一道高考题的两个简单证明(数学通讯上半月_2009_05）

来稿日期:2008年9月23日;适合栏目:思路技巧;适合年级:高二、三;E,mail:jmb8680555@tom.com 一道高考的两个简单证明 蒋明斌 (四川省蓬安中学 637851) 2008年高考数学江西理科卷压轴题为: 11ax已知函数( fxx()(0),，，,，,，，ax，811，，xa fx()a,8? 当时，求的单调区间; 1()2,,fx? 对任意正数，证明:( a 第?题较易，下面讨论其中第?题。 8abc,,,0,0,0abc,8abc,8若令，则， ?可化为:设，，求证 cxb,,,ac 111 (1) 12,，，, 111，，，abc 不等式(1)的证明有一定的难度，据说江西考生无一证出。命题人给出的证明虽证明简单却不易想 到，下面笔者给出两个简单的证明。 证1:减元法(或降维法)-----思路最自然的证明。 abc,,abc,80402,,,,,ab,不妨设，令，由有。 ab,, 11先求出()的值域， 因为 A,，abab,,,,,,,0,0,2 11，，ab 2112211，，，，，abab,,2 A,，,,,(1)(1)，，ab11，，ab,, 22uab,，，,，121,,uabababab,，，,，，，,，，，1111,令，显然，所以 221212，,，uu,22 A,,,，，(1)1,22uuu 1112222,又令，则，，，,,,,,AFttt,,,，，()(1)21,Ftt()2[(1)1],,,，0ttt, 0,,，，1u1 11,,,F(0)10,,Ft()0,Ft(),,2由，有，又，因此，对，有，所以在,,,,,,0tF()20,，，11, 1 4211上是增函数， ，即。 ,,,,,1()1()GtFx,,,(0,]GGtG(0)()(),，,，,1，11,，1 112故当，有 (2) abab,,,0,0,21,，, 11，，ab1，ab 11111应用(2)式左边的不等式有，即(1)左边的不等式，，,，,1 11111，，，，，abcab 成立。 11121应用(2)式右边的不等式有， ，，,， 11118/，，，，abcab1，ab 21要证(1)右边的不等式，只需证 (3) ，,2 18/，ab1，ab 221，,abv1，,abv令，，，，则(5)等价于 13,,vabv,,1，， 2222112(1)vvv,,,2 ，,,,,，,,，2(1)218vvv，，22vv22vv,，,，1818，，，， 222432，，,，,,，,,,，,vvvvvv(1)418329180 ,,，，,,，， 222 ,,，,,,2(1)(3)(6)0vvvv 由知后一不等式显然成立，所以(3)成立，即(1)右边的不等式成立。 13,,v 证2:反证法-----最简单的证明。 111111令，则 uvw,,,,,,,,,,,,aba1,1,1222uvw111，，，abc 111,,,,,,,,,,1118 (4) ,,,,,,222uvw,,,,,, abc,,abc,8假设存在正数满足使(1)左边的不等式不成立，即存在正数满足(4)但uvw,, 0,,1,,uvw110,110,110，,,,，,,,，,,,uuvvwwuvw，，,1，显然，，则 2221(1)(1)(1)()(2)4,，,，uuuvwvwvw,,,,,,1 222222uuuuuu 111444vwwuuv1414wuuv,,,,,,同理，有，所以，,,,,,11164。这与(4)矛,,,,,,,,,2222222222uvwuvwvvww,,,,,, 盾，因此(1)左边的不等式成立。 2 abc,,abc,8假设存在正数满足使(1)右边的不等式不成立，即存在正数满足(4)但uvw,, 1(1)(1)2(1),，,uuu0,,1,,uvw12,12,12，,，,，,uvwuvw，，,2，显然，，则 01,,,,222uuu 12(1)12(1),,uu同理，有 01,01,,,,,,2222uuuu 1112(1)2(1)2(1)8(1)(1)(1),,,,,,uvwuvw,,,,,,所以 ,,,,,111,,,,,,222222222uvwuvwuvw,,,,,, 0,,1,,uvw011(1)(1),,,，,,,,,,uvwvwvwvwuvw，，,2注意到及，那么，即 201,01,,,,,,vwuwuv01,,,uvw，同理可得，，三式相乘得， (1)(1)(1)(),,,,uvwuvw1118(1)(1)(1),,,uvw,,,,,,故,,,,,1118这与(4)矛盾，因此(1)右边的不等式成立。 ,,,,,,222222uvwuvw,,,,,, 3