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设X是一个56元集合求最小的正整数n

2017-09-02 2页 doc 12KB 17阅读

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设X是一个56元集合求最小的正整数n设X是一个56元集合求最小的正整数n 六、设X是一个56元集合(求最小的正整数n,使得对X的任意15个子集,只要它们中任何7个的并的元素个数都不少于n,则这15个子集中一定存在3个,它们的交非空( 解 n的最小值为41( n,41首先证明合乎条件(用反证法(假定存在X的15个子集,它们中任何7个的并不少于41个元素,而任何3个的交都为空集(因每个元素至多属于2个子集,不妨设每个元素恰好属于2个子集(否则在一些子集中添加一些元素, 256,,,,1上述条件仍然成立),由抽屉原理,必有一个子集,设为A,至少含有,,15,,,...
设X是一个56元集合求最小的正整数n
设X是一个56元集合求最小的正整数n 六、设X是一个56元集合(求最小的正整数n,使得对X的任意15个子集,只要它们中任何7个的并的元素个数都不少于n,则这15个子集中一定存在3个,它们的交非空( 解 n的最小值为41( n,41首先证明合乎条件(用反证法(假定存在X的15个子集,它们中任何7个的并不少于41个元素,而任何3个的交都为空集(因每个元素至多属于2个子集,不妨设每个元素恰好属于2个子集(否则在一些子集中添加一些元素, 256,,,,1上述条件仍然成立),由抽屉原理,必有一个子集,设为A,至少含有,,15,,,8个元素,又设其它14个子集为(考察不含A的任何7个子集,AAA,,,?1214 7都对应X中的41个元素,所有不含A的7,子集组一共至少对应个元素(另41C14 aA,,若,则中有2个含有a,于是a被计算一方面,对于元素aAAA,,,?1214 7777aA,了次;若,则中有一个含有a,于是a被计算了CC,CC,AAA,,,?121414121413次,于是 7777741(56)()()CACCACC,,,,, 1414121413 7777,,,,56()()CCACC 14121312 7777,,,,56()8()CCCC, 14121312 196195,由此可得,矛盾( n,41其次证明( X,1,2,,56?n,40用反证法(假定,设,令 ,, Aiiiiiiiii,,,,,,,,,,7,14,21,28,35,42,49,1,2,,7?, ,,i Bjjjjjjjj,,,,,,,,,8,16,24,32,40,48,1,2,,8?( ,,j AiAAij,,,,,,8(1,2,,7),0(17)?:Bj,,7(1,2,,8)?显然,,,iijj BBij:,,,,0(18)ABij:,,,,,1(17,18),,于是,对其中任何3个ijij B子集,必有2个同时为,或者同时为,其交为空集( Aji 对其中任何7个子集,有 AAABBBst,,,,,,,(7)??,,iiijjj1212st AAABBB::?::::?: iiijjj1212st ,,,,,,,,,AAABBBst?? iiijjj1212st ,,,,,,,,8787(7)(7)ststssss 2, ,,,,(3)4040s n,41任何3个子集的交为空集,所以( 综上所述,n的最小值为41(
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