机械振动
第9章 机械振动
?9-1 简谐运动(2课时)
?9-2 简谐运动的振幅、周期(频率)与相位(1课时) ?9-3 旋转矢量(1课时)
?9-4 单摆与复摆(1课时)
?9-5 简谐运动的能量(1课时)
?9-6 简谐运动的合成(1课时)
?9-7 阻尼振动、受迫振动、共振(1课时)
1.要牢固掌握简谐振动的规律,深刻理解振幅.圆频率.相位和相位差等概念,并能熟练地
进行有关计算。
2.了解简谐振动的几种几何描述。
3.简谐振动的合成应讲授同方向的及互相垂直的两个振动的合成,注意对拍现象及李萨茹图形的讨论。
4.振动和受迫振动以定性讨论为主,对共振现象应作介绍。
1.简谐振动的规律。
2.相位和相位差的概念。
P338 123
P339 46
P340 891213141516
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第9章 机械振动
引言:
1. 什么是振动(Vibration)
振动是自然界和工程技术领域常见的一种运动,广泛存在于机械运动、电磁运动、热运
动、原子运动等运动形式之中。从狭义上说,通常把具有时间周期性的运动称为振动。如钟
摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动。广义地说,任何一个物理量在
某一数值附近作周期性的变化,都称为振动。变化的物理量称为振动量,它可以是力学量,
电学量或其它物理量。例如:交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等。
2. 什么是机械振动(Mechanical Vibration)
机械振动是最直观的振动,它是物体在一定位置附近的来回往复的运动,如活塞的运动,
钟摆的摆动等都是机械振动。
3.研究机械振动的意义
, 不同类型的振动虽然有本质的区别,但是仅就振动过程而言,振动量随时间的变化关
系,往往遵循相同的数学规律,从而使得不同本质的振动具有相同的描述方法。
, 振动是自然界及人类生产实践中经常发生的一种普遍运动形式,研究机械振动的规律
也是学习和研究其它形式的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。
4.机械振动的特点
(1)有平衡点。
(2)且具有重复性,即具有周期性。
5.机械振动的分类
(1)按振动规律分:简谐、非简谐、随机振动。
(2)按产生振动原因分: 自由、受迫、自激、参变振动。
(3)按自由度分: 单自由度系统、多自由度系统振动。
(4)按振动位移分:角振动、线振动。
(5)按系统参数特征分:线性、非线性振动。
简谐振动是最基本的振动,存在于许多物理现象中。本章主要研究简谐振动的规律,也
简单介绍阻尼振动、受迫振动、共振等。
本章内容有:
109
第9章 机械振动
?91
Simple Harmonic Vibration
在一切振动中,最简单和最基本的振动称为简谐运动,其运动量按正弦函数或余弦函数
的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。本节以弹簧振子为
例讨论简谐运动的特征及其运动规律。
1.弹簧振子:
轻质弹簧(质量不计)一端固定,另一端系一质量为
m的物体,置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略
不计。设在O点弹簧没有形变,此处物体所受的合力为
零,称O点为平衡位置。系统一经触发,就绕平衡位置
作来回往复的周期性运动。这样的运动系统叫做弹簧振 子(harmonic Oscillator),它是一个理想化的模型。 2.弹簧振子运动的定性分析:
考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力:
B?O:弹性力向左,加速度向左,加速,O点,加速度为零,速度最大;
O?C:弹性力向右,加速度向右,减速,C点,加速度最大,速度为零;
C?O:弹性力向右,加速度向右,加速,O点,加速度为零,速度最大;
O?B:弹性力向左,加速度向左,减速,B点,加速度最大,速度为零。
物体在B、C之间来回往复运动。
结论:物体作简谐运动的条件:
, 物体的惯性 ——阻止系统停留在平衡位置
, 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
1.线性回复力
分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O点为坐标原点,水平向右为X轴的正方向。由
胡克定律可知,物体m (可视为质点)在坐标为x (即相对于O点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为
f=-kx
式中的比例系数k为弹簧的劲度系数(Stiffness),它
反映弹簧的固有性质,负号表示力的方向与位移的方
向相反,它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远,
力越大;在平衡位置力为零,物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复
力。
2.动力学方程及其解
根据牛顿第二定律,
f=ma
可得物体的加速度为
fka,,,x mm
对于给定的弹簧振子,m和k均为正值常量,令
110
第9章 机械振动
k2 ,=m
2则上式可以改写为 a,,,x
2dx2,,,x即 2dt
2dx2+,x=0或 2dt
这就是简谐运动的微分方程。
1.简谐振动的表达式(运动学方程)
简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式,即
x,Acos(, t,,)
这就是简谐运动的运动学方程,式中A和是积分常数。 ,说明:
1)简谐运动不仅是周期性的,而且是有界的,只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才
具有这种性质,这里我们采用余弦函数。
i, 2)考虑三角函数与复数的关系,e,cos,,isin,
i(, t,,)则。用复数表示简谐运动,其优点是运算比x,Ae
较简单。
2.简谐振动物体的速度和加速度
将简谐运动的运动学方程分别对时间求一阶和二阶
导数,可得简谐运动的速度和加速度为
dx,,,v,,,Asin( t,)dt 2dx 2a,,,,Acos(, t,,)2dt
说明:
物体在简谐运动时,其位移、速度、加速度都是周期性变化的。
x a2a A
AAxTot-A- A- 2A> 0< 0 > 0 < 0a < 0 < 0 > 0> 0
1.从受力角度来看——动力学特征
合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比,方向与位移的方向相反,并且总是指
向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。
2.从加速度角度来看——运动学特征
2加速度a,,,x与物体相对于平衡位置的位移成正比,方向与位移的方向相反,并且总
是指向平衡位置的。
3.从位移角度来看:
111
第9章 机械振动
是时间的周期性函数。 位移x,Acos(, t,,)
说明:
1)要证明一个物体是否作简谐运动,只要证明上面三个式子中的一个即可,且由其中的一个
可以推出另外两个;
2)要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析,得到物体所受的合外力满足
回复力的关系。
例题:一个轻质弹簧竖直悬挂,下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开,证明物体将作简谐运动。
证明:取物体平衡位置为坐标原点,竖直向下为x轴的正方向,如图所示。物体在平衡位置时所受的合力为零,即
mg-kl=0 (1)
其中mg为物体的重力,l为物体平衡时弹簧的伸长量。 在任一位置x处,物体所受的合力为
F=mg-k(x+l) (2)
比较(1)、(2)可得
F=-kx (3)
可见物体所受的合外力与位移成正比,而方向相反,所以该物体将作简谐运动。
112
第9章 机械振动
?92
Amplitude , Period and FrequencyPhase of Simple harmonic Vibration
现在我们讨论简谐振动运动学方程x=Acos(ωt+φ)中的A、ω、ωt+φ、φ的物理意义。它们分别是描述谐振动的特征量:振幅、频率和周期、相位和初相。
振幅、周期和相位等都是描述简谐运动的特征物理量。
A(Amplitude)—
引入:在简谐运动的表达式中,因为余弦或正弦函数的绝对值不能大于1,所以物体的振
动范围为+A与-A之间。
定义:作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
说明:(1)A恒为正值,单位为米(m);
(2)振幅的大小与振动系统的能量有关,由系统的初始条件确定。
T(Period)(Frequency) —
1.周期Period——最小正周期
定义:物体作一次完全振动所需的时间,用T表示,单位为秒(s)。
x,Acos(, t,,),Acos[,( t,T),,]
考虑到余弦函数的周期性,有 ,T=2,
2,因而有 T,,
2.频率Frequency
定义:单位时间内物体所作的完全振动的次数,用ν表示,单位为赫兹(Hz)。
1, ,=,T2,
3.圆频率Angular Frequency
-1-1定义:物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数,用ω表示,单位为弧度/秒(rad. s或s)。
2, ,,2,,, T
说明:
1)简谐运动的基本特性是它的周期性;
2)周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定,故称之为固有周期、固有频率或固
有圆频率。
k1km,,,2,3)对于弹簧振子,,,。 =,Tm2,mk
4)简谐运动的表达式可以表示为
2,x,Acos(, t,,),Acos( t,,),Acos(2,, t,,) T
(Phase)—
1.相位
质点在某一时刻的运动状态可以用该时刻的位置和速度来描述。对于作简谐运动的物体
x,Acos(, t,,)v,,,Asin(,t,,)来说,位置和速度分别为和,当振幅A和圆频率ω给定
113
第9章 机械振动
,,,,来确定。即是确定简谐运动状态的物时,物体在t时刻的位置和速度完全由, t,,, t,,理量,称之为相位。
相位(ωt+φ)是决定谐振子运动状态的重要物理量ωt+φ,和A,ω一起决定t时刻物体
运动状态,即位移x,速度v,和加速度a.
在一次全振动中,谐振子有不同的运动状态,分别与0~2, 内的一个相位值对应。例如:
t x v ,t+,
0 A 0 ,
T/4 , , A , ,,,
T/2 ,A , ,
T A 0 2,
2.初相位
在t=0时,相位为φ,称为初相位,简称初相,它是决定初始时刻物体运动状态的物理量。
对于一个简谐运动来说,开始计时的时刻不同,初始状态就不同,与之对应的初相位就不同,
即初相位与时间零点的选择有关。
3.相位差:
定义:两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。
对于同频率简谐运动、同时刻的相位差
x,Acos(, t,,)111 x,Acos(, t,,)222
,,=(, t,,),(, t,,),,,,相位差 2121
即两个同频率的简谐运动在任意时刻的相位差是恒定的。且始终等于它们的初始相位差。
说明:
,,,01) 质点2的振动超前质点1的振动
,,,0 质点2的振动落后质点1的振动
2),,,,2k,,k,0,1,2,...., 同相(步调相同)
,,,,(2k,1),,k,0,1,2,...., 反相(步调相反) 小结:对于一个简谐运动,若振幅、周期和初相位已知,就可以写出完整的运动方程,即掌
握了该运动的全部信息,因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐运动的三个特征量。
Aφ
x,Acos(, t,,)简谐运动运动学方程为
其中圆频率是由系统本身的性质确定的,积分常数A和φ是求解简谐运动的微分方程是引入的,其值有初始条件(即在t=0时物体的位移与速度)来确定。将t=0代入位移和速度的公式,即得物体在初始时刻的位移x和初速度v:00
x,Acos, v,,A,sin, 00
由此可解得
2vv,,200,A=x, tg,, ,,0,,x,,0
说明:
114
第9章 机械振动 1)一般来说φ的取值在-π和π(或0和2π)之间; 2)在应用上面的式子求φ时,一般来说有两个值,还要有初始条件来判断应该取哪个值;
2x,Acos,v,2,,00A=x求A,然后由两者的共同部分求φ。 3)常用方法:由,0,,,,vA,sin,,,,,0,
例1:一弹簧振子系统,弹簧的劲度系数为k=0.72N/m,物体的质量为m=20g。今将物体从平
衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放。求振动方程。 解:要确定弹簧振子系统的振动方程,只要确定A、ω和φ即可。
由题可知,k=0.72N/m,m=20g=0.02kg,x=0.04m,v=0, 00
代入公式可得
k0.72,1,=,,6rad,s m0.02
22v0220 Ax,,,0.04,,0.04m0226,
又因为x为正,初速度v=0,可得 ,,000
因而简谐运动的方程为:
x,0.04cos(6t) (m)
例2.已知某质点作简谐运动,振动曲线如图所示,试根据图中数据写出振动表达式。
解:设振动表达式为
x,Acos(, t,,)
由图可见:,当时,有 A,2mt,0
(1) x2cos20
v2sin0 (2) 0
,,由(1)可得,由(2)可知sin,,0,所以只能取。 ,,,,,,44
x2cos0当t=1s时, (3) 14
v2sin0 (4) 14
,,,,3,,sin,,0,由(3)可得,由(4),取,因而可得 ,,,,,,,,442424,,
3x2cos( t) (m)所以振动方程为 44
115
第9章 机械振动
?93
Rotary Vector
引言:前面介绍了用数学表达式及曲线表示简谐运动中位移和时间的关系。本节将介绍用旋
转矢量表示位移和时间的关系。
引入旋转矢量的优点:
1)形象地了解简谐运动的各个物理量;
2)为简谐运动的合成提供了最简捷的研究方法。
,
A一长度为A的矢量在XOY平面内绕O点沿逆时针方向旋转,其角速度为ω,在t=0时,矢量与X轴的夹角为φ;这样的,
A矢量称为旋转矢量。在任意时刻,矢量与X轴的夹角为,, t,,,
A的矢端M在轴上的投影为。 x,Acos(, t,,)
即:旋转矢量本身并不作简谐运动,而是旋转矢量的矢端在
X轴上的投影点在作简谐运动。
在旋转矢量的转动过程中,矢端作匀速圆周运动,
此圆称为参考圆。
二、
简谐振动的方程x=Acos(ωt+φ), 根据几何学原理
可以把它看作一旋转着的矢量A在x轴上的投影。振幅
矢量转动一周,相当于振动一个周期。
当一矢量A绕其一端点o以角速度 , 旋转时,另一端点在x轴或y轴上的投影点上将作简谐振动。 设t=0时,A与x轴夹角为, ,t时刻,A 转过, t角,则矢量端点在x轴上投影点坐标为x =Acos(ωt+φ)。
显然投影点作简谐振动的振幅、圆频率、初相与A矢量大小、旋转角速度、初始A与x
轴夹角一一对应。当然,投影点的速度和加速度也与简谐振动的速度和加速度相对应。
A ?? 振幅
, ?? 圆频率
φ ?? 初相位
, t,, ?? 相位
三、
1.作振动图(演示):
用旋转矢量A来表示简谐振动形象直观,一目了然,在以后
分析两个以上谐振动合成时十分有用和方便。
116
第9章 机械振动
旋转矢量图及简诣运动的x-t图
2.求初相位:
如图,质点在x=A/2处向右运动,,=,,/3
质点在x=A/2处向左运动, ,=,/3
质点在x=-A/2处向右运动,,=,2,/3
质点在x=-A/2处向左运动, ,=2,/3
3.可以用来求速度和加速度:
2a,,A矢端M的速度与加速度大小为v,,A、,在X轴上的投影MM
为
-v,vsin(, t,,),,,Asin(, t,,)M 2a,,acos(, t,,),,,Acos(, t,,) M
4.振动的合成(第6节内容)
例:一个质点沿x轴作简谐运动,振幅A=0.06m,周期T=2s,初始时刻质点位于x=0.03m0
处且向x轴正方向运动。求:(1)初相位;(2)在x=-0.03m处且向向x轴负方向运动时物体
的速度和加速度以及质点从这一位置回到平衡位置所需要的最短时间。
解:(1)取平衡位置为坐标原点,质点的运动方程可写为
,,x,Acos,t,,
2,2,,1依题意,有A=0.06m,T=2s,则,,,,, rad,s T2
x,Acos,,0.06cos,,0.03m在t=0时, 0
v,,A,sin,,0 0
,因而解得 ,,, 3
故振动方程为
,,,xt,0.06cos,, (SI) ,,3,,
,用旋转矢量法,则初相位在第四象限,故,,,。 3
,,,x,0.06cost,,,0.03m,t,t(2)时, ,,1113,,
,,,2,,t,,,t,,且为第二象限角,故 ,,11333,,
117
第9章 机械振动
=1s,因而速度和加速度为 得 t1
,dx,,,1v,,,0.06sint,,,0.16m,s ,,,,1dt3,1,,ts
2,dx,,2,2 a,,,0.06,cos,t,,0.30m,s,,123dt,,,1ts
x从x=-0.03m处且向向轴负方向运动到平衡位置,意味着旋转矢
量从M点转到M点,因而所需要的最短时间满足 12
325 ,,t,,,,,,236
5,56故 ,t,,,0.83s 6,
可见用旋转矢量方法求解是比较简单的。
118
第9章 机械振动
4
Simple Pendulum and Compound Pendulum
引言:实际发生的振动问题并不象弹簧振子那么简单,大多数比较复杂;例如1)回复力不
一定是弹性力,而是重力,浮力等其它性质的力; 2)合外力可能是非线性力,只有在一定的条件下,才能近似当作线性回复力。此时研究问题
的方法一般为:根据问题的性质,突出主要因素,建立合理的物理模型,使计算简化。下面
讨论两个实际振动问题的近似处理。
——Mathematical Pendulum 1.概念:单摆是一个理想化的振动系统:它是由一根无弹性的轻绳挂
一个质点构成的。若把质点从平衡位置略为移开,那么质点就在重力的
作用下,在竖直平面内来回摆动。
摆锤——重物
摆线——细绳
平衡位置——O点
2.动力学方程
讨论摆锤所受的力,有重力mg,绳的拉力T,合力即为摆锤所受的
回复力为:F,,mgsin,
0当θ很小时(θ<5),sinθ?θ
因而 F=-mgθ与角位移成正比
又因为摆锤沿圆弧运动,,近似在水平方向上运动。 x,l,,,=x/l
xmg因而 F,,mg,,xll
故单摆作简谐运动,mg/l相当于弹簧振子的k
kg2因而单摆的圆频率为 ,,, ml3.运动学方程和周期
,,x,xcos,t,,单摆的振动方程为 0
振幅x和初相位由初始条件确定。 ,0
m=2,由简谐运动的周期公式 Tk
l得单摆的周期为 =2,Tg4.说明:
1)单摆的合外力与弹性力类似,但本质不同,称为准弹性力; 2)单摆的周期与单摆的质量无关;
3)若单摆的振幅不是很小时,周期的一般表达式为
2,,,,l11324mm,, =,+T21sin,sin,?222,,g22224,,
式中θm为最大摆角,并且含有θm的各项逐渐减小;
0 当θm<15时,实际周期与理想周期的误差不超过0.5%。
119
第9章 机械振动 4)单摆可以当作计时器;
5)单摆提供了一种测量重力加速度的简便装置,只要测出周期T,则
2T,g 24,l
5.单摆的频率
2,g11g,,, =,=TlT2,l
——Physical Pendulum
m1.概念:质量为的任意形状物体,被支持在无摩擦的与纸面垂直的水平轴O上,将它拉
开一个微小的角度θ后释放。如忽略阻力与摩擦力,则物体将绕轴O作微小的自由摆动——
复摆。
2.运动方程
重力矩: M=-mglsinθ?-mglθ
0当θ很小时(θ<5),sinθ?θ
根据转动定律,可得
2d,-==mgl,J,J 2dt
2dmgl,+,=0故 2 Jdt
mgl2令 ,,J
2,d2+,,=0则 2dt
所以复摆也是作简谐运动。
3.周期与频率
Jmgl, =2,T,Jmgl
4.应用
1)测重力加速度:要求已知J,l,测T?g 2)测转动惯量:如果测出摆的质量,重心到转轴的距离以及单摆的周期,就可以得此物体系
统绕该轴转动得转动惯量。有些形状复杂得物体得转动惯量,用数学方法进行计算比较困难,
有时甚至是不可能得,但用振动方法可以测定(要求已知g,l,测T?J)。
120
第9章 机械振动
5
Energy of Simple Harmonic Vibration
引言:作简谐运动的系统,因物体有速度而具有动能,因弹簧发生形变而具有势能,动
能和势能之和就是其能量。
1.能量表达式
(1)推导
以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x,速度为v,则
,, x,Acos,t,,
,, v,,A,sin,t,,
112222则系统动能为:,, E,mv,mA,sin,t,,k22
11222 系统势能为:,, E,kx=kAcos,t,,p22
因而系统的总能量为
1122222,,,, E=E+E,mA,sin,t,,+kAcos,t,,kp22
k2考虑到,则 ,=m
11222 E=mA,=kA22
(2)结论
弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。 (3)解释
由于系统不受外力作用,并且内力为保守力,故在
简谐运动的过程中,动能与势能相互转化,总能量保持
不变。
(4)说明
21)E?A,对任何简谐运动皆成立;
2)动能与势能都随时间作周期性变化,变化频率是位移
与速度变化频率的两倍,而总能量保持不变;且总能量
与位移无关。
动能E=E-E kp
2.能量曲线
注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。
定义:一个随时间变化的物理量f(t),在时间T内的平均值定义为
T1 ,,f,ftdt,T0
因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为
T1111222222 ,, ,,,,,,,,EmAsintdtmAkAk,T2440
121
第9章 机械振动
因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为
T111122222 ,,E=kA,t,,t,kA,mA,cosdp,T2440
结论:简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等,它们都等于总能量的一半。
1.应用1——记忆振幅公式 222由能量守恒关系可得:k A/2= mv/2+ kx/2 00
解之即得:
2v2,,0A=x ,0,,,,,
2.应用2——推导简谐运动相关方程
在忽略阻力的条件下,作简谐运动的系统只有动能和势能(弹性势能和重力势能),且二
者之和保持不变,因而有
d,, E,E,0kpdt
将具体问题中的动能与势能表达式代入上式,经过简化后,即可得到简谐运动的微分方
程及振动周期和频率。这种方法在工程实际中有着广泛的应用。
此方法对于研究非机械振动非常方便。 例1.用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。 解:弹簧振子在振动过程中,机械能守恒,即
111222 mv,kx,kA,C222
两边对时间求导,得
1dv1dx m,2v,k,2x,0 2dt2dt
即
2dxm,v,k,xv,0 2dt
2dxk,x,0 2mdt
k2令,则 ,=m
2dx2,,x,0 2dt
其解为
,,,x,Acos,t,,
代入守恒方程可得
A=A’
例2.劲度系数为k、原长为l、质量为m的匀质弹簧,一端固定,另一端系一质量为M的物
体,在光滑的水平面上作直线运动,求其运动方程。
122
第9章 机械振动 解:取物体受力平衡位置O为坐标原点,向右为x轴正方向,如图所示,设m