假设1.(-4,B:,C:)可稳可检测.
假对所有c.有rank一,
1’福建省自然科学基金资助.
本文于1992年5月19旦恒尉
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R
8
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一
0
漫腿
F
怍
现
4期杨富文:求一类/4控最优值的非迭代算法
【cD,1J一+p”
假设3.D2一0,D11—0.
假设4.[Dz】和[D五D】部是正交矩阵,其中,蹦分别为,D的正
交补.
假设.Ec.”】一Eo】,[j.5一[1.j.
则有下列定理成立:
定理2?1若系统(2.1)满足假设l一5,则存在内稳控制器K(0使得-b
P苴(,一P:x)1P:.?的充要条件是
(i)存在X?0,Y?0满足下列代数Riccatl方程:
X-bx-bX(一B1—B:)x+c}c1—0,(2.2)
AY-I-Y-I-Y(7一c[c一c;c)y十B.B一0.(2.3)
(ii)i…(yx)?7.
证明.根据假设3—5,由文献[5]中定理21即得.
从上述定理可以看出:X和y都是7的函数,为了求最优值,必须通过反复
迭代(一迭代)求得满足()?0,Y()?0和z?…(yX)的最小值,计
算相当麻烦.下节将舟绍一种非迭代计算方法.
3一类厅控制最优值7o的求解
假设c一0(这种情况在某些H最优控制问题申是存在的.),则式(z.z)和(2.3)
可以写成:
X-t-X-t-兄(,B1B一B:})一o,(3.1)
/1Y5-Y/1一Ycc2Y+Bt口一0.(3.2)
引理3.1.对于代数Riccatl方程
X5-X/1,XBBX一0.
其可稳解x的秩等于的不稳定特征值的个数,且存在一个芷交阵U使得
uu一[::I,【,xu一[:】,
其中为完全稳定,为完全不稳定,五为满秩.
引理3.2.假设P?R一>0,9?R…?0,若r*p—Q?0,则?…(P19).
下面来讨论最优值的求解,因式(3.2)与7无关,故y可由系统的参数直接求
出.对式(3.1)下面分三种情况进行讨论:
由j【理3.1可知,rznltX一的不稳定特征值个数,故有
1)为完全稳定,则X一0.
12)橱富文,优化殳计理-它厦直用研究,华中理工大学尊士学位论
文,t990
自动化
2)/1为完全不稳定,则X>O,故有
x二/14-x4-_B1丑—B一O,(3.3)
令
AP4-PA一BBI,(3.4)
9+9一B.B},(3)
综合并比较式(33),(34)和(35),则有
x:一P—y-29,-
即
一7(P一9)一.
3)为部分稳定,则存在一个正交阵U一[U.U]使得
UTAU[/.11’u比u—I~o.],,
式中.完全稳定,完全不稳定,X>O.将式(3.1)左乘E,,右乘U得到
/1:2X-1+X-.三4-7-2,,BlBu一u;B2B:u2—0.(3.7)
令
::P-+-P一u;B:B}u:,(3.8)
29+9一u:BBu.(3.9)
综合并比较式(3.7),(3.8)和(3.9),则得
X一一P—y-2Q.
即
x一(P一9),.
由式(3.6)可得
一
[:]Ur~U2”/2(御一Q)-’U.
上面给出了两个代数Riccati方程的解,除此以外,定理2.1
?…(YX),
根据这个条件,最优值定义为一i.(YX).
下面同样分三种情况讨论最优值的计算.
1.完全稳定耐,X一0,则一O.
2.完全不稳定时,X一7(7P一9)一,式中P,9满足式(3.4)和(3.5),因
此:?…[Y(P一9)-.】,则有
f?Y(P一9),,
即
P?y+9.
注意到(/1,B)可稳,故P正定,根据引理3.2有
?…[P-.(y+9)],
故
==
{i…[p(Y+9)]){.(3.10)
4期杨富文:求一类H控制最优值的非迭代算法’85
3.部分稳定时,X一U(P一9)一’畦,式中P,9满足式(3.8)和(3.9),因
此
?…[yu(7P一9),v1],
一
i…[vr~Y7(P一9)],
则有
,?ujyU:7(P一9),,
即
P?ujyU:+9.
注意到(,B)可稳,故P正定,由引理3.2有
?z…[P-l(u;yU+9)],
故
ro一”[P,(VIrU:+9)]){.(3.11)
上面给出了一类H控制最优值的求解方法,这个最优值可以直接由
系统
参数获得,不需要通过迭代,从而简化了计算.
4算例
考虑下述系统
一
B2—
22—3
132
124
0O
2O
02
D1【一O,Dl2一
,Bl一
0.500
O00
0O0
,
cc:一[:;0],
10
01
0O
一
[::],=o.
可以验证上述系统满足假设1--5,且C一O,因此Y满足式(3.2),可求
得
Y一
4756491—4.766803E—O2一.2948831
—
4.766908E一02.229962l,3357925
—
2948845.33579127703714
困是完全不稳定,故由式(3.4)和(3.5)可求得
5.9645833.679167 r20.48334—
P—l一5.9645833.18125一.5395833
I3679167一.5395833185
486自动化20卷
口一
6.145833E一02
—
9.505208E一03
—
7.O3l25E—O3
—
9505208E一03
2.2l3541E一03
l432292E一03
又根据式(3.10),求得最优值为
70一O.893493.
参考文献
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AN0N?ITERATIVEALGORITHMFORSOLVING月
CONTROLOPTIMALVALUE
YANGFuwm~
(DepartmentofElectricEnglnee~ingFuzhouUnioetsityF~zhou350002)
ABsTRT
TklspaperdiscussesanHoptimalcontrolproblem.andgivesanon—
iterative
algorithmforsolvingHcontroloptimalvalue.Anexampleisgiventoillustrate
thecomputlngprocedureofthe11011一lteratlvealgorithm.
Keywords:Hoptimalcontrol,algebraicRiccatlequation.optimalvalue
I]OD.iteratlvealgorithm.-
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