[工作]数学与哲学的关系

[工作]数学与哲学的关系 数学是表述简洁、清晰、歧义较少的逻辑体系。在数学中，不仅各种数字、函数，就连加、减、乘、除，大于、小于、等于，以及指数、导数、积分等符号本身，也都是约定俗成、极少歧义的概念。特别是几何方法，能用清晰、直观的坐标或图形，表达比较复杂的逻辑关系。在学校的学习中，我们常常把各门学科的应用题，用几何的方法描述出来，以便清晰地看出其中各个因素的相互逻辑关系，然后列出适当的数学公式，解出要求的问题。 形式逻辑可以用几何图形，表示各种概念复杂的逻辑关系。哲学也是一门科学，它当然也可以使用这种科学的方法来进行表述。 形式逻辑要求概念都是确定的，以便它进行正常的推理和运算。 辩证法认为，任何概念都是在一定的条件下确定的，不同的条件可能导致不同的结果，所以它必须研究确定概念的不同条件和不同结果。而具体研究几个不同条件和不同结果，也只能是运用有限的手段，遵循形而上学的方法，一个一个去研究。 简单一点说，辩证法的本质就是指出事物在不同条件下的不同结果。 确定概念的条件和被确定的概念之间的关系，类似于数学中的函数关系。 y = f ( x ) 用数学的术语，马克思这样表述。“一个变量的函数是另外一个变量，它的值随着前者的值而变化，也就是依赖于前者。” 我们可以具体举例用公式来表述上述概念。比如 在Y=X+1中，当X大于1 时，那么Y大于2。 在Y=X+1中，当X小于1时，那么Y小于2。 在Y=X+1中，当X等于1时，那么Y等于2。 在上述三句话中，每一句都是形而上学的表述，在确定的条件下，表述确定的概念。 当我们把上述三个形而上学的表述放在一起分析时，就有了质的变化。我们说这既是形而上学的表述，又是辩证的表述。因为它指出了事物在不同条件下的不同结果。 我们还可以说，Y 在有的条件下大于2，在有的条件下小于2，在有的条件下等于2。这也是一种辩证的表述。可见有些所谓辩证的表述，不过是省略了几个形而上学表述中具体的条件，而用一个不确定的概念取而代之而已。 科学进步正是要通过研究，把这些所谓辩证的、还没有确定的概念，变成确定的、形而上学的形式才能实现。 辩证法认为，任何概念都是在一定的条件下确定的。在辩证法眼里，任何常数都是在一定的条件下确定为常数的，任何数学符号的概念也是在一的条件下确定的，都是和确定它的条件成函数关系的。 学校里应用题中的所有条件都假定是确定的，现实生活中的任何确定的概念，都是在一定的条件下确定的。所以必须找出这些概念和确定它的条件之间的函数关系。具体问题中的某个概念和什么条件成怎样的函数关系，只能根据具体情况才能确定。 条件本身也是由概念组成的。构成条件的概念本身又和确定它的另一组概念成函数关系。 如此循环不已。 理论上我们可以这样推理，在实践中人的精力是有限的，我们只能根据具体情况，以满足实际需要为前提，来确定要不要进一步深入研究某个概念和确定它的条件之间的函数关系。 对立关系概念的相对意义 要理解对立统一规律，就必须理解对立关系概念的相对意义。 我们可以画一根坐标轴。具体的事物好比是轴上某一个点，每个点都有具体的数值。可是只有具体数值还不能确定对立关系的性质。对立关系的概念只有在两个或两个以上的数值比较中讨论，才有确定的意义。 上下、左右、前后、深浅、高低、远近、大小、轻重等对立关系的方位、体积、重量概念大家比较好理解。有时候我们感觉好像没有第二个点作参照，实际上是以某个约定俗成的、被省略的条件作参照的。比如人们习惯以观察者的正前方为参照点，来区别上下、左右，以自己的收入来衡量房价和食品价格的高低，以公司的净资产或市盈率来衡量股价的高低。离开了参照点，我们还不能给坐标轴上某个确定的点下确定的结论。坐标轴和参照点都是确定对立关系概念必不可少的条件。 好坏、真假、美丑、善恶等抽象概念也是如此。人们的心目中都有一个约定俗成的标准，离开标准点来讨论对立关系的概念，就失去了实际的意义。可惜有的人还不明白这一点，以为讲对立关系概念的相对意义只是没有事实根据地颠倒黑白、信口开河。黑和白是两个不同灰度的事物比较时才能确定的概念。正如任何事物都处 在一定的灰度一样，任何人都是正面因素和负面因素的统一体，都处在坐标轴上一定的域之中。坏人是和其他人比较时才能确定的概念。从反对台独的角度来看，蒋介石好，陈水扁坏。 形而上学方法和辩证法的关系也是如此。每个具体的方法都是方法坐标轴上的一个点。在实践中，人们无法使用绝对辩证的方法，也无法使用绝对形而上学的方法，只能兼而有之。关键看你和哪个方法比较。 从了解牛的外形来讲，有局部摸的方法，也有整体拍照的方法。它们之间相比，拍照是从整体了解的辩证的方法，摸是局部的形而上学的方法。用建立三维模型的方法和拍照的方法比，拍照是片面地看问题的形而上学的方法，三维模型是全面地看问题的辩证的方法。和三维透视的方法比较，立体模形只是从表面观察事物的形而上学的方法，透视是深入了解牛内部形状的辩证的方法。 和了解几何形状的方法相比，深入了解牛的驯化、杂交、饲养、品种、品质，用遗传学、分子生物学、转基因等方法，又是从本质上了解、改良牛的科学方法，虽然这些科学方法带有更多的形而上学方法的表面特征。任何科学的进步都只能通过形而上学的、确定概念的方法才能实现。 辩证法和形而上学的方法本身不存在谁好谁坏的问题，它们都是工具，根据不同的需要在适当的地方使用适当的工具，是使用者的选择。用得好不好全是使用者的责任。 量变质变关系 单纯数量上的变化，到一定的点，就会变成质量上的区别。 在求导过程中，在弧的长度和弦的长度趋向于零的条件下，弧的切线斜率就变成了弦的斜率。 在时间和距离趋向于零的条件下，平均速度变成了瞬时速度，有限变成了无限。 否定的否定 在代数中，加一个负数等于减一个正数。在乘法中，两个负数相乘等于正数，负负得正。 微分中，首先取差，然后再把它扬弃，使dx/dy变成0/0，就可以用形而上学的规则，推导出辩证的结果来。 恩格斯在《自然辩证法》中说，“我们主观的思维和客观的世界遵循同一些规律，因而两者在其结果中最终不能互相矛盾，而必须彼此一致，这个事实绝对地支配着我们的整个理论思维。这个事实是我们的理论思维的本能的和无条件的前提”。 “辩证法被看作关于一切运动的各个最普遍的规律的科学。这就是说，辩证法的规律无论对自然界中和人类历史中的运动，或者对思维的运动，都必定是同样适用的”。 “只有微分学才能使自然科学不但用数学来表明状态，也表明过程和运动”。 我赞成恩格斯的上述观点。哲学规律和一切自然规律，包括人类社会和思维的规律，三者都是一致的。哲学规律只有和其他科学规律保持一致，才能叫真正的科学。把哲学概念和其他科学的概念统一起来，则是保持科学规律一致性的前提。 恩格斯还说，“微积分本质上不外是辩证法在数学方面的运用”。恩格斯的这个论断，我不但赞成，觉得反之亦然。我觉得，函数和微积分的方法和规则，在某种意义上也就是辩证法的方法和规 则。 数学包括算术、代数和高等数学。数学中算术规则和函数规则、微积分规则的统一性，证明了辩证法和形而上学规则的统一性。数学的规则和哲学的规则是一致的。 一、这里我仅给出一种解决 我的观点是:所谓的罗素悖论在现实中不可能永远存在、或者无解、 或者根本就不是问题。当规则制定后或者在实践中会有这几种结果 1、认为规则不合理，修改了规则，将规则改为“理发师可以剃自己的头发了”; 2、规则没有限制理发师的生成，那么，理发师就可以带个学徒，结果给理发师剃了头; 3、理发师忍无可忍，但又坚持原则，可又没有新理发师生成，这时理发师会干脆找一个不是理发师的人胡乱地剃 ; 4、坚持原则但是不想新办法，于是理发师把头发留了起来，一辈子不剃头。 因此，罗素悖论结合实际来看根本就没有任何问题，如果说有问 题即理发师头发没有来剃，那么只能是这个原因:你坚持了规则，并且不愿意修改规则，也不愿意通过其他办法来变通。那么罗素悖论确实是无解的。但是这个问题所以无解，在于前提限制了结果，在罗素悖论的前提中就包含了矛盾，结果只能是或者修改前提，或者变通，或者坚持前提永远无解。无解不是什么问题，并非所有的问题都有解。x+y=6，有解吗,有无数解，限定x=1，这个方程有解吗,有。限定x=1，Y不能等于5有解吗,没有。就是无解。事实上坚持规则并且不变通的罗素悖论确实就是无解的。 二、数学的危机之一:没有时间 集合论里没有时间因素，只有元素，包含等基本概念，集合之间可以有映射关系，但是没有时间概念。元素本身在集合论看来是不变的。但是集合论映射的客观世界是随时间变化的，这时集合论在描述客观世界时，就会因为世界的变化性或自身的局限性而面临无法刻画的情形。用罗素悖论来形象地表述就是在罗素悖论中规则是不可修改的，并且村子的元素即理发师和其他村民的属性是不可变化的，村民不可变成理发师。但是客观世界实际上是发展变化的，村民变成理发师并不违背规则，但是罗素悖论并没有设想到这种并不矛盾的通融情况。事实上任何规则都必须与客观互动，WTO的规则、世界各国的法律、甚至报销都是不断反馈修改的。其中的原因除了规则本身有漏洞外，另一个原因就是客观情况变化了。 解决集合论这个问题的办法有两个，一个是限制集合论的应用范围，将集合论限制在比较静态和固定形式的范围内。另一个办法是将集合论加入时间因素，认为集合本身、元素本身也是发展变化的。这后一个观点可以看作是系统论的集合论。但是需要说明的是虽然有问题，但是不等于集合论破产了，而是缺乏更广泛的实用性。这个关系类似于牛顿力学与相对论的关系。如果在另外一个方向解决问题，其方法是在集合论中加入时间因素，经典集合论加入时间因素，与牛顿力学加入光速不变理论类似。 因此结论是:如果集合论地、静止地、不变地看问题，罗素悖论在坚持前提的条件下确实是无解的。但是加入时间因素后，规则、元素都是可变的了，问题都解决了，如果从哲学角度看数学这种理论系统必须与客观相互作用，而不可抽象到脱离客观的程度。否则在应用于客观的时候就会产生悖论。事实上罗素悖论就是来自于客观的证伪。 如果再换一个角度来看，公理是不用证明的，或者是体系外证明的。不证自明是并非是不需要客观证明而是不需要理论证明。任何理论都不能用来解释自身的根据。所谓的自洽仅仅是内部圆通，而内部圆通未必能证明前提正确。辩证逻辑与形式逻辑不同，形式逻辑是不变的，所以难免陷入自相矛盾，而辩证逻辑把概念和前提都看作变动 的，在运动中解决问题。在此特别说明一点，集合论的这个问题，也是数学难以胜任社会领域的主要原因。就社会而言其元素不是集合的而是系统的，元素是变化的，规则是变化的，结构是变化的。 三、数学的抽象度 现在的数学理论抽象到了脱离客观的程度，数学家也以此为美。比如集合的元素是没有结构的，没有层次的，类似于几何学中点的没有大小，但是没有大小能有位值吗,客观世界中有没有大小的点吗,2到底是2.0还是2.00还是2.000……呢,事实上在其他情况下的区别恰恰在于细微之中，当n趋于无穷大时，人类可以认为1/n可以忽略了，但是在1/(nxn)看来就是无穷大。 数学中的无限集是可以无限外推的，但是应用于某个层次时不可无限外推，比如地球上原子的数量虽然非常非常的多，但还是有限的。其道理与牛顿力学不能无限外推一样。事实上万有引力也是不能外推的，从数学的观点看计算万有引力的计算中，距离可以是0，那么任何质量的物质都可以收缩成黑洞。但是实际上不存在这个情况。而那个日取其半万世不竭的道理也不成立，客观世界并非总是连续的，到了几万次之后就已经不是尺子了。没法“取”了。鸡蛋谁先的道理也是一样，一般认为只有答案可能是错误的，但是事实上前提也可以是错误的，问题本身也可以是错误的，鸡蛋谁先的问题就错在形而上学， 错在问题的本身。问题本身的存在前提是若干年前鸡和蛋都是这样子。但是事实呢,他们都是进化过来的，原本没有现在这样的鸡和蛋。 集合论不注意区分结构，比如元素与集合是不同层次的，这时就不能并列讨论，可以分层讨论但不能并列讨论。比如“一个包含所有集合的集合是否包含自身”就是缺乏层次观念的问题。 集合论是怎么来的呢,是对客观的映射和抽象。具备一定属性的对象构成集合，集合根据属性构造，这些属性有共同的度量，但是“所有集合”这个说法本身包含了不同层次的集合，其度量属性不一致，如果度量属性不一致，本身就无法构成集合。所以问题本身就是有问题的。举例个例子:人和狗可以统一在动物这个概念上，但是人和动物无法并列地统一在某个概念上，人属于动物这个集合，是不同的层次。如果把人类看作一个集合，把动物看作一个集合，那么并列包含人和动物这个集合的集合存在吗,不存在。所以解决的办法就是指出问题的错误，即问题将不同层次的集合并列了。但是还有另外一个解决办法，就是按照系统论的观点改造集合论。即使认为存在这样一个结合包含不同层次的集合，比如提出一个生物集，生物这个集合包含动物和人，不过语言表达是不精确的，精确地表达是生物包含动植物，动物包括人。 我的观点是引入客观和具体，用系统论来改造集合论。系统论的集合论与经典集合论的区别在于系统是有结构和时间概念的 四、数学是形而上学，形而上学存在不足 事实上，我在强国写过关于哲学上绝对抽象的问题。而我在写这段文字也想到了哲学和系统论。那怕是形而上学也不能脱离实证，因为数学的抽象基础是客观存在，如果抽象的不完备，那么不完备性就会在应用于具体问题时因自身的局限性出问题。现在的数学问题就出在太形而上学并且以纯为美了。但是罗素悖论的理发师案例恰恰就是从实证出发的证伪。 形而上学无法脱离形而下学，所谓最终归结为什么是一相情愿，正确的办法是理论、实证、理论、实证....没有实证的形而上学就是玄学，玄学有没有意义呢,也有，意义在于范畴内自恰，但是能否与客观符合，必须有客观参与。实际上这涉及到公理系统和基本定义的形成。公理系统和基本定义是离不开客观世界的 五、抽象度的概念 具体科学、数学、哲学都对客观进行抽象，抽象的越细致刻画的越具体，抽象的越宽泛刻画的越模糊，概念的内涵越多外延越小，哲学抽象的物质概念只有客观存在一个属性，数学的集合论比系统论抽象的程度更高，以至于把时间、层次、元素间相互作用都抽象的丢失 了。但是系统论的抽象就更加丰富一些，有上面的内容。而其他的具体科学抽象的就更加详细，属性更多。事实上抽象的根据是什么呢,恰恰是属性。 集合论由于抽象的程度高，丧失的具体属性就多，但是集合论还是有意义的，系统论的具体意义就更加丰富。罗素悖论说明什么呢,说明这样一个问题:集合论在对客观进行抽象的时候丢失了“层次的”“发展的”“时间”的属性，因此在需要描述“层次的”“发展的”“时间”的属性时就出现了问题。 类似地在哲学上也有一种野心，哲学总是试图涵盖一切，事实上哲学确实也能涵盖一切，但是这个涵盖是外延的涵盖，而不是内涵的涵盖，也就是说，即使你掌握的哲学你也无法了解具体属性。就具体性而言，具体科学涵盖的更加丰富。 从演绎推理看，大前提越大，越空洞，为了得出具体结论必须有小前提，小前提就是具体科学的内容。事实上小前提下还有小前提。如果在什么地方小前提消失了，更加具体的结论也就消失了。因此可以看到认为哲学高于具体科学的观点并不成立，认为哲学层次更高的观点也不成立。或者这么看也可以，即认为哲学确实高于具体科学，但是高在抽象程度方面，而不是具体性方面。 在理论体系如此，在理论与客观的关系方面也是如此，不能说理论一定高于客观，理论的 结论要通过客观验证是一方面，在另一方面理论的基础也是客观。 因此，我认为建立一种根据抽象度来划分的理论体系是重要的。同时如果能将抽象度这个概念纳入数学的基本概念也是重要的。 六、道，另一种哲学 前面五点均于数学和西方哲学有关，但是还有一种非分析的哲学概念--道，道比物质的概念更加丰富，不仅有物质的意思还有规律的意思，按照中国人的理解道无所不包，是浑然一体的，不仅外延大，而且内涵丰富。道不可道，可道的不是道。这是不同于西方的哲学。那么如何认识道呢, 可以这么看，道没有定义，而物质和规律都有定义。 于是可以认为物质和规律是客观的结果在理论中的表述，而道本身就是客观，客观变化道就变化。也许正是这个原因导致了东西方的不同，西方强调的认识论，强调在人看来客观是什么样子。而中国人直接关注本身，直接关心不断变化的道。 最后一段已经与建立在分析基础上的现代科学没有关系了，但是仍然体现了一种世界观，这是中国人自己的世界观。