初中数学几何题(超难)及答案分析

几何经典难 1、已知:如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD?AB，EF?AB，EG?CO( 求证:CD,GF((初三) C E G A B D O F A D 2、已知:如图，P是正方形ABCD内点， 0P ?PAD,?PDA,15( 求证:?PBC是正三角形((初二) C B 3、如图，已知四边形ABCD、ABCD都是正方形，A、B、C、D分别是AA、BB、CC、DD111122221111 的中点( A D 求证:四边形ABCD是正方形((初二) 2222D2 A2 A1 D1 B1 C1 BC 2 2 B C 4、已知:如图，在四边形ABCD中，AD,BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交 MN于E、F( F 求证:?DEN,?F( E N C D A B M 5、已知:?ABC中，H为垂心(各边高线的交点)，O为外心，且OM?BC于M( (1)求证:AH,2OM; A 0 (2)若?BAC,60，求证:AH,AO((初三) O ? H E B C 第 1 页 共 15 页 M D 6、设MN是圆O外一直线，过O作OA?MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E， 直线EB及CD分别交MN于P、Q( G E 求证:AP,AQ((初三) O ? C B D M N Q P A 7、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题: 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q( 求证:AP,AQ((初三 ) E C A Q M ? N P ? O B D 8、如图，分别以?ABC的AC和BC为一边，在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P 是EF的中点( D 求证:点P到边AB的距离等于AB的一半((初二) G C E P F A B Q 第 2 页 共 15 页 9、如图，四边形ABCD为正方形，DE?AC，AE,AC，AE与CD相交于F( 求证:CE,CF((初二) D A F E B C 10、如图，四边形ABCD为正方形，DE?AC，且CE,CA，直线EC交DA延长线于F( 求证:AE,AF((初二) A D F B C E 11、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF?AP，CF平分?DCE( 求证:PA,PF((初二) D A F B P C E 12、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D(求 证:AB,DC，BC,AD((初三) A O D B P E F C 第 3 页 共 15 页 13、已知:?ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA,3，PB,4，PC,5( 求:?APB的度数((初二) A P B C 14、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且?PBA,?PDA( 求证:?PAB,?PCB((初二) A D P B C 15、设ABCD为圆内接凸四边形，求证:AB?CD，AD?BC,AC?BD((初三) A D B C 16、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE,CF(求证:?DPA,?DPC((初二) A D F P B C E 17、设P是边长为1的正?ABC内任一点，L,PA，PB，PC，求证:?L,2( 第 4 页 共 15 页 18、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA，PB，PC的最小值( D A A P P C BC B 19、P为正方形ABCD内的一点，并且PA,a，PB,2a，PC,3a，求正方形的边长( DA P C B 0020、如图，?ABC中，?ABC,?ACB,80，D、E分别是AB、AC上的点，?DCA,30，?EBA 0,20，求?BED的度数( A E D C B第 5 页 共 15 页 解答 1.如下图做GH?AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以?GFH,?OEG, EOGOCO即?GHF??OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。 GFCDGH 2. 如下图做?DGC使与?ADP全等，可得?PDG为等边?，从而可得 0 ?DGC??APD??CGP,得出PC=AD=DC,和?DCG=?PCG,15 0 所以?DCP=30，从而得出?PBC是正三角形 3.如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接CF与AE并延长相交于Q点， 1122连接EB并延长交CQ于H点，连接FB并延长交AQ于G点， 2222 01111由AE=AB=BC= FB，EB=AB=BC=FC，又?GFQ+?Q=90和 211112 21 2222 0?GEB+?Q=90,所以?GEB=?GFQ又?BFC=?AEB ， 222222可得?BFC??AEB ，所以AB=BC ， 222222220又?GFQ+?HBF=90和?GFQ=?EBA , 2220 从而可得?AB C=90， 222 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形ABCD是正方形。 2222 第 6 页 共 15 页 4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得?QMF=?F，?QNM=?DEN和?QMN= ?QNM，从而得出?DEN,?F。 5.(1)延长AD到F连BF，做OG?AF, 又?F=?ACB=?BHD， 可得BH=BF,从而可得HD=DF， 又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM 0(2)连接OB，OC,既得?BOC=120， 0 从而可得?BOM=60, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。 第 7 页 共 15 页 6.:作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC， ?OA?MN，EF?OA， 则有?FAP=?EAQ，?EAP=?FAQ，FA=EA， ??PAF=?AFE=?AEF=180-?FCD， ??PAF=180-?FAQ， ??FCD=?FAQ， ?FCAQ四点共圆， ?AFQ=?ACQ=?BED， 在?EPA和?FQA中 ?PEA=?QFA AF=AE ?PAE=?QAF ， ??EPA??FQA， ?AP=AQ( 7.作OF?CD，OG?BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 ADACCDFDFD2 由于， ====ABAEBEBGBG2 由此可得?ADF??ABG，从而可得?AFC=?AGE。 又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得?AFC=?AOP和?AGE=?AOQ， ?AOP=?AOQ，从而可得AP=AQ。 第 8 页 共 15 页 EGFH+8.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。 2 由?EGA??AIC，可得EG=AI，由?BFH??CBI，可得FH=BI。 AIBI+AB 从而可得PQ= = ，从而得证。 22 9.顺时针旋转?ADE，到?ABG，连接CG. 000 由于?ABG=?ADE=90+45=135 从而可得B，G，D在一条直线上，可得?AGB??CGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得?AGC为等边三角形。 000 ?AGB=30，既得?EAC=30，从而可得?A EC=75。 000 又?EFC=?DFA=45+30=75. 可证:CE=CF。 第 9 页 共 15 页 10.连接BD作CH?DE，可得四边形CGDH是正方形。 由AC=CE=2GC=2CH， 00 可得?CEH=30，所以?CAE=?CEA=?AED=15， 0000又?FAE=90+45+15=150， 0从而可知道?F=15，从而得出AE=AF。 11.作FG?CD，FE?BE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 ZX2 tan?BAP=tan?EPF==，可得YZ=XY-X+XZ， YXZ-+Y 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出?ABP??PEF ， 得到PA,PF ，得证 。 第 10 页 共 15 页 12.证明:作CQ?PD于Q，连接EO， EQ，EC，OF，QF，CF， 2所以PC=PQ•PO(射影定理)， 2又PC=PE•PF， 所以EFOQ四点共圆， ?EQF=?EOF=2?BAD， 又?PQE=?OFE=?OEF=?OQF， 而CQ?PD，所以?EQC=?FQC，因为 ?AEC=?PQC=90?， 故B、E、C、Q四点共圆， 所以?EBC=?EQC=1/2?EQF=1/2?EOF=?BAD， ?CB?AD， 所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形， ?AB=DC，BC=AD( 013.顺时针旋转?ABP 60 ，连接PQ ，则?PBQ是正三角形。 可得?PQC是直角三角形。 0所以?APB=150 。 14.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE?DC，BE?PC. 可以得出?ABP=?ADP=?AEP，可得: AEBP共圆(一边所对两角相等)。 可得?BAP=?BEP=?BCP，得证。 第 11 页 共 15 页 15.在BD取一点E，使?BCE=?ACD，既得?BEC??ADC，可得: BEAD =，即AD•BC=BE•AC， ? BCAC 又?ACB=?DCE，可得?ABC??DEC，既得 ABDE =，即AB•CD=DE•AC， ? ACDC 由?+?可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC?BD ，得证。 SABCD16.过D作AQ?AE ，AG?CF ，由==，可得: SSADEDFC2 AEPQAEPQ =，由AE=FC。 22 可得DQ=DG，可得?DPA,?DPC(角平分线逆定理)。 017.(1)顺时针旋转?BPC 60 ，可得?PBE为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图:可得最小L= ; 第 12 页 共 15 页 (2)过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。 由于?APD>?ATP=?ADP， 推出AD>AP ? 又BP+DP>BP ? 和PF+FC>PC ? 又DF=AF ? 由????可得:最大L< 2 ; 由(1)和(2)既得:?L,2 。 018.顺时针旋转?BPC 60 ，可得?PBE为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。 13423+223+既得AF= = = ++(1)242 22(31)+(31)+ = = 22 第 13 页 共 15 页 62+ = 。 2 019.顺时针旋转?ABP 90 ，可得如下图: 2222522+a 既得正方形边长L = = 。 (2)()++a22 第 14 页 共 15 页 020.在AB上找一点F，使?BCF=60 ， 连接EF，DG，既得?BGC为等边三角形， 00 可得?DCF=10 , ?FCE=20 ,推出?ABE??ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。 0 推出 : ?FGE为等边三角形 ，可得?AFE=80 ， 0 既得:?DFG=40 ? 00 又BD=BC=BG ，既得?BGD=80 ，既得?DGF=40 ? 推得:DF=DG ,得到:?DFE??DGE ， 0 从而推得:?FED=?BED=30 。 第 15 页 共 15 页