条条大路通罗马道道风光呈异彩——一节同周期正弦型、余弦型函数图像间的平移变换习题课

条条大路通罗马道道风光呈异彩——一节同周期正弦型、余弦型函数图像间的平移变换习题课 条条大路通罗马道道风光呈异彩——一节同周期正弦 型、余弦型函数图像间的平移变换习题课 第卷第期年月 数学教学研究 条条大路通罗马道道风光呈异彩 ??一节同周期正弦型、余弦型函数图像间的平移变换习题课 王宗德李永科 甘肃省古浪县第三中学 教育部《普通高中课程》要求“创设 号警专 有利于引导学生主动学习的课程实施环境, 提高学生自主学习,合作交流以及分析和解 ?十专一号专一号; 决问题的能力”.成功有效的课堂教师应为学 生创造探究的机会,提供探究的时间和空问, 虿不一号 让学生去经历、去探索、去发现、去体验,让每 位学生成为一个发现者、研究者、探究者、成 ;一?一号。号一号; 功者.下面笔者将一节同周期正弦型、余弦型 ,专。?一号 函数图像间的平移变换习题课的教学为例, 谈几点认识和体会,供大家参考. 詈号一号。号一号 课堂教学实录 。专一号; 习题要得到函数?詈的图像,可 了一号号一号考 以将函数?。专一号的图像平移 单位. 号一号一号。号一专 向左平移季个单位长度 。。专一号. 向右平移手个单位长度 学生仔细观察,合作交流,明白解题根源 是利用诱导公式变角、变名,明确解题目标是 向左平移詈个单位长度 异名函数化为同名函数且使得?,相同,才 能迅速选择恰当的诱导公式构造角、变角、变 向右平移詈个单位长度 名. 正确答案为.首先让学生通过小组合 生: 作探究式学习,然后让各小组展示,讲解本组 号可以化简为 的转化过程,本文只摘录了正弦型转化为余 。挚专或专一号, 弦型,转化过程有以下几种方式: 。号一手一,号一号是向右平移 了专一号一号 / 不、 一。虿一 了号个单位,?号一号一一 万方数据第卷第期年月 数学教学研究 以”二字隐含了平移变换有多种方式. 。 ,是向左平移了警,难道这种解 同学们会心的笑了 法不正确吗 生:终点函数?告也可以化简为 学生敢于提出与众不同的意见或自己 的想法,教师应鼓励、引导学生质疑、探究这 一号詈为何得到平移的方向、长 是为什么 度不同,错在哪儿 师:这两个平移长度有什么联系 出错才会有点拨、引导,才会解惑,出错 生:这两个平移长度的和恰好就是平 是最富有成效的学习时机 移函数的一个周期. 师:同学们,问题出在哪 师:大家想想周期函数有什么性质 生:周期函数平移周期的整数倍后函 生:函数一一号詈,前有 数图像仍然重合. 负号而号一署前面没有负号. 生:向右平移罢单位,再左平移一个周 师:负号的有无对平移有什么影响 期?后图像仍然重合,相当于图像直接向左 生:它们不是同一类型函数,平移变换 平移了等个单位. 必须要保证函数类型的统一. 师:对同名函数间的变换,必须要保证 师:很好,对于这种作法能否作进一步推 相同,叫相同,只有不同,这样才能保证 广呢 平移变换的正确性. 生:只要得到一个平移长度及方向,就 笔者认为以上解法完善就此结束,将进 可以求出所有的平移,一个平移长度加周期 行下一道习题的训练,但又有学生举手发言 的整数倍. 生:老师,刚才利用诱导公式求平移, 师:这样向左平移罟单位与右平移詈单 我想还可以从函数图像上求平移 师:函数图像 位都是詈加周期的整数倍,不能区分啊 对啊这位同学的回答提醒了笔者,以 生:平移长度前加负号表示向左平移, 往的解法只习惯于代数方法,而从未考虑到 平移长度前加正号表示向右平移,这样就能 图像法,就按这位同学的想法去解决 区分出方向,这和判断平移的左正右负一样. 师:标新立异如何解决 生:我们画出这两个余弦型函数的图 向左平移吾单位就可以表示为吾,所有的 像比较前后变化情况. 师:怎样比较二者的变化情况 平移就表示为詈加周期的整数倍;向右平 同学们议论纷纷,有一部分同学动手画 移吾单位就可以表示为一吾,则所有的平移 简图在找问题的突破点,稍许,就有同学回 答 表示为一詈加周期的整数倍. 生:画图像时我们用“五点”法画图,所 师:的很全面,符号的正负表示方 以比较时也要用这“五点”来比较. 向,绝对值的大小表示平移长度.同学们注意 师:切中要害,各组按两个函数 对应的不 到了没有题目的叙述中的“可以二字,“可 同关键点,求出平移长度及方向. 万方数据第卷第期年月 数学教学研究 师:以第一关键点比较为例,求起点函数 为了方便找关键点的对应点列表如表 所示,本文选择余弦曲线第一关键点对应正 号一手图像的第一关键点的横坐 弦曲线第二关键点. 表 标,令号一手一,解得吾,求终点函数 函数名 函数图像 关键点对应 詈一号图像的第一关键点的横坐 /标,鲁一旦?,解得一,横坐标由吾一, 得出向右平移詈单位. 队 师:同学们能给这种解法起个名称吗 生:“对应点”法. 生:“关键点”法. 由起点函数专一号,令专一号 师:好都能体现出这种解法的特征,同 学们能否把这两者结合起来. ,解得一号,终点函数专,令号 生:齐声“关键点对应”法. 罟,解得不,则有吾一?,得向右平移了 小结“关键点对应”法:首先分别求出 同名起点函数与终点函数对应的五个关键点 詈个单位. 中一点的横坐标,然后由横坐标的增加量、减 师:我们把这种解法仍称“关键点对应” 少量,求出平移方向、长度. 法. 生:老师“关键点对应法”是求同名函 小结起点函数.一卯,令 数问的变换,我们能否把这种方法用到异名 函数间的平移变换 ?,解得一纽,终点函数? 师:这样能解决吗 生:因为这两个函数都是同周期的正 伫,令一伫詈,解得 弦、余弦函数,并且振幅相同,所以图像形状、 一伫 伫一仇,一万 伫一仇一号 大小完全相同,只是位置不同. 旦伫 师:这样处理删繁就简,下面同学们画出 一,作差得一????』, 这样就求出一个平移长度、方向,若要求所有 吾图像比较 虿一百,岁 图儇比牧 平移长度再加周期的整数倍,正为左,负为 同学们纷纷去画函数图像,在巡查过程 右.当然也适合于其它对应关键点. 中发现学生作图不准确,作图速度过慢. 生:这种解法还可以进一步优化,在 生:老师,画这两函数图像有些繁琐、 以上四组中较为简单是波峰对应波峰,波谷 速度慢,我想可以类比余弦曲线与正弦曲线 对应波谷,也就是说找最大值或 最小值点对 间的对应吗 应. 师:好啊类比思想是解三角函数的法 师:回答的很好,同学们课后总结.本节 就能找 课通过一个习题让我们弄清楚了平移变换, 宝,这样我们从? 到 下转第页 出使两图像重合的对应点. 万方数据 号一手,岁