养老金建模

养老金建模 企业退休职工养老金的改革模型评价与改进 摘要 本文主要通过建立保持替代率下的养老金收支平衡模型来探讨企业退休职工养老金制度的改革，我们首先建立logistic模型预测出2011年到2035年山东省职工的年平均工资，然后建立替代率、收支平衡模型来各种情况下的替代率和缺口情况，最后通过灵敏度分析对养老金制度的改革方案提出合理的建议。 针对问题一:我们根据题中给出的数据和条件，结合中国最近几年经济发展增长趋势和未来经济战略目标，假设未来中国经济发展呈现阻滞指数增长模式，工资增长形势与国家经济发展形势相同，建立符合未来经济发展趋势的增长阻滞logistic模型，用Matlab编程求解得到平均工资与时间的关系: 1y(t),， ,0.1343t0.0009，2.163e 并进行非线性二乘拟合方法预测2011到2035山东省职工平均工资(见1)。 针对问题二:我们首先计算出该各年龄段职工工资与企业平均工资之比作为职工缴费指数的参考值，然后建立养老金替代率模型进而得出不同情况下的养老金替代率。 针对问题三:我们建立养老金缺口模型，然后分别对(55岁 ，60岁，65岁)退休并从退休后一直领取养老金到75岁3种情况下的养老金缺口，运用 Excel软件进行求解，并分别对3种退休情况的收支平衡计算得到: 时间 30-55岁 30-60岁 30-65岁 缺口 平衡时间 关键字:养老金 Logistic模型 替代率 收支平衡模型 灵敏度分析 Matlab软件 1、问题的重述 目前，我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系，工资的增长又与经济增长相关。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。在此条件下，我国企业退休职工养老金制度也要相应的改革和完善。附件中给出了山东省职工历年平均工资数据 、2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况以及养老金的计算办法。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。本文尝试解决以下问题。 问题一:对未来中国经济发展和工资增长的形势做出简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。 问题二:根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起 65岁)，分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休(55岁，60岁，计算各种情况下的养老金替代率。 问题三:假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休(55岁，60岁，65岁)，并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。 问题四:如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，提出可行的措施，并给出理由。 2、模型假设 假设1:题目附件中给出的数据真实可靠。 假设2:养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。 :个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起假设3 见，利率统一设定为3%。 3、符号说明 :年份 t :年份山东省职工的年平均工资 ty(t) i,1,2,...,8:各月收入范围的中间值， zi i,1,2,...,8:每个月收入范围的总的职工人数， di :企业的平均工资 z j,1,2,...,8j:各个年龄段， i,j,1,2,...,8jd:工资为、年龄段为的企业人数， ziji j,1,2,...,8P:各年龄段职工平均工资与企业平均工资的比值， j :职工平均缴费指数 P R:替代率 :企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限 m i,1,2,...,mx:参保人员i年度的本人缴费工资， i :各年利率 r K:计发月数 4、问题分析 4.1 问题一的分析 对于该问题我们首先根据附录一用Matlab画出1978到2010年的散点图， 【1】得出经济增长的大体趋势。又通过查找文献《未来中国经济增长预测》得知在未来经济增长率会下降，但总体经济仍保持上升趋势。这与人口增长的Logistic 先用最小二乘拟合方法拟合出改模型相似。建立未来经济预测的Logistic模型, 革开放100年内山东省职工的平均水平，分析是否符合Logistic模型然后再拟 合1978年到2035年内的山东省职工工资水平。 4.2问题二的分析 因为各年龄段职工的具体工资未明确给出，所以本文假设每个月收入范围内的工资呈均匀分布，取每个工资段中间值作为每个年龄段中每个工资段的职工工资。再求每个年龄段的平均工资作为各年龄段职工工资。通过计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比并把这些比值看作职工缴费指数的参考值，再求其平均值，利用附录三进一步求得替代率。 4.3问题三的分析 对于该问题我们只需求出职工从30岁到退休时所缴纳的基金累计包括社会统筹与个人账户的基金。再求出职工从退休到其75岁时所领的养老金总数，两者之差即为养老保险的缺口。令两者相等即可得到收支平衡时的年龄。 4.4问题四的分析 我们首先参考问题二和问题三 ，然后根据题目所给数据得到2009年30岁开始缴费到60岁，领取养老金到75时的替代率和养老金缺口，然后对各因素对替代率和养老金缺口的影响进行逐步回归分析。 5、模型的建立与求解 5.1问题一的模型建立与求解 2011年前三季度，经济增长率逐季下降，全年总增长率与2010年10.3%的 [1]增长率相比，已现下降趋势。现假设未来25年内，经济增长率总体趋势下降，但总体经济仍保持上升趋势，即呈现“S型”增长。这与人口增长的Logistic模 [2]型的增长性相似。Logistic模型又称为Logistic回归，主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，在预测人口的数量发展变化规律可以得到很好的效果。同样的经济预测领域也同样有广泛的应用。类比得到2011年至2035年的山东省职工的年平均工资的预测模型 1y(t),， ,kta，be 根据附录一中已知数据运用Matlab软件画出散点图 利用非线性最小二乘拟和的方法，求解得到参数 a,0.0009,b,2.163,k,0.1343 即得到方程: 1y(t), (1) ,0.1343t0.0009，2.163e 由此可得改革开放100年内山东省职工年平均工资的变化趋势 图1 并得到前57年(1978~2035)平均工资的变化趋势 图2 根据公式1预测得到2011年到2035年山东省职工年平均工资如表1所示 表1 2011~2035山东省职工年平均工资 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 工资/元 37562.7 42754.1 48630.4 55272.7 62768.5 71212.4 80704.7 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 工资/元 91351.1 103261.3 116546.8 131318.9 147685.3 165746.4 185590.8 年份 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 工资/元 207290.1 230893.6 256422.3 283863.2 313164.8 344232.3 376926.1 年份 2032 2033 2034 2035 工资/元 411060.6 446406.7 482696.5 519630.2 5.2问题二的模型建立与求解 5.2.1计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比 由于题目中未明确给出职工的具体工资，所以我们假设每个月收入范围内的工资符合均匀分布，因此取每个工资段的中间值作为每个年龄段中的个工资段的职工工资。根据附件二，求得各月收入范围的中间值分别为 1250，1750，2250， i,1,2,...,82750，3250，3750，4500，6500，令它们分别为，。根据Excel中的zi 求和函数求得每个月收入范围的总的职工人数分别为110，306，392，410，267， i,1,2,...,8115，52，12，令它们分别是，。所以该企业的平均工资 di 8 zd,ii1i,,,2580.2z， (2) 8 d,i1i, j,1,2,...,8j用表示各个年龄段，即分别代表年龄段20-24，25-29，30-34， j35-39，40-44，45-49，50-54，55-59。用表示工资为、年龄段为的企业人dziji 数，可以求得各年龄段职工平均工资与企业平均工资的比值 8 zd,iiji,1P,,j,1,2,...,8 (3) j8 d,iji,1 利用附录二和公式(2)和(3)，得到表2 表2 职工平均工资和企业平均工资的关系 年龄段/岁 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 平均工资/元 1727 2077 2535.1 2392.3 3026 3268 3118.5 2980.2 企业平均工资 2580.2 2580.2 2580.2 2580.2 2580.2 2580.2 2580.2 2580.2 职工平均工资/ 0.6693 0.8050 0.9825 0.9272 1.1728 1.2666 1.2086 1.1550 企业平均工资 5.2.2计算各种情况下的养老金替代率 现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金 R占退休前工资的比例。用来表示替代率，表示企业和职工实际缴纳基本养m i,1,2,...,m老保险费的年限，表示参保人员i年度的本人缴费工资，，表示xri K各年利率，表示计发月数。假设把2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值看作职工缴费指数的参考值，未来职工平均缴费指数同2009年相比产生的变化可忽略不计，用表示。那么可得公式 P m11i()(1)(2000)(1)1%xxrymPm,，，，,，,,1,ii2K1,i R,x1 8% 其中 81x,0,P,P,t,,i，2000，m,x,8%y(t) ,ji08,j1 利用Matlab软件求的6种情况的替代率如表3所示 缴费年龄段/岁 30-55 30-60 30-65 40-55 40-60 40-65 R0.1229 0.2187 0.3711 0.0397 0.0690 0.1346 5.3 问题三的模型建立和求解 假设养老金随社会平均工资调整而调整的变化忽略不计 (1)养老保险基金缴费积累(社会统筹个人缴纳) ， 由题目已知2条件，带入数据统筹基金比例，个人账户比例W,20%1 ，得到个人缴纳与社会统筹的比值 W,8%2 xi,0.32 ai 其中用表示前i年社会统筹基金积累，表示前i年职工个人缴费工资额axii 得到养老保险基金缴费积累 : Q,a，x1mm 利用附录一和问题二的预测，由Matlab软件求得总共缴费积累为() (2)领取的养老金(基础养老金个人账户养老金) ， 由附录三，得到职工退休后领取的养老金为: m11iQ,((x,x)(1，r)，y(2000，m),(1，P)m,1%)，12m ,2,1iiK2,1i 资金缺口为 R,Q,Q21 R,0时员工缴存的养老保险金与其领取的养老保险金之间达到收支平衡。 综合附录一和附录二，以及上述(1)(2)分析，编写算法计算得到领取到75岁时的养老金的缺口情况和达到平衡的时间如表4所示: 表4 时间 30-55岁 30-60岁 30-65岁 缺口 平衡时间 5.4问题四的求解 6、模型的评价 6.1 模型的优点 (1)运用的模型简单易懂，有很好的实际指导意义。 (2)运用表格和图像相结合，对于结果的分析更加清晰。 (3)数学软件Matlab和Excel软件的运用提高了结果的可行度，数据更加精确。 (4)对于题目中的问题做出了合理的假设，从而使计算变得更加容易。 7.2 模型的缺点 (1)本题对数据依赖性比较大，只是根据题中所给数据做了一个理想化的模型 可能与实际不相吻合。 (2)我们建立的Logistic模型也只是一个预测模型，在实际生活中会有各方面 的影响，因此通过我们所建立的模型只能大致体现一个发展趋势而无法精 确地描述其发展趋势。 参考文献 王建.未来五年中国经济增长预测.人民论坛:50~52,2012.02. [1] 百度百科 [2] 附录 程序1: 建立M文件: function f=curvefun1(x,tdata) f=1./(x(1)+x(2)*exp(-x(3).*tdata)) 指令行: clear tdata=0:1:32; y=[566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,51 45,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,3 2074]; ydata=y/1000; plot(tdata,ydata,'r*') x0=[0.001,0.001,0.3]; x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,ydata) f=curvefun1(x,tdata) 程序2: x=[1727 2077 2535.1 2392.3 3026 3268 3118.5 2980.2]; y=2580.2; x/y 程序3: y=[0,8.772,10.007,11.374,12.567,14.332,16.614,19.228,22.844,26.404,29.688,32.074,37 .5627,42.7541,48.6304,55.2727,62.7685,71.2124,80.7047,91.3511,103.2613,116.5468,131 .3189,147.6853,165.7464,185.5908,207.2901]; x=0.08*y; K=170; P=[0.6693,0.8050,0.9825,0.9272,1.1728,1.2666,1.2086,1.1550]; ave=0; sum=0; for j=1:8 ave=ave+0.125*P(j); end for i=1:25 sum=sum+(x(i+1)-x(i)).*1.03.^i; end R=(1/K*sum+0.005*y(26))/(x(2)/0.08) : 程序4 y=[0,8.772,10.007,11.374,12.567,14.332,16.614,19.228,22.844,26.404,29.688,32.074,37 .5627,42.7541,48.6304,55.2727,62.7685,71.2124,80.7047,91.3511,103.2613,116.5468,131 .3189,147.6853,165.7464,185.5908,207.2901,230.8936,256.4223,283.8632,313.1648,344.2 323]; x=0.08*y; K=139; P=[0.6693,0.8050,0.9825,0.9272,1.1728,1.2666,1.2086,1.1550]; ave=0; sum=0; for j=1:8 ave=ave+0.125*P(j); end for i=1:30 sum=sum+(x(i+1)-x(i)).*1.03.^i; end R=(1/K*sum+0.005*y(31))/(x(2)/0.08) 程序5: y=[0,8.772,10.007,11.374,12.567,14.332,16.614,19.228,22.844,26.404,29.688,32.074,37 .5627,42.7541,48.6304,55.2727,62.7685,71.2124,80.7047,91.3511,103.2613,116.5468,131 .3189,147.6853,165.7464,185.5908,207.2901,230.8936,256.4223,283.8632,313.1648,344.2 323,376.9261,411.0606,446.4067,482.6965,519.6302]; x=0.08*y; K=101; P=[0.6693,0.8050,0.9825,0.9272,1.1728,1.2666,1.2086,1.1550]; ave=0; sum=0; for j=1:8 ave=ave+0.125*P(j); end for i=1:35 sum=sum+(x(i+1)-x(i)).*1.03.^i; end R=(1/K*sum+0.005*y(36))/(x(2)/0.08) 程序6: y=[0,8.772,10.007,11.374,12.567,14.332,16.614,19.228,22.844,26.404,29.688,32.074,37 .5627,42.7541,48.6304,55.2727,62.7685]; x=0.08*y; K=170; P=[0.6693,0.8050,0.9825,0.9272,1.1728,1.2666,1.2086,1.1550]; ave=0; sum=0; for j=1:8 ave=ave+0.125*P(j); end for i=1:15 sum=sum+(x(i+1)-x(i)).*1.03.^i; end R=(1/K*sum+0.005*y(16))/(x(2)/0.08) 程序7: y=[0,8.772,10.007,11.374,12.567,14.332,16.614,19.228,22.844,26.404,29.688,32.074,37 .5627,42.7541,48.6304,55.2727,62.7685,71.2124,80.7047,91.3511,103.2613,116.5468]; x=0.08*y; K=139; P=[0.6693,0.8050,0.9825,0.9272,1.1728,1.2666,1.2086,1.1550]; ave=0; sum=0; for j=1:8 ave=ave+0.125*P(j); end for i=1:20 sum=sum+(x(i+1)-x(i)).*1.03.^i; end R=(1/K*sum+0.005*y(21))/(x(2)/0.08) 程序8: y=[0,8.772,10.007,11.374,12.567,14.332,16.614,19.228,22.844,26.404,29.688,32.074,37 .5627,42.7541,48.6304,55.2727,62.7685,71.2124,80.7047,91.3511,103.2613,116.5468,131 .3189,147.6853,165.7464,185.5908,207.2901]; x=0.08*y; K=101; P=[0.6693,0.8050,0.9825,0.9272,1.1728,1.2666,1.2086,1.1550]; ave=0; sum=0; for j=1:8 ave=ave+0.125*P(j); end for i=1:25 sum=sum+(x(i+1)-x(i)).*1.03.^i; end R=(1/K*sum+0.005*y(26))/(x(2)/0.08)