黄金分割
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第三课时 ?课 题
?4.2 黄金分割
?教学目标
(一)教学
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. (二)能力训练要求
通过找一条线段的黄金分割点,培养学生的理解与动手能力.
(三)情感与价值观要求
理解黄金分割的意义,并能动手找到和制作黄金分割点和图形,让学生认识数学与人
类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
?教学重点
了解黄金分割的意义,并能运用.
?教学难点
找黄金分割点和画黄金矩形.
?教学
讲解法
?教具准备
投影片一张:(记作?4.2 A)
?教学过程
?.创设问题情境,引入新课
图4-6 [师]生活中我们见到过许许多多的图形,形态各异,美观大方.那么这些漂亮的图形
你能画出来吗?比如,右图是一个五角星图案,如何找点C把AB分成两段AC和BC,使
得画出的图形匀称美观呢?本节课就研究这个问题. ?.讲授新课
[师]在五角星图案中,大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度,然后计算
ACBC、,它们的值相等吗? ABAC
[生]相等.
ACBC[师]所以. ,ABAC
1.黄金分割的定义
ACBC在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段,ABAC
AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做
AC黄金比.其中?0.618. AB
投影片(?4.2 A)
黄金分割在几何作图上有很多应用,如五角星形的各边是按黄金分割划分的,其中点
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C就是线段AB的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.
黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时,常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感;在拍照时,常把主要景
物摄在接近于画面的黄金分割点处,会显得更加协调、悦目;舞台上报幕员报幕时总是站
在近于舞台的黄金分割点处,这样音响效果就比较好,而且显得自然大方,等等.
黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.
[师]既然黄金分割的实用价值这么大,我们就必须把它学好,还要用好,下面我们
来学习如何找一条线段的黄金分割点.
2.作一条线段的黄金分割点.
图4-7
如图,已知线段AB,按照如下方法作图:
(1)经过点B作BD?AB,使BD=1AB. 2
(2)连接AD,在DA上截取DE=DB.
(3)在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
[师]你知道为什么吗?
若点C为线段AB的黄金分割点,则点C分线段AB所成的线AC、BC间须满足
ACBC.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便,可设AB=1. ,ABAC
11证明:?AB=1,AC=x,BD=AB= 22
1?AD=x+ 2
在Rt?ABD中,由勾股定理,得
11222(x+)=1+() 22
112?x+x+=1+ 442?x=1-x 2?x=1?(1-x) 2?AC=AB?BC
ACBC即: ,ABAC
即点C是线段AB的一个黄金分割点, 2在x=1-x中 2整理,得x+x-1=0
,1,1,4,1,5?x= ,22
?AC为线段长,只能取正
5,1?AC=?0.618 2
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AC??0.618 AB
?黄金比约为0.618.
3.想一想
图4-8
古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple).把它的正面放在一个矩形ABCD中,
以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇地发现,BCAB,点E是AB的黄金分割点吗?矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗? ,BEBC
[师]请大家互相交流.
BCAB[生]因为四边形AEFD是正方形,所以AD=BC=AE,又因为,所以,BEBC
AEABAEBE,即,因此点E是AB的黄金分割点,矩形ABCD宽与长的比是黄金比. ,,BEAEABAE
[师]在上面这个矩形中,宽与长的比是黄金比,这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了
吗?
?.随堂练习
1.解:设AB=a,根据题意,得
aAE=, 2
由勾股定理,得
22EF=EB=AB,,AE
2a2=a, 4
5=a 2
5,1?AF=AH=BE-AE=a 2
5,13,5BH=AB-AH=a- a,a22
5,1aAH5,12? ,,ABa2
3,5aBH3,55,12 ,,,AH25,15,1a2
AHBH? ,ABAH
?点H是AB的黄金分割点.
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?.课时小结
本节课学习了:1.黄金分割点的定义及黄金比.
2.如何找一条线段的黄金分割点,以及会画黄金矩形.
3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
?.课后作业
习题4.3
?.活动与探究
要配制一种新农药,需要兑水稀释,兑多少才好呢?太浓太稀都不行.什么比例最合适,要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间,那么,可以把1000和2000看作线段的两个端点,选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点,C点的数值可以算是1000+(2000-1000)×0.618=1618.试验的结果,如果按1618倍,水兑得过多,稀释效果不理想,可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D,D的位置是1000+(1618-1000)×0.618,约等于1382,如果D点还不理想,可以按黄金分割的方法
继续试验下去.如果太浓,可以选DC之间的黄金分割点;如果太稀,可以选AD之间的黄金分割点,用这样的方法,可以较快地找到合适的浓度数据.
这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验,可以用最少的试验次数找
到最佳的数据,既节省了时间,也节约了原材料.
?板书设计
?4.2 黄金分割
一、1.黄金分割的定义.
2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形.
3.想一想
二、随堂练习
三、课时小节
四、课后作业
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