七、三个宇宙速度；

七、三个宇宙速度； 七、三个宇宙速度; 今天这次课继续要讲的内容是三个宇宙速度。和关于α粒子的散射问题。要想成功地发射人造卫星或者宇宙飞船，它的一个基本关键问题就是发射速度问题。发射速度也就是通常所说的宇宙速度，要准确地计算出实际所需的发射速度是一个很复杂的问题，它不仅仅要考虑空气阻力的影响，还得考虑其它因素的影响等等，不过我们只讨论最理想的基本理论，至于其它的实际复杂问题不是我们的研究范围。关于三个宇宙速度的计算，在普通力学中已经讲过，现在我们从另一个角度来讲，从讨论星体的速度与轨道的关系这个角度来得出三个 21mk2mv,,E.......宇宙速度。也就是说从机械能守恒出发:* 2r 由上次课的讨论，我们知道质点的总能量E是与轨道有关的，如果 我们得出了总能量E与轨道的具体关系，那么由机械能守恒这个式 子(指上式)就可得到速度与轨道的关系。那么根据这个速度与轨 道的关系就可以求出所需的发射速度。按照这一思路我们现在得先求出总能量E与轨道参数的关系。 1、 总能量与轨道参数的关系: 在极坐标系中,质点的总能量用极坐标来表示的话，应该是: 21km222，，，，mr，r,,,E...........(1) 2r 22,,1hkm22，，，,,r,,h, 根据这一关系式可将(1)式中的消去得到 mr，,,E.........(2)2,,2rr,, 2， 如果质点的轨道为椭圆，对椭圆来说，在近日点有:r,a(1,e),r,0,p,a(1,e)近近 22h/kp又由 r,, 21，ecos,h1，Acos,2k 可得 2h222p,？h,ka(1,e)2k 22222221hmk1hmk1mka(1,e)mk2，E,m(r，),,m,,,于是可得总能量:近22222r2r2a(1,e)a(1,e)rr近近近近 222222mka(1e)2a(1e)mka(1e)(1e)2mk(e1)mkmk,,,,，,,,,,,E,,,,,,,,22222a(1e)2a2a2a(1e)2a(1e),,, 在这里为什么选取近日点来计算E呢,这完全是为了计算方便起见来取的，由于质点的总能量E是守恒的，所以可以选任意一点来计算E，因此为了计算方便起见，我们在这里取近日点来计算得到E。 讨论:?由上面得到的结果可见总能量E<0，这与我们上一次课讲过的判断依据是一致的。?从所给的结果还可以发现什么特点,我们可以发现对作椭圆轨道运动的质点，它的总能量E只与长半轴a有关，而与短半轴无关。那么卫星沿1、2、3、这三条不同的椭圆轨道运动时，其总能量相不相同,显然是相同的。因为长半a相同。所以E相同。 2、第一宇宙速度: 2mk,,将 E 代入*式，则有作椭圆轨道运动质点的机械能守恒式为: 2a 221mkmk2mv,,,？？**下面我们就根据这个式子来计算三个宇宙速度。现在我们先2r2a 计算第一宇宙速度，所谓的第一宇宙速度就是从地球表面发射的物体能够环绕地球运行所需的最小发射速度。也就是发射人造地球卫星所需的最小发射速度。对人造地球卫星来说，如果假设它是沿着圆形轨道在地球表面附近环绕地球运行，令它的运行速度为V，这个速度1就是发射人造地球卫星时的速度，因为，卫星是在地球表面附近沿圆形轨道运行的，所以卫星到引力中心即地心的距离 r =R，显然它的轨道参数a=R，将它们代到**式则有: 地地 2221mkmk11112k22222mv,,,,mv,,mk(,),v,,k(,),？？(3)1112R2R22RRRRR 2这里的R是地球的半径，它是己知的。所以，只要算出 k 的值，就可求得V，由于在地1球表面运行的卫星所受的地球引力就等于卫星的重量mg，即 2km222，，mg,？k,gR将它代入3式就有:v,gR,则v,gR,如果11E2R 363g,9.8米,秒，R,6400，10米，那么v,9.8，6.4，10,7.9，10米,秒 E1 这就是地球卫星绕地球表面附近运行所需的最小地面发射速度。它就是第一宇宙速度，也叫环绕速度。下面我们再来计算第二宇宙速度。 3、第二宇宙速度:----------逃逸速度 第二宇宙速度是指:使物体能够脱离地球的引力作用范围而绕太阳运行所需的最小地面发射速度。我们就令第二宇宙速度为V，因为我们不考虑宇航器在运行过程中的阻力，那2 么发射后的宇航器其机械能是守恒的。在地面附近刚发射后的物体机械能 21mk2，考虑到第二宇宙速度是物体逃逸地球引力作用范围所需的最小发射速E,mv,22RE 度，所以使物体能脱离地球的引力作用范围，就得能够使物体离地球无限远，显然此时椭圆轨道的长半轴a就趋近等于无穷远: 22221mkmk1mk2k222a,,,那么我们从mv,,,可得mv,,0,v,,2222R2a2RREEE 22gR2kE？v2,,2,2gR,1.41，7.9,11.2公里,秒　ERREE 这就是物体想要逃逸地球引力作用范围所需的最小速度。因此第二宇宙速度也常常叫做逃逸速度。具有第二宇宙速度的物体，它只能脱离地球，而不能脱离太阳系，使物体能够脱离太阳的引力作用范围所需的最小地面发射速度叫做第三宇宙速度。至于第三宇宙速度在这里就不讲了。 八、 圆形轨道的稳定性: 接下去我们简单地讨论一下圆形轨道的稳定性。然后再讲平方反比斥力作用下的α粒 子的散射问题。 假设质点在有心引力作用下沿任何半径的圆形轨道运动，既然己假定质点在有心力作用下轨道的形状，显然对有心力我们就可用比耐公式进行讨论。对于圆形轨道， 22duduF(u)F(u)222u,常数？,0于是由比耐公式:,hu(，u),可求的:h,,？223mddmu,, F(u)p(u)2如果令p(u),,则:h,3mu 此结果表明:在有心引力中，对任何质点来讲，只要抛射速度垂直于位置矢径，并使它满足 p(u)2 这个关系，那么质点就可以沿着任何半径的圆形轨道运动。那么这样的圆形轨h,3u 道是否稳定的呢,所谓的稳定与不稳定是这样来区分的。当质点受到微小扰动而偏离原来的轨道后，如果还始终保持在原来轨道的近邻，那么就称原来轨道上的运动是稳定的。反之，如果偏离原轨道的程度不断扩大，则原轨道上的运动就称为是不稳定的。外界经常产生的微扰因素，它总是会使不稳定的圆轨道趋于消失，所以我们实际观察到的圆轨道只能是稳定的。 现在我们就来讨论在外界的微扰影响下使圆形轨道保持稳定的条件是什么,为此，我们设想 p(u)20有-u=u，h=h的圆形轨道。对此圆形轨道我们由前面的讨论得知，它的.当外h,0003u0界对它有一个微小扰动时，使得u要从u变为u+ξ.所以当我们考虑微扰的影响时，则令00 u=u+ξ,其中的ξ由于微扰而引起的微小量，它的导数也可视为很小的微量，而且h-h也是00个很小的微量。将u=u+ξ代入比耐公式则可得到:[注意到这里的U是一个常00 2,,p(u，)d0,数]再将这个等式的右边在u=u处展开为ξ的幂级数，可得？，u，,00222d,h(u，,)0 ，，,pupp(，)'dp2000到:下角标0是表示u=u时？这里的p,1，,(,)，',0,,2222pudu,hu(，),hu000，，0 所算出的值[函数展开为幂级数的方法若忘了，只要翻一下高等数学，就会记忆回来的].将此展开式代入上式并考虑准确到一级微小量，那么整理一下就可将上式写成为 2pp'up',d20000 ,:，c,c其中的c,1,(,),3,121222pupd,hu0000 这里的c为另一个我们不考虑的常数。看出上面这个常微分方程的解只有三种可能的情形:2 .若: 就是c大于小于等于0的三种情况1 c,2,,,c,0则方程的解为:,Acos(c)，Bsin(c)，111,c1, ,c2,,,c,0则方程的解为:,Ach(c)，Bsh(,c)， ,111c1, ,12,,,c,0则方程的解为:,c，A，B,122, 显然在这三个解中，只有第一个式子才能永远保持很小的量值，其余二个解的ξ均要随着θ 1的增加而不断地增加(即趋于无穷大)，由此可见，要使半径为的圆形轨道是稳定的条u0 up'00c,o的情况,也就是,3.件必须且只能是 例如;在引力与距离n次方成反比即:1p0 2kmF,,n,的特殊情况下:作圆形轨道运动时圆形轨道的稳定条件是3nr n22,1Fkupuknu'n2p,,,,ku？,,n？nn2mprku 2km所以说在,, 这个引力作用下作圆形轨道运动时，只有在n<3的条件下才是稳定Fnr 的。接下去要讨论的问题是:在与距离平方成反比的斥力作用下的α粒子的散射。 九、α质点的散射:——平方反比斥力 为什么要讨论α质点的散射问题呢,讨论这个问题的目的是将它作为有心力为平方反比斥力情况下的一个典型的例子。由此来了解在平方反比斥力作用下质点的运动规律。另外还有一个目的是让我们知道α粒子的散射理论结果即卢瑟福公式是怎么得来的。我们不仅在今后学习原子物理时要用到它，而且它是研究原子核内部结构不可缺少的理论。卢瑟福是美国著名的科学家，在1908年他为检验汤姆逊的原子结构模型，首先了α粒子的散射实验，在实验中发现，α粒子打击金属靶核时要产生大角度的偏转，甚至有的几乎接近180度的偏转。这种大角度的散射现象是汤姆逊模型所无法解析的现象，在此情况下，卢瑟福根据α粒子的散射现象否定了汤姆逊模型，提出了现在我们都知道的原子有核模型，并且他还根据他自己提出的原子有核模型从理论上推出了我们今天要推的著名的卢瑟福公式。 1、粒子的散射现象: α粒子是放射性元素放出的高能粒子，这种粒子就是氦原子核[简称氦核]，它所带的电荷为+2e，这里的e为电子的电量。我们知道原子核是带正电荷的，我们就令原子核所带的电量为+ze ,并将它们都看作为质点。根据库仑定律知，同号电荷是相斥的，因此当α质点射向原子核时，就会受到斥力的作用<如上图所示>而使它的运动方向发 生偏转，与原来的入射方向要偏过一个θ角，这种受斥力作 用而发生偏转的现象就称α粒子的散射现象。α粒子所受斥 力的量值根据库仑定律就能得到。根据库仑定律可得α粒子 所受的斥力F就等于 22，，12'2zekze'式中的ε是真空,,,令,则Fk0,,224,,4,,rr00，， 中的介电常数。r是α粒子与原子核之间的距离。由此可见，α质点所受的斥力是与距离平方成反比的。另外考虑到原子核的质量一般都比α粒子的质量大得多，因此在α粒子的散射过程中可以将原子核近似地看作不动，这样我们就可以认为α粒子所受的斥力是一种有心力，原子核的核心就是它的力心，在这里我们就选取以核心为极点的极坐标，那么α粒子所受的斥力F沿着径向并与径向的正指向相同，所以力的符号为+号。根据势能的定义可计算得与此斥力相关的势能，即 ,k'k',积分常数处取决于0势点的选择，通常取αv,,F,dr,,Fdr,,dr,，c,,,rr2 k'粒子距原子核无穷远处r > ?的势能所以在有限远处，势能恒为正值，由v,0,？v,.,r 此我们能够不能够判断α粒子的散射轨道是属于哪一种类型的圆锥曲线,到此为止我们能 够判断α粒子的散射轨道是一条双曲线，所以势能恒为正值:V>0 且动能总是大于0的，那么α粒子的总能量E当然是大于0的，E>0， 所以就能断定α粒子的散射轨道一定是双曲线的一支，并且还可以 断定力心0必定在轨道凸的一边，而不可能在轨道凹的一边，所以 α粒子所受的是斥力，轨道必定向力的方向弯曲，所以力心一定在 轨道凸的一边。α粒子的散射轨道方程也可以利用比耐公式解得。 2( 用比耐公式解出轨道: 由比耐公式得 222duduk'k'du222解令:则,mhu(，u),F,k'u,，u,,c,,，u,c112222,,,ddmhmhd2 1此微分方程可得其解为:，u,,Acos,，Bsin,，c[与u,Acos(,,,)是一样的10r 在这里采用这种形式主要是便于讨论积分常量]。我们要讨论的是具体的轨道，而不是仅仅讨论轨道的形状。所以我们还得确定轨道方程中的三个常数A，B，C，常数不能抛掉不管， 这些常数都可以根据初始条件来确定的，现在我们 先来确定A，B这两个常数，为了便于讨论问题， 我们根据问题的要求作出了α粒子的散射图如左 所示。如左图所示，设α质点从无穷远处以速度V 射击原子核，入射粒子在无穷远处的入射方向和原 子核的垂直距离ρ就叫做瞄准距离。这里我们采用 平面极坐标，坐标原点就取在原子核ze上，oc为轨道的对称轴，[指上图的两条直线]是轨道的渐近线，α质点飞过力心以后的偏转角Φ就是oc右边的渐近线与入射方向之间的夹角，这个偏转角Φ叫做散射角，从图可见当质点离, ,,,,核心ze时，,就趋向于散射角即r=。有了散射图我们就能比较直观清楚地讨论, 所要求的东西，即由初始条件先确定A，B这两个常数，α粒子的初始状态就是它开始入射时的状态，所以α质点是从无穷远处即r=?处入射的，所以入射时θ=π[见上图]，因此， 把初始条件:当θ=，,时r,,,则u,0代入上面的轨道方程中去就可得到:0,,A，c1所以A=C则: A确定了，还得确定B,我们从图上容易u,c1(1，cos,)，Bsin,？？*11 看出:在轨道上任意一点的纵坐标 u111sin,yru,sin那么，就等于:,,？,将它代式则有:,*1yyrysinsin,, ,,c(1，cos)sin11,,,c(1，cos)，Bsin,,，B？？*然而我们由初始条件可12,yysin 以知道， ,,,时，纵坐标y,,将它们代入*式并根据罗必塔法则得2 d,(1，cos),,11，cos,sin,dlimlim,lim,0？B,， 。B求得了，,,,,,,,,,,,,,sinsincos 1u,c(1，cos,)，sin,那么*式就可以写出为: 这就是α质点的散射轨道方程，其实11, k'这个方程中的常数C还没有最后确定，其中的h也要由初始条件来决定，在？c,,112mh 前面我们还未将h定出，现在应该要定出h这个常数，根据有心力的特征知道h是一个与质点的初始速度有关的量，下面我们就来定出这个常数h，并找出瞄准距离ρ和散射角φ的关系。 ,,,散射角它就是r,,时的,角 2( ρ和φ的关系: r,,.,,,散射角φ是当α质点远离力心后的θ值，此时α质点的位置矢径的大小 将它们代入上式中去有 111，cosk',,0,c(1，cos)，sin,,,,,,ctg再把c,,代入左式中去112csin2mh,,,1 2,mhctg,？？*就有这里的h可由α质点的初始状态来确定，由有心力的动量矩守恒3k,2' 22，的特征知:mh就等于α质点(在初始状态)的动量矩的大小，由初始mr,即mh,mr,条件:于是得到 当,,,时,v,v,y,,, 2'mvk,,,, mh,mv？h,v,ctg,,,ctg,,,,,22'2kmv, 这就找到了α质点的瞄准距离ρ与散射角Φ的关系，这个关系式首先由卢瑟福得到的，所以也叫卢瑟福公式，在物理学中每推得一个理论结果，它是否正确，必须要用实验来检验，但是卢瑟福从理论上推出的上面这个式子却无法用实验直接验证，为什么呢,这是由于上式中的瞄准距离ρ在实验上是无法测量的，实验上只能测到某个方向上的散射粒子数，为了这种原因，卢瑟福采用了散射截面这个概念并根据统计的思想方法推出了实验中可以测量的散射截面和散射角的关系来替代上面这个式子。 4、散射截面和散射角的关系:--------这个关系就是著名的卢瑟福公式。 在实验上用的是一束α粒子束打击金属箔来观察散射结果的，因为在实验中是不 可能用一个粒子进行实验的，也就是说我们现在要讨论的不是一个α粒子，而是一群具有入 射速度相同，瞄准距离ρ不同的均匀分布的α粒 子束，根据前面得到的式子知道瞄准距离为ρ的 粒子通过力心后发生偏转的角度为Φ，对于整个 粒子束来说，由于粒子束中各粒子的瞄准距离不 同，那么飞过力心后的散射角Φ也就不同，其中 瞄准距离在之间的入射粒子，必定进,到,,d, 入散射角为 。为了下面的讨论，在,到,，d, 这里要引进几个物理量:n 表示单位时间内穿过垂直于粒子束的单位面积的粒子数，也就是单位时间内入射粒子的密度。dN:表示单位时间内进入散射角为 之间的角度内,到,，d,的散射粒子数。显然dN是一个与入射粒子密度有关的量，用它还不能直接反映出散射过程 dN的特征，但是将它与入射粒子密度n之比 : 它的比值却是一个完全由散射情况所决定n dN的量，用符号dσ表示，=dσ 因为dσ具有面积的量纲，它是描写散射现象的一个重n 要物理量，因此就称它为散射截面，下面来求出这个散射截面的具体表达式，刚才讲过，在瞄准距离介于 之间的入射粒子必定都散射到之间的角度内，显然 ,,d,到,,到,，d, dN2,,d,,ndN= 所以散射截面也就等于此式也可以改写成为d,,2d,,,,n ,dd,,2,d？,,,,瞄准距离ρ增加时，散射角Φ就减小，而散射截面总是正的，所以d, ,k'在前面要加上一个负号，然后我们对此式两边同时进行微分得到 ,ctg,22mv, ,,k2d,cscd, 将这两个关系式代入前面那个式子*中去，散射截面就等于:,,222mv, ,,1k'22,,,d,()2ctgcscd,2222mv, ,,, cossincos,,,1sin2222 [csc,ctg,,,]2,,,,222sin/222sin2sinsin22,,,k'sin2,()d,2,24mv,sin2 此关系式中的在实验中都是可以测量的，这个关系式就是著名的卢瑟福公,,d,,v和d,, 式，卢瑟福从理论上推导得到的这个结果，后来被盖革及马士登用实验所证实，从而也就认证了原子的有核模型，这一件事可以说是原子物理学发展史上的一个重大事件，关于它的详细理论在近代物理学课程中会讲到。