有理数简便运算技巧(十五法)

有理数简便运算技巧（十五法） 有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。 一、归类 将同类数（如正数或负数）归类计算。 例1  计算： 。 解：原式 。 二、凑整 将和为整数的数结合计算。 例2  计算： 。 解：原式 。 三、对消 将相加得零的数结合计算。 例3  计算： 。 原式 。 四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。 例4  计算：。 解：原式 。 五、分解 将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。 例5  计算： 。 原式 六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例6：计算：例8  计算： 解：原式 。 七、变序 运用运算律改变运算顺序。 例8  计算： 解：原式 。 。 八、约简 将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 解：原式 。 九、逆用 正难则反，逆用运算律改变次序。 例11  计算：    。 解：原式 。 十、观察 根据0、1、 在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或 的部分优先计算。 例12  计算： 。 解： ， 。 原式 。 十一、变量替换 通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用． 例6  计算 ×(0.125＋ )． 解：设a = ，b = 0.125，c = ，则 ×(0.125＋ ) = ×(b＋ ) = × = 1． 评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分： ，0.125， ，因此，采用变量替换就大大减少了计算量． 十二、倒序相加 在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化． 例8  计算 ＋( ＋ )＋( ＋ ＋ )＋( ＋ ＋ ＋ )＋…＋( ＋ ＋…＋ ＋ )．① 解：把①式括号内倒序后，得： ＋( ＋ )＋( ＋ ＋ )＋( ＋ ＋ ＋ )＋…＋( ＋ ＋…＋ ＋ )， ② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770， ∴ ＋( ＋ )＋( ＋ ＋ )＋( ＋ ＋ ＋ )＋…＋( ＋ ＋…＋ ＋ ) = (1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．  十三、添数配对 例9  计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999． 解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得： 11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999． = 20＋200＋2×10 ＋2×10 ＋…＋2×10 －(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) = 2222222220－45 = 2222222175． 评析：添数配对实质上也是一种凑整运算． 十四、整体换元 对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果． 例10  计算1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ ． 解；设1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ = x，① 则①×(－ )，得－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － =－ x， ② 1 －②，得1＋ = x，解得x = ，故 1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ = ． 十五、分组搭配 观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算． 例7  计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69． 解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69 = (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69) = 0＋0＋0＋…＋0 = 0． 评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．