《量子力学教程》周世勋

《量子力学教程》周世勋 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 ,1(1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长与温度mT成反比，即 , T=b(常量); m 并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 381hv,,,vvddvhv,， (1) 3 ckT,1dve,,以及 ， (2) ,,,v,c,d,,dv,,,d,， (3) vv c,,有 d,, ,,,,,,,v()d, ,,v(),,c , hc,81,, hc,5,,kTe, 1 ,这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。 , ,,本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求 对λ的一,, ,,阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作。但要注意的是，还需要验证m, ,,对λ的二阶导数在处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就mm是要求的，具体如下: ,,,hchc811,,',,,,5，,,0 ,6hchc,,,kT,,,,,,kTkTee,11,,, 1 hc1 ,5，,,0,hc,,kTkT,e1, hc,hc,kTe5(1,), ,,kT hc如果令x= ，则上述方程为 ,kT ,x5(1,e),x 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解:x=0，但经过验证，此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 hc T,,mxk 把x以及三个物理常量代入到上式便知 ,3,T,2.9，10m,K m 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1(2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv， h P,, 2E,,,c如果所考虑的粒子是非相对论性的电子()，那么 e动 2p ,E2,e 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平 6方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，0.51，10eV 这样，便有 h,, p 2 h,,2Ee hc,2,2cEe ,61.24，10 ,m62，0.51，10，3 ,9,0.71，10m ,0.71nm 在这里，利用了 ,6 hc,1.24，10eV,m 以及 26,c,0.51，10eV e 最后，对 hc, ,22,cEe 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强;同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 31(3 氦原子的动能是(k为玻耳兹曼常数)，求T=1K时，氦原子的德E,kT2 布罗意波长。 解 根据 ,3， 1k,K,10eV 知本题的氦原子的动能为 33,3 E,kT,k,K,1.5，10eV,22 2,c显然远远小于这样，便有 核 hc,, 22,cE核 ,61.24，10,m9,32，3.7，10，1.5，10 ,9 ,0.37，10m ,0.37nm 3 这里，利用了 269,c,4，931，10eV,3.7，10eV 核 最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为 hchc, ,,222,cE2,kcT 据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。 1(4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求: (1)一维谐振子的能量; (2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 ,24,1M,9，10J,T已知外磁场H=10T，玻尔磁子，试计算运能的量子化间B 隔?E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。 解 玻尔——索末菲的量子化条件为 pdq,nh , 其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。 (1)设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为μ，于是有 2p12E,，kx 2,2 这样，便有 12p,,2,(E,kx) 2 这里的正负号分别示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据 12E,kx 2 2Ex,,可解出 ,k 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有 xx11，,222,(E,kx)dx，(,)2,(E,kx)dx,nh ,,xx,，22 4 x，x11，22,2,(E,kx)dx，2,(E,kx)dx,nh ,,xx,,22 x1n，22,(E,kx)dx,h,x,22, 为了积分上述方程的左边，作以下变量代换; 2Ex,sin, k 这样，便有 ,,,2En22,,2,Ecos,dsin,,h ,,,,,k22,, ,2En22coscos,E,,,d,,h,,,2k,2 ,,n222E,cos,d,,h,,,k2,2 这时，令上式左边的积分为A，此外再构造一个积分 ,,22 B,2E,sin,d,,,,k2 这样，便有 ,,,2,,A，B,2E,d,2E,,,,,kk2 (1) ,,2A,B,2E,cos2,d,,,,k2 ,,2,,,Ecos2d(2),,,k2 ,,2,Ecos,d,,,,,k2 ,这里 =2θ，这样，就有 ,,A,B,Edsin,,0 (2) ,,,k根据式(1)和(2)，便有 ,A,E ,k 5 这样，便有 ,nE,h ,k2 ,n,E,h 2k, ,,nh,k h其中 h,2, 最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了;其次， 这量子化的能量是等间隔分布的。 (2)当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有 2,,,q,B R p,,,,qBR, 这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为 2, qBRd(R,),nh,0 2,qBR,2,,nh 2,qBR,nh 2pE,又因为动能耐，所以，有 2, 2222()qBRqBRE,, 2,2, qBnq,,,,nB,22,, ,nBN,B q,M,其中，是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且 B2, ,E,BM B具体到本题，有 ,24,23 ,E,10，9，10J,9，10J 6 根据动能与温度的关系式 3 E,kT2 以及 ,3,22 1k,K,10eV,1.6，10J 可知，当温度T=4K时， ,22,22 E,1.5，4，1.6，10J,9.6，10J 当温度T=100K时， ,22,20 E,1.5，100，1.6，10J,2.4，10J 显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。 1(5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少, 解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有 2E,hv,,c e 此外，还有 hc E,pc,, 于是，有 hc2,,ce, hc,,2,c,e ,61.24，10,m60.51，10 ,12 ,2.4，10m ,3,2.4，10nm 尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因:期待发现新现象，新粒子，新物理。 第二章波 函数和薛定谔方程 7 2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证:对于定态，可令 ,,,,(r，t),(r)f(t) i,Et,,, ,(r)e ,i,**,,,, J,(,,,) 2m iiii,,,,EtEtEtEt,,,,i,**,,,,,,,,()() ,[(r)e,(r)e,(r)e,(r)e] 2m ,,,,,i** ,,[(r),,(r),,(r),,(r)] 2m , J与t 可见无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度: 11ikr,ikr (1),,e (2),,e12rr 从所得结果说明,表示向外传播的球面波，,表示向内(即向原点) 传播的球12面波。 ,, J和J只有r分量 解: 12 ,,,,1,1,,,r，e，e 在球坐标中 0,,,rr,,rsin,,, ,i,**,,,,(1) J,(,,,)111112m ,,i1,11,1ikr,ikr,ikrikr ,[e(e),e(e)]r02mr,rrr,rr ,i,111111 ,[(,,ik),(,，ik)]r0222mrrrrrr ,,,,kk ,r,r023mrmr ,,Jr与 同向。表示向外传播的球面波。 1 8 ,i,**,,,,(2) J,(,,,)22222m ,i,1,11,1,,ikrikrikrikr ,[e(e),e(e)]r02mr,rrr,rr ,i,111111 ,,，,,, [(ik)(ik)]r0222mrrrrrr ,,,,kk ,,r,,r023mrmr ,,J与r 可见，反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 2 ikx,(x),e补充:设，粒子的位置几率分布如何,这个波函数能否归一化, ？,*,dx,dx,, ,,,, 2,(x)dx,1 ?波函数不能按方式归一化。 ,, 其相对位置几率分布函数为 2,,,,1 表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场 ,，x,0, ,U(x),0， 0,x,a , ,,，x,a, 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解:U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程 22,d,,(x)，U(x),(x),E,(x) 22mdx 在各区域的具体形式为 22,dx,0 ,,(x)，U(x),(x),E,(x) ?:? 11122mdx 22,d 0,x,a ,,(x),E,(x) ?:? 2222mdx 22,dx,a ,,(x)，U(x),(x),E,(x) ?:? 33322mdx 由于(1)、(3)方程中，由于U(x),,，要等式成立，必须 9 ,(x),01 ,(x),02 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 2,d(x)2mE2 方程(2)可变为，,(x),0 222,dx 2mE2 令，得 k,2, 2,d(x)22，k,(x),0 22dx 其解为 ? ,(x),Asinkx，Bcoskx2 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ,(0),,(0) ? 21 ,(a),,(a) ? 23 ? ,B,0 ? ,Asinka,0 ？A,0 ？sinka,0 ,ka,n, (n,1, 2, 3,？) n, ? (x),Asinx,2a 由归一化条件 2,(x)dx,1 ,, an,22得 Asinxdx,1,0a a,,mnasin,sin,,xxdx 由mn,b2aa 2,A,a 2n,？(x),sinx,2aa 2mE2 ？k,2, 10 22,,2 ,E,n (n,1,2,3,？)可见E是量子化的。 n22ma E对应于的归一化的定态波函数为 n i,,Et2nn,,sinxe, 0xa,,, (x,t),,aa,n , 0, xa, xa,,, # 1,A,2.4. 证明(2.6-14)式中的归一化常数是 a n,,,sin(), Ax，ax,a,a,证: ,,n , 0, x,a, ) (2.6-14 由归一化，得 ,a2n,22,1,,sin(，)dxAxadxn,,a,,a ,a1n2,,[1,cos(，)]Axadx,a,2a a22,a,,AAn ,,cos(，) xxadx,a,22aa, a2,,Aan2,,,,sin(，)Aaxa2na,a, 2,,Aa 1,A, ?归一化常数 # a 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 122,,x,2 解: ,(x),,2,xe 2, ,222,22,x,,,x,x,,,xe()()411,2 322,22,,x,,xe , 11 322,,d(x)223,,x1 ,[2x,2,x]e dx, d(x),1 令，得 ,0dx 1 x,0 x,, x,,,, 的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。 由,(x),(x),0x,0 ， x,,,11 23,,22d(x)2,22223,x1,,,而 ,[(2,6x),2x(2x,2x)]e2,dx 322,42244,,x,[(1,5,x,2,x)]e , 23,,dx()411 ,,2,02edx1,x,,2 1, 可见是所求几率最大的位置。 # x,,,,,,, 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称:，证明粒子的U(,x),U(x)定态波函数具有确定的宇称。 证:在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 22,d,,(x)，U(x),(x),E,(x) ? 22dx, 将式中的x以(,x)代换，得 22,d,,(,x)，U(,x),(,x),E,(,x) ? 22dx, 利用U(,x),U(x)，得 22,d,,(,x)，U(x),(,x),E,(,x) ? 22dx, ,(,x)和,(x) 比较?、?式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态 ,(,x)和,(x)的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数c。方程?、?可相互进行空间反演 而得其对方，由?经(x,,x)x,,x 12 反演，可得?， , ,(,x),c,(x)? 反演，可得?，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 由?再经,x,x , ,(x),c,(,x)? ?，得 ?乘 2 ,(x),(,x),c,(x),(,x) 2 可见， c,1 c,,1 当时，，具有偶宇称， ,(,x),,(x),,(x)c,，1 当时，，具有奇宇称， ,(,x),,,(x),,(x)c,,1 当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。# U(,x),U(x)2.7 一粒子在一维势阱中 ,U,0, x,a,0 U(x), , 0, x,a,, 0,E,U运动，求束缚态()的能级所满足的方程。 0 解法一:粒子所满足的S-方程为 22,d,,(x)，U(x),(x),E,(x) 22dx, 按势能的形式分区域的具体形式为 U(x) 22,d,,(x)，U,(x),E,(x) ?: ,,,x,a 101122dx, ? 22,d,,(x),E,(x),a,x,a ?: 2222dx, ? 22,d,,(x)，U,(x),E,(x) ?: a,x,,303322dx, ? 13 整理后，得 UE,2(,)0,, ?: ? ,,,,0112, ,2 E,, ?:. ? ,，,,0222, UE,2(,)0,, ?: ? ,,,,0332, ,,2(UE)2,E220 令 ,,k k1222,, 则 2,,,,k,,0 ?: ? 111 2,,,,k,,0 ?:. ? 222 2,,,,k,,0 ?: ? 311 各方程的解为 ,kxkx11,,Ae，Be1 ,,Csinkx，Dcoskx 222 ，kx,kx11,,Ee，Fe3 由波函数的有限性，有 ,(,,)有限 ,A,01 ,(,)有限 ,E,03 因此 kx1,,Be1 ,kx1,,Fe3 由波函数的连续性，有 ,ka1,,(,a),(,a),,Be,,Csinka，Dcoska (10)1222 ,ka1,,,,(,a),(,a),,kBe,kCcoska，kDsinka (11)1212222 ,ka1,,(a),(a),,Csinka，Dcoska,Fe (12)2322 ,ka1,,,(a),,(a),,kCcoska,kDsinka,,kFe (13)2322221 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 14 ,ka1eB，sinkaC,coskaD，0,0 22 ,ka1keB,kcoskaC,ksinka D，0,012222 ,ka10，sinkaC，coskaD,eF,022 ,ka10，kcoskaC,ksinkaD，keF,022221 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组 有非零解，必须 ,ka1esinka,coska022,ka1ke,kcoska,ksinka012222 ,0,ka10sinkacoskae22,ka10kcoska,ksinkakBe22221 ,kcoska,ksinka02222,ka,ka110,esinkacoska,e,22,ka1kcoska,ksinkake22221 sinka,coska022,ka,ka11 ,kesinkacoska,e,122,ka1kcoska,ksinkake22221 ,ka,ka,ka22111 ,e[,kkecoska，kesinkacoska，122222 ,ka,ka2211 ，kkesinka，kesinkacoska],122222 ,ka,ka,ka2111 ,ke[kesinkacoska，kecoska，112222 ,ka,ka211 ，kesinkacoska,kesinka]12222 2,2ka21 ,e[,2kkcos2ka，ksin2ka,ksin2ka]1222212 ,2ka221 ,e[(k,k)sin2ka,2kkcos2ka]212122 ,2ka1 ? e,0 22(k,k)sin2ka,2kkcos2ka,0 ? 212122 22(k,k)tg2ka,2kk,0 即 为所求束缚态能级所满足的方程。# 21212 解法二:接(13)式 kk22,Csinka，Dcoska,Ccoska，Dsinka 2222kk11 kk22Csinka，Dcoska,,Ccoska，Dsinka 2222kk11 15 kk22coska，sinkasinka,coska2222kk11,0kk22coska，sinka,(sinka,coska)2222kk11 kk22,(coska，sinka)(sinka,coska)2222kk11 kk22,(coska，sinka)(sinka,coska),02222kk11 kk22 (coska，sinka)(sinka,coska),0 2222kk11 2kkk22222 sinkacoska，sinka,coska,sinkacoska,02222222kkk111 2k2k22 (,1， )sin2ka, cos2ka,0222kk11 22 (k,k)sin2ka, 2kkcos2ka,0212122 # 解法三: ,ka1,2kDsinka,ke(B，F)(11)-(13) 221 ,ka1,2Dcoska,e(B，F)(10)+(12) 2 (11),(13),ktgka,k (a) 221(10)，(12) ,ika1,2kCcoska,,k(F,B)e(11)+(13) 221 ,ika1,2Csinka,(F,B)e(12)-(10) 2 ， (11 ) (13 ) , , , k ctgk a k 2 2 1 , (12 ) (10 ) (b) ,,ka，,,ka，令 则 22 ,,, tg, (c) 或, ctg,,,, (d) 22Ua,22220，,(k，k), (f) ,,122, 合并(a)、(b): 16 2kk2tgka122 利用 tg2ka,tg2ka,222221,tgkak,k212 # 解法四:(最简方法-平移坐标轴法) 2,,,,,，U,,E, ?: (χ?0) 10112, 2,,,,,,E, ?: (0,χ,2) a222, 2,,,,,，U,,E, ?: (χ?2) a30332, ,UE2(,),0,,,,,,011,2,,,E2,,,,, ,，,0,222,, ,,2(U,E)0,,,,,,033,2,, 222,,,,,,,k,0 (1) k,2(U,E),11110,222,,,,,EU，k,0 (2) k,2E,束缚态,, 0,02222 ,2,,,,,k,0 (3)313, ，kx,kx11,,Ae，Be1 ,,Ckx，Dkx sincos222 ，kx,kx11,,Ee，Fe3 ,(,,)有限 ,B,01 ,(,)有限 ,E,03 因此 kx1,？,Ae1 ,kx1 ,,Fe3 由波函数的连续性，有 ,,(0),(0),,A,D (4)12 ,,,,(0),(0),,kA,kC (5)1212 ,2ka1,,,,(2a),(2a),,kCcos2ka,kDsin2ka,,kFe (6)2322221 ,2ka1,(2a),,(2a),,Csin2ka，Dcos2ka,Fe (7)2322 (7)代入(6) 17 kk22 Csin2ka，Dcos2ka,,Ccos2ka，Dsin2ka2222kk11 利用(4)、(5)，得 kk12Asin2ka，Acos2ka,,Acos2ka，Dsin2ka2222kk21 kk12A[(,)sin2ka，2cos2ka],022kk21 ？A,0 kk12？(,)sin2ka，2cos2ka,022kk21 两边乘上(,kk)即得12 22(k,k)sin2ka,2kkcos2ka,0212122 # 间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 2.8分子 ,, x,0 ，, ,U, 0,x,a，,0 U(x),,Uaxb,, ,,，1, ,0, b,x ，, 求束缚态的能级所满足的方程。 解:势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 22,d,,(x)，U(x),(x),E,(x) 22dx, 对各区域的具体形式为 2,,,,,，U(x),,E, (x,0) ?: 1112, 2,,,,,，U,,E, (0,x,a) ?: 20222, 2,,,,,,U,,E, (a,x,b) ?: 31332, 2,,,,,，0,E, (b,x) ?: 442, 对于区域?，U(x),,，粒子不可能到达此区域，故 18 ,(x),01 UE,2 (,)0,, 而 . ? ,,,,0222, UE,2 (，)1,, ? ,，,,0332, E,2,, ? ,，,,0442, 对于束缚态来说，有 ,U,E,0 2, (U,E)220,,,,k,,0 ? ? k,21212, 2, (U，E)221,,,，k,,0 ? k,33332, 222,,,，k,,0k,,2,E/, ? 4444 各方程的解分别为 kx,kx11,,Ae，Be2 ,,Csinkx，Dcoskx 322 ，kx,kx33,,Ee，Fe4 由波函数的有限性，得 ,(,)有限， ,E,0 4 ,kx3,,Fe ? 4 由波函数及其一阶导数的连续，得 ,(0),,(0) ,B,,A 12 kxkx,33,,A(e,e) ? 2 kx,kx33,(a),,(a),A(e,e),Csinka，Dcoska ? 2322 ka,ka33,,,(a),,(a),Ak(e，e),Ckcoska,Dksinka ? 3312222 ,kb3,(b),,(b),Csinkb，Dcoskb,Fe 3422 ? ,kb3,,,(b),,(b),Cksinkb,Dkcoskb,,Fke ? 3422223 19 ka,ka11kCcoska,Dcoskae，e122由?、?，得 (11) ,ka,ka11kCsinka，Dcoskae,e222 (kcoskb)C,(ksinkb)D,(,ksinkb)C,(kcoskb)D由 ?、?得 22223232 kk22 (coskb，sinkb)C,(,coskb，sinkb)D,0 (12) 2222kk33 ka,ka11kee，1 令，则?式变为 ,,,ka,ka11kee,2 (,sinka,coska)C，(,coska，sinka)D,02222 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 kk22(coskb，sinkb)(,sinkb，coskb)2222,0 kk33 ,(sinka,coska)(,coska，sinka)2222 ,,k2即 (coska，sinka)(coskb，sinkb),(sinka,coska),222222k3 k2 ,(,sinkb，coskb),022k3 kk,,22 coskbcoska，sinkbsinka，sinkbcoska，222222kk33 kk22, ，sinkbsinka，sinkbsinka,sinkbcoska),222222kk33 , ,coskbsinka，coskbcoska,02222 kk22,, sink(b,a)(,)，cosk(b,a)((，1),022kk33 kk22 tgk(b,a),(1，,)(,,)2kk33 把,代入即得 kakakaka,,1111kkke，ee，e221 tgkb,a,，, ()(1)()2kakakaka,,1111kkke,ee,e332 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 # 附:从方程?之后也可以直接用行列式求解。见附页。 20 ka,ka11(e,e),sinka,coska022ka,ka11(e，e)k,kcoskaksinka022222,0,ka30sinkbcoskb,e22,ka30kcoskb,ksinkbke22223 ,kcoskaksinka02222,kaka,ka3110,(e,e)sinkbcoskb,e,22,ka3kcoskb,ksinkbke22223 ,sinka,coska022,kaka,ka311 ,k(e，e),sinkbcoskb,e122,ka3kcoskb,ksinkbke22223 ,ka,kaka,ka23311 ,(e,e(),kkecoskacoskb,kesinka232222 ,ka,ka233 coskb,kkesinkasinkb,kecoskasinkb)22322222 ,kb,kbkb,kb3311 ,k(e，e()kkesinkacoskb,kecoska1232222 ,kb,kb33 coskb，kecoskasinkb，kesinkasinkb))2322222 ,kbka,ka2311,(e,e)[,kkcosk(b,a)，ksink(b,a)]e23222 ,kbka,ka311 ,(e,e)[kksink(b,a)，kkcosk(b,a)]e132122 ,kbka231,e[,(k，k)kcosk(b,a)，(k,kk)sink(b,a)]e 13222132 ,kb,ka231ekkkkbakkkkbae [(,)cos(,)，(，)sin(,)]13222132 ,0 ,kb23, [,(k，k)k，(k,kk)tgk(b,a)]e1322132 ,kb23 ,[(k,k)k，(k，kk)tgk(b,a)]e,01322132 kaka222211 [(k,kk)e,(k，kk)]tgk(b,a),(k，k)ke2132132132 ,(k,k)k,0132 此即为所求方程。 # 第三章 量子力学中的力学量 22,xi,,,t,22,(x),e3.1 一维谐振子处在基态，求: , 122Ux (1)势能的平均值; ,,,2 2p (2)动能的平均值; T,2, 21 (3)动量的几率分布函数。 ,,22112222,x,,,,,U,x,xedx解:(1) ,,,22, ,,11111,222,,,,,, 2 ,,,,,2222,24,,2,2,, 1 ,,,4 ,2135(2n1),,,？,,,2nax,xedx ,nn1,，0a2a 2,p1*2ˆ (2) T,,,(x)p,(x)dx,,,22,, 1122222,x,x,,,,1d222 ,e(,,)edx,2,,,2dx, 2,22,,222,,x,,(1,,x)edx ,,,2,, 2,,2222,,2,,x22,,x,,[edx,,xedx] ,,,,,,2,, 2,,,,22,, ,[,,]3,,2,2, 222,,,,,,,22 ,,,,,,,2244,,,,, 1 ,,,4 111 或 T,E,U,,,,,,,,,244 *c(p),,(x),(x)dx (3) p, 1i22,xPx,,,,12, , eedx ,,,,,,2 1i22,xPx,,,,12, , eedx,,,,,,2 22 21ipp22,(),x，,,,12222,,2,, , edx,,,,,,2 2p1ip22,(),,x，,,12222,,,,2 ,e edx,,,,,,2 22pp,,,12122222,,2,, ,e,,e,,,,,2,, 动量几率分布函数为 2p,1222,,, p,cp,e()() ,,, # 1,r/a0,,, 3.2.氢原子处在基态，求: r,e(,,)3,a0 (1)r的平均值; 2e, (2)势能的平均值; r (3)最可几半径; (4)动能的平均值; (5)动量的几率分布函数。 2,,,122/,ra20r,,r(,r,,,),d,rersin, drd, d, 解:(1) 3,,,,000a,0 ,42/,ra30, radr 3,0a0 ,n!nax,xedx ,n1,，0a 43!3,,a 0342a,,02,,,,a0,, 23 22,,,2ee1,ra2/20,,,(2)U,(,),,ersin drd d,,,3000,rra0 2,,,2e,ra2/0,,ersin, drd, d,,,,3000a,0 2, 4e,ra2/0,,er dr,30a0 224e1e,,,,32aa,,002,,,,a0,, (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 2,,4,2r/a2220 ,erdr,(r)dr,[,(r,,,,)]rsin, drd, d,3,,00a0 4,ra2/20,, (r)er 3a0 d(r)42,,2r/a0,(2,r)re 3draa00 d(r), 令 ,0， , r,0, r,,, r,a1230dr 当 r,0, r,,时，,(r),0为几率最小位置 12 2d(r)484,,2r/a20 ,(2,r，r)e232adraa000 2,d(r)8,2,,e,0 23dra0,ra0 r,a ? 是最可几半径。 0 ，，2,,,,,111221,,,,(r)，(sin)，22ˆ,,222ˆ,,,,Tp (4) ,r,r,,,,,sin,rsin,,，，2,2, 22,,,1,//22rara,,00 T,,e,(e)rsin, drd, d,3,,,0002,a,0 22,,,11dd,//22rara,,00 ,,e[r(e)]rsin, drd, d,32,,,0002drdr,ar,0 24 22,41r,/ra,0 ,,(,(2r,)e dr3,0,aa2a000 2222aa4,,00 (2),,,42442,a2,a00 ,*,c(p),,(r),(r,,,,)d, (5) p, i,pr,cos,,2,11,r/a20, c(p),erdresin, d,d,,,,3/20003,(2),a,0 icos,pr,,,,2/2,ra0, ,redre d(,cos,),,003/23,(2)a,,0 ,icospr,,,,2,/2,ra0, ,redre ,03/23ipr(2,),a,00 iiprpr,,,2,/,ra0,, ,re(e,e)dr,03/23ip,,(2)a,0 ,n!nax, xedx,n1,，0a ,,211,,[] 3/23ii11ip22,,,a(2)0,p，p()()a,a,00 14ip, 2331p2,2a,ip0a,(，)022a,0 44a,40, 222233(ap，,)2a,,a000 3/2(2a,),0 , 2222,(ap，,)0 动量几率分布函数 358a,20, (p),c(p),2224,(ap，,)0# 3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 J,J,0 ere, 25 e, m2 J,, e,n,m rsin,, 证:电子的电流密度为 ,,i,**,,,,,(,,,,,,) JeJe,,,,enmnmnmnm2, 在球极坐标中为 , ,,1,,,1,,,e，e，e r,,,rr,,rsin,,, ,,,eee、、式中为单位矢量 r,, ,,,,,i,,,,11*,,J,,eJ,,e[(e，e，e),,en,mrn,m,,,,2,rr,rsin, ,,,,,,11* ,,(e，e，e),]n,mr,,n,m,rr,r,sin,,, ,,ie,,,,1***,,,,,,,,[e(,)，e(,rn,mn,mn,mn,mn,mn,m,,2,r,rr, ,,,,111*** ,,,)，e(,,,,,)]n,mn,m,n,mn,mn,mn,mr,r,r,sinsin,,,,, ？, 中的和部分是实数。 r,n,m ,,,ie,e,m222,,J,,(,im,,im,)e,e ? en,mn,m,n,m,sinr2rsin,,,, J,J,0 可见， ere, em,2J,,, e,n,mrsin,, # 3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为 me,,, (SI),,2,M,M, ,zme,,, (CGS),2,c, 原子磁矩与角动量之比为 26 e,, (SI),,2M,z, ,eLz,, (CGS),2,c, 这个比值称为回转磁比率。 解:(1) 一圆周电流的磁矩为 AdM,iA,JdS,A (为圆周电流，为圆周所围面积) ie, e,m22,,,dS,,(rsin,) n,mrsin,, e,m2,,,rsin,,dS n,m, e,m22,rsin,,drd,,, (dS,rdrd,)n,m, (2)氢原子的磁矩为 ,,e,m22M,dM,,,,rsin, drd, n,m,,,00, ,,em,22,,,2,,rsin, drd, n,m,,002, 2,,,e,m22,,,rsin, drd,d, n,m,,,0002, e,m,, (SI)2, e,mM,,, 在单位制中 CGS2,c 原子磁矩与角动量之比为 MMez,,, (SI) ,LL2zz Mez,, (CGS) # ,L2cz 2L,H3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，2I 27 求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数: (1) 转子绕一固定轴转动: (2) 转子绕一固定点转动: 解:(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 22 L,L Z 221d,2ˆˆ 哈米顿算符 HL,,,Z222IId, ˆH与t 其本征方程为 (无关，属定态问题) 22,d,,,,,,E()()2,I2d 2,,dIE()2 ,,,(,)22d,, 2IE2 令 ，则 m,2, 2,,d()2 ，m,(,),02d, im,,(,),Ae 取其解为 (可正可负可为零) m由波函数的单值性，应有 im(,，2,)im,,(,，2,),,(,),e,e i2m, 即 e,1 ?m= 0，?1，?2，… 22m,E,转子的定态能量为 (m= 0，?1，?2，…) m2I 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 im,,,Ae m A为归一化常数，由归一化条件 ,,22*22,,,,, 12,d,Ad,Amm,,00 1,A,2, ? 转子的归一化波函数为 1im,,,e m,2 28 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 12ˆˆ H,L2I ˆH与t无关，属定态问题，其本征方程为 12ˆ LY(,,,),EY(,,,)2I ˆE (式中设为的本征函数，为其本征值) HY(,,,) 2ˆLY,(,,),2IEY(,,,) 2 令 ，则有 2IE,,, 22ˆLY(,,,),,,Y(,,,) 2ˆ 此即为角动量L的本征方程，其本征值为 222L,,,,,(,，1), (,,0, 1, 2, ？) mim, 其波函数为球谐函数 Y(,,,),NP(cos,)e,,,mm ? 转子的定态能量为 2,,,(1)，E , ,I2 可见，能量是分立的，且是重简并的。 (2,，1) # 3.6 设t=0时，粒子的状态为 21,(x),A[sinkx，coskx] 2求此时粒子的平均动量和平均动能。 2111,(x),A[sinkx，coskx],A[(1,cos2kx)，coskx]解: 222 A ,[1,cos2kx，coskx]2 Ai2kxi2kxikxikx,,11 ,[1,(e,e)，(e，e)]222 29 ,2,1A022ixikx,ikxikx,ikx1111 [] ,e,e,e，e，e,222222,, p可见，动量的可能值为 0 2k, ,2k, k, ,k,n 222222222p22k,k,k,k,n0 动能的可能值为 2,,,2,2, , 对应的几率应为 n 22222AAAAA( ),2,, 416161616 111112 ( ),A,,28888 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 222AAA1,,,(，4，),2,,,,2,, ,n4162n A,1/,, ? p ? 动量的平均值为 ,,pp,nnn 2222AAAA,0，2,，,,2,,2,，,,2,，,，,2,,,,，,2,,,0kkkk16161616 22ppn ,,,T,n22,,n 22222k,1k,1,0，,，2，，，2 ,,828 22k,5, 8, # 3.7 一维运动粒子的状态是 ,,x,,Axe, 当x0(x),, , 0, 当x0,, 30 其中，求: ,,0 (1)粒子动量的几率分布函数; (2)粒子的平均动量。 解:(1)先求归一化常数，由 ,,2222,x, 1,,(x)dx,Axedx,,0,, 12 A ,34, 3/2 ? A,2, 3/2,2,x,(x),2,xe (x,0) ,(x),0(x,0) ,,11ikx1/23/2(,ik)x,,，c(p),e,(x)dx,(),2,xe,(x)dx ,,,,,,,2,,2, 3,,,x211/2,,(，ik)x,(,，ik)x,,e，edx ()[,0,,,,,，ik,，ik2 33,,2x211/21/2 ,(),,() 2p,,2,2,,(，ik)2(,，i), 动量几率分布函数为 333,,212,12,(p),c(p),, 22222,,,p(,,，p)22(，),2, ,,d*3,x,x,,ˆ (2) p,,(x)p,(x)dx,,i,4,xe(e)dx,,,,,,dx ,32,x, ,,i,4,,x(1,,x)edx,,, ,322,x, ,,i,4,,(x,,x)edx,,, 113, ,,i,4,(,)22,,44 ,0 # 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函a数 31 ,(x),Ax(a,x) 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量 解:由波函数,(x) 的本征函数和本征值为 ,2n,sinx, 0,x,a,(x) ,aa, , 0, x,0, x,a, 222,n, (n,1， 2， 3， ？)E,n22,a 2 动量的几率分布函数为,(E),C n ,a,n* C,,(x),(x)dx,sinx,(x)dxn,,0,,a 先把归一化，由归一化条件， ,(x) ,aa2222222 1,,(x)dx,Ax(a,x)dx,Ax(a,2ax，x)dx,,,00,, a22234 ,A(ax,2ax，x)dx,0 5555aaaa22() ,A,，,A 32530 30A, ? 5a a230n,C,,sinx,x(a,x)dx ? n,50aaa aa215nn,,2,[axsinxdx,xsinxdx] ,,300aaa 23,,,215ananan2,[,xcosx，sinx，xcosx322,,,naanaan a232an,2an, ,xsinx,cosx]2233aann,,0 415n,[1,(,1)] 33n, 32 2402n2, ? E,C,,, ()[1(1)]n66n, 960,，n，，，,1 3 5 ？,66 ,n,, ,，n 0,2, 4, 6, ？, 2,aˆpˆE,,(x)H,(x)dx,,(x),(x)dx ,,0,,2, 22a30,d,x(x,a),[,x(x,a)]dx ,520,2adx 2233a3030,,aa ,(,),(,)xxadx,55023,,aa 25, ,2,a 3.9.设氢原子处于状态 13,(r,,,,),R(r)Y,(,,),R(r)Y(,,,) 2110211,122求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率 和这些力学量的平均值。 解:在此能量中，氢原子能量有确定值 22,e,ess,,,, E (n,2)22222,8,n 角动量平方有确定值为 222L,,(,，1),,2, (,,1) 角动量Z分量的可能值为 L,0L,,, Z1Z2 其相应的几率分别为 13 ， 44 其平均值为 133 L,，0,,，,,,Z444 33 3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 ,, r,a;, U(r),,0, r,a, 求粒子的能级和定态函数。 r,a的区域，，所以粒子不可能运动到这一区 解:据题意，在U(r),, 域，即在这区域粒子的波函数 r,a () ,,0 由于在的区域内，。只求角动量为零的情况，即，这时在U(r),0r,a,,0各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度无关，是各,、,向同性的，因此，粒子的波函数只与有关，而与无关。设为，则粒r,、,,(r) 子的能量的本征方程为 2,,1dd2,(r),E, 2rdrdr, 2,E2 令 ，得 ,,U(r)rE, k,2, 2du2，ku,0 2dr 其通解为 u(r),Acoskr，Bsinkr AB？,,(r),coskr，sinkrrr 波函数的有限性条件知， 有限，则 ,(0), A = 0 B ? ,(r),sinkrr 由波函数的连续性条件，有 B ,(a),0 , sinka,0a ? ?ka,n, (n,1,2,？) B,0 34 n , k, a 22,,n2 ? E,n22,a Bn, (r),sinr,ra 其中B为归一化，由归一化条件得 a,,22,,,,1,d,d,(r)rsin dr,,,000 a,n222,,4,Bsinrdr,2, aB,0a 1B, ? 2, a ? 归一化的波函数 n,rsin1a r(),,ar2 , # 223.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系 (,x),(,p),? p,0 解: 5222p,2 T,k, ,4 ,1222 x,Ax[sinkx，coskx]dx,0,,,2 ,122222 x,Ax[sinkx，coskx]dx,,,,,2 222222 (,x),(,p),(x,x),(p,p),,3.12 粒子处于状态 21ix1/2, ()()exp[]x,px,022,,,,24 22式中,为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系 (,x),(,p),? 解:?先把归一化，由归一化条件，得 ,(x) 35 2xx2 (),,,,2211x22,, 1,,()edxed,,22,,2,,,,,222,, 111/2, ,,()22,,2,,2 12, ? / ,2, ? 是归一化的 i,2 (x),exp[px,x],0,2 ? 动量平均值为 ,,ii22 px x px x,,,,,di00,2,2,,p,,*(,i,)dx,,ie( p,, x)edx 0,,,,,,,dx ,2i x,,, ,,i( p,, x)edx0,,,, ,,22 ,x ,x,, ,pedx，i, ,xedx0,,,,,, ,p 0 22 ? (,x),(,p),? ,,2 ,x, (奇被积函数) x,,*x,dx,xedx,,,,,, ,,,2221122 ,x,x ,x,,, x,xedx,,xe，edx,,,,,,,,2,2, 1 ,, 2, ii2222 px,xpx,x,,,,,dd00222,,p,,,,*, dx,,,ee dx ,,,,,,dxdx 2,,22p2,,x222,,x0,,,(，)，i2,,pxedx,,,xe dx 0,,,,,,, 2p1,222220,,(，)，0，(,,),(,，p) ,,0,22, 36 2122, ()x,x,x,2, 2,,222222()(,), p,p,p,，p,p,,0022 11,2222(),(),,,,, xp,,224, # 3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。 解:设氢原子基态的最概然半径为R，则原子半径的不确定范围可近似取为 ,r,R 由测不准关系 2,22()() ,r,,p, 4 2,2得 (,p), 24R ,对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符为奇宇称，所以 p p,0 222又有 (,p),p,p 2,22p,(,p),所以 24R 2,2p,可近似取 2R 22ePsE,,能量平均值为 2,r 22eess,作为数量级估算可近似取 rR 22e,s则有 E,,2R2,R E基态能量应取的极小值，由 37 22e,E,s ,,，,032,R,RR 2,得 R,2,es 4,es代入，得到基态能量为 ,, EEmin22, 第四章 态和力学量的表象 2LL4.1.求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。 xx ii,,,,,,p,rp,r13,,ˆˆ()()()L,eyp,zped, 解: ,xppzy,2,, ii,,,,,,p,rp,r13,,()(),eyp,zped, zy,2,, ii,,,,,,p,rp,r,,13,, ,,, ()e(i,)(pp)ed,zy,,,2,pp,yz i,,,,(p,p),r,,13, ,,,, (i)(pp)()ed,zy,,,,pp2,yz ,,,,,,i,(p,p),(p,p) yz,p,pzy ,2*2,,(L),,(x)L,d, ,,xpppxp, ii,,,,,,p,rp,r132,,ˆˆ,()e(yp,zp)ed, zy,,2, ii,,,,,,p,rp,r13,,ˆˆˆˆ,()e(yp,zp)(yp,zp)ed, zyzy,2,, ii,,,,,,prpr,,,13,,ˆˆ,,, ()e(ypzp)(i,)(pp)ed,zyyz,,,2,pp,zy ii,,,,,,p,rp,r1,,3,,ˆˆ(,)()()() ,ip,peyp,zped,yzzy,2,,p,p,zy 38 i,,,,(p,p),r,,1223, ,,,,(pp)()ed,yz,,,,pp2,zy ,,,,22,,,,(p,p),(p,p) yz,p,pzy# 4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 2n,u(x),sinx解:基矢: naa 222,n, 能量: E,n22,a a2ma,2 对角元:sin ,,xxxdxmm,02aa 1u ucosnudu,cosnu，sinnu，c2,nn a2mn,, 当时， m,nx,(sinx),x,(sin)dxmn,0aaa ,,a1(m,n)(m，n)，，,xcosx,cosxdx,,,0aaa，， a,,2，1a(m,n)ax(m,n),[cosx，sinx],,,22aa(m,n)a(m,n),0， a2,,，a(m，n)ax(m，n) ,[cosx，sinx] ,22,,a(m，n)a(m，n),0， ，，a11m,n,,,(,1),1,,,222,(m,n)(m，n)，， a4mnm,n,,,(,1),12222,(m,n) 39 ,,a2mdn*ˆp,u(x)pu(x)dx,,i,sinx,sinxdxmnmn,,0aadxa,,,a2nmn,,,isinx,cosxdx2,0aaa ,,,an,(m，n)(m,n)，，,,isinx，sinxdx2,,,0aaa，， a ,,,，，na(m，n)a(m,n),,icosx，cosx ,,2,,(m，n)a(m,n)aa，，0 ,，，n,a11m,n,,,i，(,1),1],,2,(m，n)(m,n)a，， ,i2mnm,n,,,(,1),122(m,n)a cos()cos()m，num,nusincos munudu,,,，C,2()2()m，nm,n# 4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 解:定态薛定谔方程为 221dp22,, ,,C(p,t)，C(p,t),EC(p,t)2,22dp 221dp22,, 即 ,,C(p,t)，(E,)C(p,t),02,22dp 2 两边乘以，得 ,, 221d2Ep,C(p,t)，(,)C(p,t),0 21,,,,,dp ,,, 11,,,令 ,p, p, ,,,,,,, 2E, , ,, 2d2C(p,t)，(,,,)C(p,t),0 2d, 跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为 40 1,E,(n，),n2 1i22,p,Et,n2,C(p,t),NeH(,p)enn N式中为归一化因子，即 n ,1/2 N,()nn1/2,2n! # 4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 22111,,22222ˆˆHpxx,，,,,,，,, 解:22222x,,, *ˆH,,(x)H,(x)dx ,pppp, ii22,,pxpx,1,122,, ,e,，,,xedx(),22,22,,,x ii2,,(pp)x(pp)x,,,,,111i222,,,,,() ,,pedx，xedx,,,,,,2,,2,,22,, i22,(pp)x,,,p,11,22,,,,, ,p,p，edx()(),2,,,,,i222,p, i22,(pp)x,,,p,,1122,,,,, ,p,p，edx()(),2,,,,i,,,,p22 22p1,22,, ,,(p,p),,,,,(p,p)2,22,,p 22p1,22,, ,,(p,p),,,,,(p,p)222,,p # 2ˆˆˆˆL和LL和L4.5 设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为 Zxy 0100,i0,,,,,,,,,2,,101LL,i0,i ,,,,xy22,,,,0100i0,,,, L和L 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。 xy L 解:的久期方程为 x 41 ,,,0 2 ,,32 ,,,0,,,，,,,0 22 ,0,,2 ,,,0，,,,，,,,, 123 ˆ ?的本征值为 L0，,，,,x ˆ 的本征方程 Lx aa010,,,,,,11,,,,,,,101aa,, ,,,,,,222,,,,,,010aa,,33,,,, a,,1,,2ˆˆˆL和L,, 其中a设为的本征函数共同表象中的矩阵 L,,Z2x,,a3,, 当,,0时，有 1 a0100,,,,,,1,,,,,,,a101,0 ,,,,,,22,,,,,,0100a3,,,,,, a0,,,,2,,,,,a，a,0 ,a,,a，a,0 ,,,,133122,,,,0a2,,,, a,,1,,,0, ? ,,0 ,,a,1,, 由归一化条件 a,,1,,2，**1,,,,(a,0,,a)0,2a ,,00111 ,,,a1,, 1a, 取 12 42 1,,,,2,, ˆ,, 对应于的本征值0 。 ,,0L0x,,1,,,,,2,, 当时，有 ,,,2 aa010,,,,,,11,,,,,,,101a,a , ,,,,,,222,,,,,,010aa33,,,,,, ,,1a,,22,,,,a2aa21,,1,,,,,1, ，,,,(aa)aa2a ,,,,,132232,,,,,a,aa331,,,,,,1a,,22,, a,,1,, ,, ? ,,2a,1,,,,a1,, 由归一化条件 a,,1,,2***,, 1,(a,2a,a)2a,4a11111,,,,a1,, 1 取 a,12 ,,1,,2,, ,,1ˆ, ?归一化的对应于的本征值 ,,L,,,x2,, ,,1,,2,, ,,,, 当时，有 2 aa010,,,,,,11,,,,,,,101a,a,, ,,,,,,222,,,,,,010aa,,33,,,, 43 ,,1,,a12,,,a,,2aa,,,211,,,,,1,,,(aa)aa2a，,,,,, ,,,132232,,,,,a,aa,331,,,,,,1,,a2,,2,, a,,1,, ,, ? ,2a,,,,1,,,,a1,, 由归一化条件 a,,1,,2***,, 1,(a,,2a,a),2a,4a11111,,,,a1,, 1 取 a,12 ,1,,,2,, ,,1ˆ,,, ?归一化的对应于的本征值 ,,L,,,,x2,, ,,1,,,2, 2ˆˆˆL和L 由以上结果可知，从的共同表象变到表象的变换矩阵为 LZx ,,111,,222,, ,11, S,0,,,22,,111,,,,,222,, ，,L,SLS ?对角化的矩阵为 xx ,,,,11111,,,,0,22222,,,,010,,,,,,111,,11,,,1010, L,,x,,,,222222,,,,,,010,,111111,,,,,,,,,,222222,,,, 44 ,,,,111,,,,222,,,,000 ,,11,,11, ,10,,,,,22222,,,,11111,,,,,1,,,,,,22222,,,, 000000,,,,,,,,, ,020,0,0 ,,,,2,,,,00,200,,,,,, 按照与上同样的方法可得 ˆ 的本征值为 L0，,，,,y ˆ 的归一化的本征函数为 Ly ,,,,111,,,,,,,,22,,,,2,,,,,,ii,,,,0 ,,,,,,,,,0,,,,,22,,,,1,,,,,,11,,,,2,,,,,,22,,,, 2ˆˆˆL和L 从的共同表象变到L表象的变换矩阵为 Zy ,,,,11111,,,,022222,,,, ii1i1,,,,， S,0,,S,,,,,,,22222,,,,1111i1,,,,,,,,,,,222222,,,, ˆL利用S可使对角化 y 000,,,,，,LSLS0,0,, ,,yy ,,00,,,, # 4.6求连续性方程的矩阵表示 解:连续性方程为 ,,, ,,,,J,t 45 ,i,J,,(,,*,,*,,) ? 2, ,i,,,J,,,,(,,*,,*,,)而 2, i,22,,(,,*,,*,,) 2, 1ˆˆ ,(,T,*,,*T,)i, ,,ˆˆ ? i,,(,*T,,,T,*),t *,,,()ˆˆi,,,(*T,,,T,*) ,t 写成矩阵形式为 ,，，，ˆˆ,,,,,,i,(),T,T,t ,，，，**ˆˆi,,(,),,T,,(,T,),T,T,0,t 第五章 微扰理论 r5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为、电荷均匀分布的小球，计算0这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 r,rr,r 解:这种分布只对的区域有影响，对的区域无影响。据题意知 00 ˆ, H,U(r),U(r)0 U(r) 其中是不考虑这种效应的势能分布，即 0 2ze Ur(),,4,,r0 r,rU(r)为考虑这种效应后的势能分布，在区域， 0 2Ze U(r),,4,,r0 r,r在区域，U(r)可由下式得出， 0 46 , U(r),,eEdr,r 14ZeZe,3,,,r,r, (r,r)0233,4,,,,,344rrr,00003 , E,Ze, (r,r)02,4,,r0, r,0 U(r),,eEdr,eEdr ,,rr0 22r,ZeZe01 ,,rdr,dr32,,rr0,,,,4rr4000 222ZeZeZe2222 ,,(r,r),,,(3r,r)0033,,,,,,4r8r8r000000 (r,r) 0 22,ZeZe22,(3r,r)， (r,r),003ˆ,HUrUr,(),(),r4,, 8r,,,0000 ,rr 0 (,)0, 2,(0)2ˆˆ,H,,H,,,，U(r)r 由于很小，所以，可视为一种微扰，由它引起的00,2 Z3,rZa(0)1/20,一级修正为(基态,()e) 13,a0 *(1)(0)(0)ˆ, E,,H,d,111,, 2Z322,rrZZeZe0a2220 ,[,(3r,r)，]e4,rdr 033,04ra8r,,,,,0000 2Z,ra0 ?，故。 e,1r,,a0 4242rrZeZe00(1)224 ? E,,(3rr,r)dr，rdr10333,,00,,,,2ara00000 54242rZeZe520 (r)r,,,，0033352,,ar2,,a00000 42Ze2 r,0310,,a00 47 422Ze2s r,035a0 # ,,5.2 转动惯量为I、电偶极矩为的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较D, 小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 , 解:取的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为 , 2ˆ,,L12ˆˆH,,D,,,L,D,cos, 2I2I 1(0)2ˆˆˆ, 取，则 H,L, H,,D,cos,2I (0)ˆˆˆ, H,H，H ˆ,由于电场较小，又把H视为微扰，用微扰法求得此问题。 1(0)(())2ˆ 的本征值为 HE,,(,，1),,2I (0),,Y(,,,) 本征函数为 ,,m (0)(0)ˆ 的基态能量为，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 HE,00 2,H,0(2),, E ,0(0)(0),EE,0, *(0)(0)*ˆ,,H,,H,d,,Y(,D,cos,)Ysin, d, d, ,0,0,m00,, *,,D,Y(cos, Y)sin, d, d, ,m00, ,41* ,,D,Y Ysin, d, d,,m10,34, ,D*,,Y Ysin, d, d, ,010,3 ,D,,, ,13 222,H,21D,I2,0(2)''22 E,,,,,,D,I ,,,01(0)(0)223,(,1),3,E,E，,,,0 # ˆ,E及EH5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级:，现在受到微扰的作用，0102 48 ,,,,微扰矩阵元为;都是实数。用微扰公式求能量H,H,a，H,H,ba、b12211122至二级修正值。 解:由微扰公式得 (1),E,H nnn 2,Hmn(2)' E,,n(0)(0)E,Emnm (1)(1),,E,H,b E,H,b 得 01110222 22,Ham1(2)' E,, ,01E,EE,Em010m0102 22,Ham1(2)' E,, ,02E,EE,Em020m0201 ? 能量的二级修正值为 2a E,E，b，101E,E0102 2a E,E，b，202E,E0201 # 5.4设在时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的t,0 电场可以近似地表示为，及均为零;电离电子的波函数近似地以平,, ,sin, t t面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻跃迁到电离态的几率。 解:?当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其 值为 4,es,,,,, hvEE ,,minmin122, 4,19,e13.6，1.6，1015s,,v ,3.3，10Hzmin2,342,h6.62，10 ?时，氢原子处于基态，其波函数为 t,0 1,r/a0,,e k3,a0 i,,p,r13/2,,,()et 在时刻， m,,2 49 ,,,,e,r,i, t,i, tˆ,微扰 H(t),e,rsint,(e,e),,2i i, t,i, tˆ,F(e,e) ,,e,r,ˆ 其中 F,2i t在时刻跃迁到电离态的几率为 2 W,a(t) k,mm t1,i,tmk,, at,Hedt()mmk,0,i tF,,()()i,，,ti,,,tmkmkmk, ,(e,e)dt,0,i i(,，,)ti(,,,)tmkmk,,F11eemk ,,,[],，,,,,,mkmk对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， i(,,,)tmk,Fe1mk ,a(t)m,,,,mk 2()()i,ti,t,,,,mkmkF(,1)(,1)ee2mk,(), Watk,mm22(,,,),mk 221,,4sin(,)Ftmkmk2, 22(,,,),mk ,,i,,,p,r,11er,,r/a*3/20,ˆ 其中 F,F,d,()e()ed,,,,mkmk,,32i) z(p2,,a,0 取电子电离后的动量方向为Z方向， ,,取、所在平面为面，则有 xozp,,θ r α ,,, ,,,r,,x，,y，,z xyz O y ,(,sin,)(rsin,cos,)，(,cos,)(rcos,) ,, rsin,sin,cos,，, cos,rcos,x i,p rcos,11e,r/a3/20,F,()e,( rsin,sin,cos,，, rcos,cos,)ed,mk,32i,2,a,0 50 11e3/2F,()mk3,2i2,,a0 i cospr,,2,,,/,ra20, e,(rsin,sin,cos,，, rcos,cos,)ersin,drd, d,,,,000 i cospr2,,,,,11e/3/23ra,0, ,()e,(cos, rcos,sin,)edrd, d,,,,00032i,2,a,0 i cos,pr,,,,,11ecos/3/23,ra0, ,()2,redr[ecos,sin, d,,,0032i,2,a,0 iiii2 prprprpr,,,,,ecos,,,/3,ra0,,,, ,re[(e，e)，(e,e)]dr22,03iprpr,i22a,,0 ,,ecos16p1, 23ia,1p3,i2,2a00(，)22a,0 7/2,,16pecos(a,)0 ,,22238,(ap，,)0 221,,4sin(,)Ftmkmk2, ? Wk,m22(,,,),mk 22222751,,,,sin(,)t128cospea,mk02 ,222262,(，)(,,,)ap,mk0 # 5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 ,0, 当t0,,, ,,t/,,e, 当t0(,为大于零的参数),0, 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。 解:对于2p态，，m可取0, ,1三值，其相应的状态为 ,,1 , , , 21021121,1 ,, 、 , 、, 氢原子处在2p态的几率也就是从跃迁到的几率之和。 10021021121,1 t1,i,tmk,, 由 at,Hedt()mmk,0,i *ˆˆ,,,(H,e,(t)rcos,)H,,H,d, 210,100210100, ,*,RYe,(t)rcos, RYd, (取方向为Z轴方向) ,21101000, 51 ,2,,3* ,e,(t)RrRdrYYcos,sin,d, d,21101000,,,000 1(cos,Y,Y) 00103 2,,1*,,,,,e(t)fYYsind d1010,,003 1,e,(t)f 3 ,256*3f,R(r)R(r)rdr,a 21100,0816 3r,,121a23/23/240,(),()redr ,02aa3a000 5114～，22565 ,,a,a0045a368160 1*ˆ,,H,,H,d,,e,(t)f 210,100210100,3 ,e(t)2561282 ,a,e,(t)a002433816 ,*, H,e,(t),rcos,,d,211,100211100,0 ,2,,3* ,e,(t)RrRdrYcos,Ysin, d, d,21101100,,,000 ,2,,13*,,e(t)RrRdrYYsin, d, d, 21101110,,,0003 = 0 *ˆ,,H,,H,d, 21,1,10021,1100, 2,,,3* ,e,(t)RrRdrYcos,Ysin, d, d,21101100,,,,000 2,,,13*,,e(t)RrRdrYYsin, d, d, 21101,110,,,0003 = 0 W,0W,0 由上述结果可知，， 100,211100,21,1 W,W，W，W ? 1s,2p100,210100,211100,21,1 52 2t1,i,t21,, ,W,Hedt,100210210,100,20, 2t2128,,it,,t,22/21, ,()(ea,)eedt00,20,243 2t,it,21,,1e 21282222,, ()ea 0021243,2,，212, 当时， t,, 212812222,,, ()ea1200s,p21243,2,，212, 442 e3 e3 e1,1,sss 其中 ,(E,E),(1,),,,212133,48,a2,8,0# 5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 234e,,2smkA,r 解: mkmk33,c 由选择定则，知是禁戒的 ,,,,12s,1s 故只需计算的几率 2p,1s E,E21 ,,21, 44,e,e13ss(1),,, 33482,, ,2222r,x，y，z 而 21212121 ,, ,, , 2p有三个状态，即 21021121,1(1)先计算z的矩阵元 z,rcos, ,*3* (z),R(r)R(r)rdr,,cos, Yd,21m,10021101m00,,0 1*,fY Yd, 1m00,3 53 1,f, m03 1,(z),f 210,1003 (z),0 211,100 (z),0 21,1,100 ri,,i, (2)计算x的矩阵元 x,rsin,cos,,sin,(e，e)2 ,1*3*i,,i, (x),R(r)R(r)rdr,Ysin, (e，e)Yd,21m,10021101m00,,02 12*,f,Y(,Y ，Y)d, 1m111,1,23 1,f(,,，,) m1m,16 33i,,i,Y,,sin, eY,sin, e 1111,88,, 1Y, 004, ,(x),0 210,100 1(x),,f 211,1006 1(x),f 21,1,1006 1i,,i,y(3)计算的矩阵元 y,rsin,sin,,rsin,(e,e)2i ,1*3*i,,i, (y),R(r)R(r)rdr,Ysin,(e,e) Yd,21m,10021101m00,,02i 12,f,(,,,,) m1m,12i3 1,f(,,,,) m1m,1i6 54 ,(y),0 210,100 i(y),f 211,1006 i(y),f 21,1,1006 222,ff122,r,(2，，2，，f),f p,s21663 (4)计算 f ,256*3f,R(r)R(r)rdr,a 21100,0816 3r,,121a23/23/240,(),()redr ,02aa3a000 57114225622～，5 ,,a,a,a000454333a68160 15222f,a 093 234e,,2s21Ar, ,2p1s2133c, 24154ee,3232ss()a,,, 033983c3,, 31482,e2,2s (),,,71032c,e3 ,s 108e,29,1s,,,1.91，10s 763,3c 1,10,9,,,5.23，10s,0.52，10s # A21 5.7 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 J,NA,,, 解: 2p,1s2p2p,1s21 55 1048, e, e23ss ,,,, N2p736283c,, 2145e,2sN ,,, ,,,10.2eV221p6833,c 105e2s ,N,,2p63423c,a0 9, ,N，3.1，10W2p ,9 若 ，则 # J,3.1WN,1021p2 5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 ,22A,r,x 解: mkmkmk *x,,x,dx mkmk, 1kk，1,[,,]x,， 由 kk,1k，122, *,,dx,, mnmn, 1kk，1[,,]x,， mkm,k,1m,k，122, x,0 时， ,m,k,1mk 即选择定则为 # ,m,m,k,,1 第七章 自旋与全同粒子 ˆˆˆ,,,,i7.1.证明: xyz ˆˆˆˆˆ,,,,i,,,2证:由对易关系 及 xyyxz ˆˆˆˆ,,，,,,0 反对易关系 ， 得 xyyx ˆˆˆ,,i,, xyz ˆ,上式两边乘，得 z 22ˆˆˆˆˆ,,1 ? ,,,,i,zxyzz 56 ˆˆˆ,,,,i? xyz ˆˆ7.2 求在自旋态中，和的测不准关系: ,(S)SS1zyx2 22(,S)(,S),? xy ˆˆˆ解:在表象中、、的矩阵表示分别为 ,(S)SSS1zyzx2 0110,i,,,,,,,,ˆˆ,, ,,,,,S,(S),S,1xzy,,,,,,22100i02,,,,,, ? 在态中 ,(S)1z2 011,,,,,， ,,,,S,,S,,(1 0),011xx,,,,221002,,,, 201011,,,,,,,,,，22ˆ (1 0),,,,,,S,S,,,,11xx,,,,,,2210100224,,,,,, 22,22()SSS ,,,,xxx4 i0,1,,,,,，ˆ SS,,,,,,,,(1 0),011yy,,,,22i002,,,, 20i0i1,,,,,,,,,,,，22ˆ SS(1 0),,,,,,,,,,,11yy,,,,,,22ii000224,,,,,, 22,22()SSS,,,, yyy4 4,22()()SS,,, xy16 ˆˆS讨论:由、的对易关系 Syx ˆˆˆS [，] S,i,Syzx 224,S,22z22()()SS 要求()(),,, ? ,,SS,xyxy164 ,在,(S),态中， S1zz22 57 4,22()() ? ,S,S ,xy16 可见?式符合上式的要求。 010,i,,,,,,ˆˆ,,,,7.3.求的本征值和所属的本征函数。 S,S,及xy,,,,2102,i0,,,,ˆ 解:的久期方程为 Sx ,,,,,222 ,0()0,,,,,,,,22,,2 ,ˆ ? 的本征值为。 ,Sx2 a,,,1,,设对应于本征值的本征函数为 ,,1/2,,b21,, ,ˆ 由本征方程 ，得 S,,,x1/21/22 aa01,,,,,,,,11,,,,,, ,,,,,,,bb102211,,,,,, ba,,,,11,,,, , , , b,a11,,,,ab11,,,, ，,,,1由归一化条件 ，得 1/21/2 a,,1**,, (a,a),111,,a1,, 112 a,b,2a,1即 ? 11122 1,,,1对应于本征值的本征函数为 ,, ,,1/2,,212,, a,,,2,,,设对应于本征值的本征函数为 ,,,1/2,,2b2,, a,,,2ˆ,,由本征方程 S,,,,x,1/2,1/2,,b22,, 58 b,a,,,,22,,,, , ,,b,,a22,,,,a,b22,,,, 由归一化条件，得 a,,2**,, (a,,a),122,,,a2,, 112 a,b,,即 2a,1 ? 22222 1,,,1 对应于本征值的本征函数为 ,,,,,,1/2,,21,2,, ,ˆ同理可求得的本征值为。其相应的本征函数分别为 S,y2 11,,,,11 ,,,,,,,,11,,,,,22ii,22,,,, 7.4 求自旋角动量方向的投影 (cos,,cos,,cos,) ˆˆˆˆ S,Scos,，Scos,，Scos, nxyz 本征值和所属的本征函数。 ˆ 在这些本征态中，测量有哪些可能值,这些可能值各以多大的几率出Sz ˆ现,的平均值是多少, Sz ˆˆ解:在 表象，的矩阵元为 SSzn 010,i10,,,,,,,,,ˆ ,,,,,,S,cos,，cos,，cos,n,,,,,,10i00,1222,,,,,, ,,,coscosicos,,,,,, S,n,,cos,icos,cos,，,2,, 其相应的久期方程为 ,,,,,,cos,(cos,icos)22,0 ,,,i,,,(cos，cos),cos,22 22,,2222,,cos,,(cos,，cos,),0即 44 59 2,2222(利用cos,，cos,，cos,,1) ,,,04 , ,, ,,2 ,ˆ所以的本征值为。 ,Sn2 a,,,设对应于的本征函数的矩阵表示为，则 ,,,SS,,()1nn,,22b,, ,,,coscos,icosaa,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,cos，icos,cosbb22,,,,,, ,a(cos,，icos,),bcos,,b ,,cos，icosb, 1，cos, a,,22，**由归一化条件，得 ,,1,,,,(a,b),a，b11,,22b,, 2,,cos，icos22a，a,1 ,1，cos 22a,1 ,1，cos ,,,1，cos,, 1,,,(),S n1,,cos，icos,,2,,,2(1，cos),, ,,,1，cos,, 1,,,(),S n1,,cos，icos,,2,,,2(1，cos),, ,,,10,,,,1，coscos，icos,,,,,(S),，1n,,,,2,0122(1，cos),,,, ,,,i1，coscos，cos,,,，11,22(1，cos),22 60 ,,,10,,,,1，coscos，icos,,,,,(S),，1n,,,,2,0122(1，cos),,,, ,,,i1，coscos，cos,,,，11,22(1，cos),22 ,,ˆ可见， 的可能值为 , Sz22 22coscos1cos,，,,,1cos，,, 相应的几率为 2(1cos)2，2, ,,,1，cos,1,cos, S,,,cos,z22222 ,同理可求得 对应于的本征函数为 ,,Sn2 ,,,1cos,,, 2,,,(),S 1n,,,coscos,，i,2,,,2(1cos,),,, ,,ˆ ,在此态中，的可能值为 Sz22 1cos1cos,，,, 相应的几率为 22 , S,,cos,z2 1,,,,()(,)RrY,,21112,,,7.5设氢的状态是 ,3,,RrY,()(,,,),,21102,, ˆˆ?求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值; LSzz ,,,eeˆˆˆM,,L,S ?求总磁矩 ,,2 的 z分量的平均值(用玻尔磁矩子表示)。 解:ψ可改写成 10,,,,13,,,, ,()(,),()(,),RrY,,RrY,,21112110,,,,0122,,,,13 ,R(r)Y,(,,),(S),R(r)Y(,,,),(S2111121101zz,2222 61 ˆ,从ψ的表达式中可看出的可能值为 0 Lz 13相应的几率为 44 , ,,Lz4 ,,ˆ 的可能值为 ,Sz22 132 相应的几率C为 i44 13,,,2 SCS,,，,，,,,zizi24244 ,,eeee,,,,,，,，(,)MLS zzz,,,,2244 e,1,，,M B,244 7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两 个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个,它们的波函数怎样用单粒子波 函数构成, ,,解:体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为，，则体系可能的状态为 ji,,,(q),(q),(q) 1i1i2i3 ,,,(q),(q),(q) 2j1j2j3 1,,,,,,,,[(q)(q)(q)，(q)(q)(q)3i1i2j3i1i3j2 3 ，,(q),(q),(q)]i2i3j1 1,,,,,,,,[(q)(q)(q)，(q)(q)(q)4j1j2i3j1j3i2 3 ，,(q),(q),(q)]j2j3i1 (1)(2)(3),,,,,,7.7 证明和组成的正交归一系。 SSSA (1)(1)，，,,,,[(S),(S)][,(S),(S)]解: SS1/21z1/22z1/21z1/22z 62 ，，,,(S),(S),(S),(S) 1/22z1/21z1/21z1/22z ，,()(),S,S1/221/22zz ,1 (1)，(2)，,,,,[(S),(S)][,(S),(S)] SS1/21z1/22z,1/21z,1/22z ，，,,(S),(S),(S),(S) 1/22z1/21z,1/21z,1/22z =0 1(1)，(3)，,,,,,[(S)(S)],SS1/21z1/22z 2 ,,[(S),(S)，,(S),(S)]1/21z,1/22z,1/21z1/22z 1，，,,,,,[(S)(S)(S)(S)，1/22z1/21z1/21z,1/22z 2 ，， ，,(S),(S),(S),(S)]1/22z1/21z,1/21z1/22z 1，,[,(S),(S)，0] 1/22z,1/22z2 同理可证其它的正交归一关系。 1(3)，(3)，,,,,,,,[(S)(S)，(S)(S)],SS1/21z,1/22z,1/21z1/22z 2 ,,[(S),(S)，,(S),(S)]1/21z,1/22z,1/21z1/22z 1， ,[,(S),(S)][,(S),(S)]1/21z,1/22z1/21z,1/22z2 1， ，[,(S),(S)][,(S),(S)]1/21z,1/22z1/22z,1/21z2 1， ，[,(S),(S)][,(S),(S)]1/22z,1/21z1/21z,1/21z2 1， ，[,(S),(S)][,(S),(S)]1/22z,1/21z1/22z,1/21z2 11 ,，0，0，,122 122U(r)r7.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是。如果,,,2电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处 于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 解:电子波函数的空间部分满足定态S-方程 2,,,,(r)，U(r),(r),E,(r) 2, 63 2222,,,,122 ,(，，,)(r)，,,r,(r),E,(r)22222,,x,y,z 2222,,,,122 ,(，，,)(r)，,,r,(r),E,(r)22222,,x,y,z 2222考虑到 r,x，y，z，令 ,(r),X(x)Y(y)Z(z) 2222,,,1,2222 ,(，，)XYZ，,,(x，y，z)XYZ,EXYZ22222,,x,y,z 22221,X11,Y1,,2222,,,,(,，x)，(,，y)22,,2X22Y2,x,x 22,1,Z122，(,，,,z),E22Z2,x, 22,1,X122,(,，,,x),E x22X2,x, 22,1,Y122(,，,,y),E y22Y2,x, 22,1,Z122(,，,,z),E z22Z2,x, E,E，E，E xyz 122x,,2,X(x),NeH(,x) nnn 122y,,2Y(y),NeH(,y) mmm 122,,z2Z(z),NeH(,z) ,,, 122,r,2,(r),NNNeH(,x)H(,y)H(,z) nm,nm,nm, 122,r,2,(r),NNNeH(,x)H(,y)H(,z) nm,nm,nm, 3E,(n，m，,，),, nm,2 ,,,,,N其中 ， ,n1/2n,,2n! 64 H,1对于基态， n,m,,,00 122,,r,3/22,, ,,(r),()e0000, ， 对于沿χ方向的第一激发态H(x),2, xn,1，m,,,01 122,,r,3/22,, ,(r),()e0000, 15/222,,r,22,,() ,r,xe11003/42, 两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为 1,(r,r),,[(r,)(r)，,(r,(r))] S12011211022 114222222,,(r，r),,(r，r),121222,[xe，xe] 213/2, 14222,,(r，r),122,(x，x)e 213/2, 1,(r,r),,[(r,)(r),,(r),(r)] A12011202112 14222,,(r，r),122,(x,x)e 213/2, 而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即 (1)(2)(3),、,、, 和, SSSA 综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即 ,,,(r,r),独态: 1S12A (1),,,(r,r),,2A12S,(2),,(r,r),,三重态: ,3A12S ,(3),(r,r),,,4A12S, 主要参考书: [1] 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 [2] 张宏宝编 量子力学教程学习辅导书，高等教育出版社2004.2 65