反余弦函数、反正切函数

反余弦函数、反正切函数 课题6.4:(2)反余弦函数、反正切函数 教学目标 1(理解反余弦函数y=arccosx，反正切函数y=arctanx的概念，掌握反余弦函数的定义 ,,域是[-1，1]，值域是[0，π];反正切函数的定义域是(-?，?)，值域是(-，). 22 2(知道反余弦函数y=arccosx ，x?[-1，1]和反正切函数y= arctanx，x?(-?，?)的图像. 3(掌握等式cos(arccosx)=x，x?[-1，1]，arccos(-x)=π-arccosx，x?[-1，1]和tan(arctanx)=x，x?(-?，?)，arctan(-x)=- arctanx，x?(-?，?). 4(能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角. 教学重点及难点 教学重点:理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质. 教学难点:arccos(-x)=π-arccosx、arctan(-x)=-arctanx的证明及其使用. 教学过程 一、 情景引入 1(复习 ,, 我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x?R，不存在反函数;但在[],,22存在反函数. 2(思考 那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢, yy [说明] 因为对于任一余弦值和正切值都有无数个角值与之对应.余弦函数和正切x 函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3(讨论 y,cosx 余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得或y=tanx在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区 y,cosx间，使得或y=tanx存在反函数呢, 这个区间的选择依据两个原则: y,cosx(1)和y=tanx在所取对应区间上存在反函数; y,cosx,,,1,1(2)能取到的一切函数值，y=tanx一切函数值R. ,y,cosx可以选取闭区间[0，π]，使得在该区间上存在反函数;可以选取闭区间(-，2,)，使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反2 正切函数. 二、学习新课 1(概念讲解 (1)反余弦函数和反正切函数的定义: 余弦函数y=cosx， x?[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x?[-1，1]; ,,正切函数y=tanx， x?(-，)的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x?(-22 ?，?); 1 (2)反正弦函数的性质: ?图像 y=arccosx y= arctanx ?定义域:函数y=arccosx的定义域是[-1，1];函数y= arctanx的定义域是R. ,, ?值域:函数y=arccosx的值域是[0，π];函数y= arctanx的值域是(-，). 22 ?奇偶性:函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos(-x)=π-arccosx，x?[-1，1];函数y= arctanx是奇函数，即arctan(-x)=-arctanx. ?单调性:函数y=arccosx是减函数;函数y= arctanx是增函数. 2(例题分析 例1(求下列反三角函数的值: 331(1)arccos;(2)arccos(-);(3)arccos0;(4)arctan1;(5)arctan(-) 232 ,,,11解:(1)因为cos=，且?[0，π]，所以arccos=. 22333 335,5,5, (2)因为cos=-，且?[0，π]，所以arccos(-)=. 22666 ,,, (3)因为cos=0，且?[0，π]，所以arccos0=. 222 ,,,,, (4)因为tan=1，且?(-，)，所以arctan1=. 44224 33,,,,, (5)因为tan(-)=-，且-?(-，)，所以arctan(-)=-. 3366226 例2(在?ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示?A、?B、?C. 222解:因为AC=AB+BC，所以?B是直角，于是有 51212,?A= arcsin= arccos=arctan; ?B== arcsin1= arccos0; 131352 1255?C= arcsin= arccos=arctan. 131312 例3(化简下列各式: 1,(1)arccos(cos);(2)sin[arccos];(3)cos[arctan(-1)] (,)72 ,,,,,解:(1)因为?[0，π]，设cos=α，所以arccosα=，即arccos(cos)=. 77777 113,,22(2)因为arccos=，所以sin[arccos]=sin=. (,)(,)23322 2,,(3)因为arctan(-1)=-，所以cos[arctan(-1)]= cos(-)=. 244 2 -1例4(求下列函数的反函数f(x)，并指出反函数的定义域和值域. ,x(1) f(x)=+arccos;(2)f(x)=3π-arctan(2x-1) 22 ,,xxxx解:(1)设y=+arccos，则arccos= y-，因为?[-1，1]，arccos?[0，π]，222222 ,3,,x所以x?[-2，2]，y?[，]，根据反余弦函数的定义，得=cos(y-)，即x=2cos2222 ,,,3,-1(y-).将x，y互换，得反函数f(x)=2cos(x-)，定义域是[，]，值域是2222[-2，2]. (2)设y=3π-arctan(2x-1)，即arctan(2x-1)=3π-y，因为(2x-1)?R ，arctan ,,5,,7(2x-1)?(-，)，所以x?R，y?(，)，根据反正切函数的定义，得2x-1=tan2222 11-1(3π-y)=-tany，即x=(1-tany)，将x，y互换，得反函数f(x)=(1-tanx)，22 5,,7定义域是(，)，值域是R. 22 3(问题拓展 例5(证明等式:arccos(-x)=π-arccosx，x?[-1，1] 证明:?x?[-1，1]，? -x?[-1，1] ?cos[arccos(-x)]= -x，cos(π-arccosx)=-cos(arccosx)=-x 又因为arccosx?[0，π]，所以(π-arccosx)?[0，π]，又arccos(-x)?[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccos(-x)=π-arccosx，x?[-1，1]. 例6(证明等式:arctan(-x)=-arctanx，x,R. 证明:因为tan arctan(-x)=-x，tan(-arctanx)=-tan arctanx， ,,,,,又由arctanx,(-，)，得-arctanx,(-，)，再有arctan(-x),(-，22222,,,)，且正切函数在(-，)上单调递增，所以arctan(-x)=-arctanx，x,R. 222 三、巩固练习 判断下列各式是否成立?简述理由. 3,,,13(1)cos(arccos)=;(2)arctan=;(3)arcsin(-)= arcos(-);22223 ,,22(4)arccos+ arccos(-)=0;(5)arctan+ arc tan(-)=0. 3333 ,,解:(1)式不成立，因为,[-1，1]，故arccos无意义;(2)式不成立，因为其22 对应关系搞错了;(3)式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上 3,,12arcsin(-)=-，而arcos(-)=，两者不等;(4)式不成立，因为把等式arccos2233 (-x)=π-arccosx错记成arccos(-x)=-arccosx;(5)式成立，因为等式arctan(-x)=-arctanx. 四、作业布置 练习册P44 习题6.4(A组)5, 习题6.4(B组)1、2。 3