数学分析是师院数学专业的主修必修课程

设有界闭区域为 R 251 {(,)|,()()}xyaxbxyx,,,,,,， 12 C fxy(,)xab,[,]在上连续，且对任意，定积分R ,()x2存在，则有 fxyy(,)d,,()x1 54 bx,()2． fxyxyxfxyy(,)ddd(,)d,,,,,ax,()1R 类似地，Rxycydxyx,,,,,{(,)|,()()},,12 有 dx,()2． fxyxyyfxyy(,)ddd(,)d,,,,,cx,()1R 二重积分的极坐标替设有界闭区域可用极坐标表示成为 R 252 换 {(,)|,()()}rrrr,,,,,,,,,,， 12 在上可积，令，则fxy(,)xryr,,cos,sin,,R C 有： ，且 ddrd,,,r ． fxyxyfrrr(,)dd(cos,sin)drd,,,,,,,,RR ?17.2 二重积分 三重积分的定义 253 设函数fxyz(,,)在有界闭体上有定义，用分法TV VVV,,,n将分成个小体，设它们的体积分别V12n 是,,,VVV,,,(,,),,,V，在上取一点，12nkkkk nfV(,,),,,,kn,1,2,,作和式．如果不,kkkk,1k 论分法(,,),,,及点的取法如何，当TkkkC 时，上述和式存在TVV,,max{d(),,d()}01n 极限fxyz(,,)，则称在上可积，称为IIV fxyz(,,)在上的三重积分，表成 V ． Ifxyvfxyzxyz,(,)d=(,,)ddd,,,,,,VV 三重积分的计算 设有界闭体可表为： V 254 {(,,)|,()(),(,)(,)}xyzaxbxyxxyzxy,,,,,,,,,,1212C fxyz(,,)，且在上可积，则有 R 55 bxxy,,()(,)21fxyzvxyfxyzz(,,)d=dd(,,)d． ,,,,,,axxy,,()(,)11V 三重积分的柱面坐标 255 设在有界闭体上可积，令 fxyz(,,)V替换 令，则：，xryrzz,,,cos,sin,,,ddrddVrz,, C 且 ． fxyzxyzfrrzrrz(,,)ddd=(cos,sin,)ddd,,,,,,,,,VV 三重积分球面坐标替 256 设在有界闭体上可积，令 fxyz(,,)V换 令，则： xryrzr,,,sincos,sinsin,cos,,,,, 2dsindrddVr,,,,，且 C fxyzxyz(,,)ddd,,,V 2． =(sincos,sinsin,cos)sindddfrrrrr,,,,,,,,,,,V ?17.3 重积分的应用 曲面面积 257 设曲面：zfxy,(,)，(,)xyD,是光滑曲面，即S fxy(,)在上有连续偏导数，则的面积为： DSC 22,,． Afxyfxyxy,，，1(,)(,)ddxy,,D 立体体积 设空间立体表为： V 258 {(,,)|,()(),(,)(,)}xyzaxbxyxxyzxy,,,,,,,,,,1212 则．其Vxyxyxyxyz,,[(,)(,)]dd=ddd,,C 21,,,,,DV 中 Dxyaxbxyx,,,,,{(,)|,()()},,． 12 质量与重心 259 设空间立体,(,,)xyz的密度为，则的质量为： VV ． Mxyzxyz,,(,,)dddB ,,,V 的重心坐标为： V 56 1(,,)dddxxxyzxyz,,，,,,MV 1(,,)dddyyxyzxyz,,， ,,,MV 1(,,)dddzzxyzxyz,,． ,,,MV （平面薄板的质量，重心可以用二重积分计算） 第十八章 曲线积分与曲面积分 ?18.1 曲线积分 第一型曲线积分的概 260 设有一条平面可求长曲线： CAB(,)念 xt,,()，yt,,()，t,[,],,．端点，对应AB 于参数t,,,,，函数fxy(,)在上有定义，在上CC 依次取AAAAB,,,,,n个点．将分成n，1C01n AAAAAA,,,AA个小弧段：，设之长为01121nn,kk,1 PAA(,),,,,S，取作和kkkkk,1kC nPfS(,),,,．如果不论分法及点的取法T,kkkk,1k 如何，当,()max{,,,}0TSSS,,,,,时，上12n 述和式存在极限fxy(,)，则称是沿曲线的第IIC 一型曲线积分，记成 Ifxys,(,)d,C 基本性质 1. 261 Ifsfs,,dd； ,,CABCBA(,)(,) 2. ； kfkfskfskfs，,，ddd11221122,,,CCC B 3. fsfsfsddd,，， ,,,CABCAFCFB(,)(,)(,) 其中CABCAFCFB(,)(,)(,),． 57 第一型曲线积分的计 262 设 ：为光滑曲CAB(,)xtytt,,,,,,,,(),(),算公式 线，在上连续，则有fxy(,)CAB(,) ,22,,．fxysfttttt(,)d[(),()]()()d,，,,,,,,C C, 特别地，，时： ,()()tyx,tx, b2． fxysfxyxyxx(,)d[,()]1()d,，,,Ca 第二型曲线积分的概 263 设有一条平面有向曲线：函数在CAB(,)fxy(,)念 AAAAAA,,,n分成个小弧段：，CAB(,)01121nn, (,)AAAB,,AAx设的弦在轴，轴yAA0nkk,1kk,1 上的投影分别是PAA(,),,,,x,y，，取，kkkkk,1kk 作和式 nnSfSSfy,,,,(,),(,),,,,．如果,,xkkkykkk,,11 不论分法P及点的取法如何，当TkC ,()max{,,,}0TSSS,,,,,S时，存在极12nx 限SJJJx，存在极限，则称为fxy(,)关于沿yyxx 曲线JCAB(,)fxy(,)的第二型曲线积分，为关于y 沿曲线CAB(,)的第二型曲线积分，表成 y JfxyxJfxyy,,(,)d,(,)d. xy,,(,)(,)CABCAB 第二型曲线积分性质 264 fxyxfxyx(,)d(,)d,,； 1. ,,CABCBA(,)(,)（以J为例） x2. kfkfxkfxkfx，,，ddd； 11221122,,,(,)(,)(,)CABCABCABB 3. fxyxfxfx(,)ddd,，． ,,,CABCAFCFB(,)(,)(,) 第二型曲线积分的计 265 设函数fxy(,)CAB(,)在有向光滑曲线：算公式 xtytt,,,,,,,,(),(),上连续，则有： C ,,，,fxyxftttt(,)d[(),()]()d,,,,,,CAB(,) 58 ,,． fxyxftttt(,)d[(),()]()d,,,,,,,CAB(,) 其中点分别对应参数值，，当，AB,t,,,,tx, b时：，yyx,()fxyxfxyxx(,)d[,()]d,,,CABa(,) b,，其中端点fxyyfxyxyxx(,)d[,()]()d,,,CABa(,) 对应于． AB,xaxb,,, 两型曲线积分之间的 266 设为空间有向光滑曲线，，，CAB(,)Pxy(,)Qxy(,)关系 在上连续，则有： Rxy(,)C B PxQyRzPQRsdddcoscoscosd，，,，，,,,,,CABCAB(,)(,) 其中是在点的cos,cos,cos,,,CAB(,)(,,)xyz 方向余弦． 格林公式 267 ,P,Q设函数Pxy(,)，Qxy(,)及，在逐段光滑闭,y,x 曲线围成的闭区域上连续，则有 CG C ,,,,QP， PxQyQxy，,,dddd,,,,,C,,xy,,G 其中取正方向，即当一个沿此方向前进时，总位CG 于它的左侧． 平面曲线积分与路线 268 ,P,Q若函数无关的条件 Pxy(,)，Qxy(,)及，在单连通区域,y,x 上连续，则下列四个语句等价： G (1) 曲线积分PxQydd，与路线无关，只与起,CAB(,) 点，终点有关； AB (2) 在uxy(,)内存在函数，使GC uxyPxQy(,)dd,，； ,P,Q(3) 对任意(,)xyG,，有，； ,y,x (4) 对PxQydd，内任意逐段光滑闭曲线：沿G,, 59 的曲线积分是，即． PxQydd0，,0,, 注：单连通：内任任意无重点连续闭曲面所围GG 成的区域均含于． G ?18.2 曲面积分 第一型曲面积分的概 269 设有一个逐片光滑曲面，函数在上有fxyz(,,)SS念 定义，用分法nSSS将分成个小曲面，，„，，TS12n 其面积分别为,,,,,,,,,，取12n n(,,),,,,SRf,,(,,),,,,，作和．如,kkkkkkkkk,1 果不论分法(,,),,,及点的取法如何，当TC kkk ,()max{(),(),,()}0TdSdSdS,,时，和式12n 存在极限，则称是函数fxyz(,,)在曲面上RIIS 的第一型曲线积分，记成 Ifxyz,(,,)d,,,S 第一型曲面积分的计 270 设函数fxyz(,,)在光滑曲面上连续，曲面的方SS算公式 程为zzxy,(,)(,)xyD,，，为有界闭区域，则D C 有： 22,,． ffxyzxyzzxyd[,,(,)]1dd,,，，xy,,,,SD 第二型曲面积分的概设为光滑的双侧曲面，即当动点从上任一点PSS 271 念 PP出发，沿上任一条连续闭曲线回到时，法线S00 的正向与出发时的法线正向重合，函数fxyz(,,)在 C nS上有定义．用分法将分成个小曲面，TSS1 ,,,,,,,,,SS，„，，其面积分别为，而12n2n S,,xy,在平面上的投影面积为，取xykkk 60 PS(,,),,,,作成和式： kkkkk nWfxy,,,(,,),,,． ,kkkkk,1k 如果不论分法及点P取法如何，当时，,()0T,Wk J存在极限为关于在曲面上的第二fxyz(,,)xySxy 型曲面积分，表成．类似地，Jfxyzxy,(,,)ddxy,,S 可以定义下面两个曲面积分： ，Jfxyzyz,(,,)ddyz,,S ． Jfxyzzx,(,,)ddzx,,S 22,,． ffxyzxyzzxyd[,,(,)]1dd,,，，xy,,,,SD 第二型曲面积分的性, 272 与表示同一曲面的两个侧，则 SS(1) 设质(以J为例) xy； fxyzxyfxyzxy(,,)dd(,,)dd,,,,,,,SS (2) ； kfkfxykfxykfxy，,，dddddd11221122,,,,,,SSSB (3) 设SSSS由，合并而成，，无公共内点，S1212 则 ． fxyzxyfxyfxy(,,)dddddd,，,,,,,,SSS12 第二型曲面积分的计 273 设函数fxyz(,,)在逐片光滑曲面上连续，的方SS算公式 程为zzxy,(,)(,)xyD,，，为有界闭区域，则D C 有 ． fxyzxyfxyzxyxy(,,)dd[,,(,)]dd,,,,,,SD 当以上侧为正方向时，取正号，否则取负号． S 两型曲面积分的关系 274 设函数PxyzQxyzRxyz(,,),(,,),(,,)在光滑曲面S 上连续，则有： PyzQzxRxydddddd，，B ,,S ， ,，，(coscoscos)dPQR,,,,,,S 61 其中，是上点处的法线cos,cos,cos,,,(,,)xyzS 方向的方向余弦． 高斯公式 若有界体由逐片光滑曲面围成，而VS 275 在上连续，则 PxyzQxyzRxyz(,,),(,,),(,,)VS PyzQzxRxydddddd，，,,SC ,,,,,PQR， ,，，dddxyz,,,,,,,,xyz,,V 其中以外侧为正． S 斯托克斯公式 276 若光滑曲面的边界为光滑曲面，函数，Pxyz(,,)SC Qxyz(,,)，Rxyz(,,)在上有连续偏导数，则 SC PyzQzxRxydddddd，，,C C ,,,,,,,,,,RQPRQP,,,,，,，,yzzxxydddddd,,,,,,,,,,,,,,yzzxxy,,,,,,S 其中曲面的正侧及闭曲线的正向符合右手法则，SC 即如果右手拇指所指的方向为曲面法线的方向，则其 余四指所指的方向就是闭曲线的正向． C 第十九章 含参变量积分* ?19.1 含参变量常义积分 含参变量积分的概念 277 设函数fxu(,)Rab,[,;,],,定义在上，对任意 bfxux(,)du,[,],,，积分存在，则称,aB bu,()(,)dufxux,为含参变量常义积分，称为参,a 变量． 含参变量积分的性质 (1) 连续性 278 b若,()(,)dufxux,fxu(,)[,;,]ab,,在上连续，则,a [,],,在上连续； A (2) 可微性 ,f若[,;,]ab,,fxu(,),在上连续，则,u b,()(,)dufxux,[,],,在上可导，且,a 62 b,,； ,()(,)dufxux,u,a (3) 可积性 若在上连续，则fxu(,)[,;,]ab,, b在上可积，并且,()(,)dufxux,[,],,,a ,,b． ,()dd(,)duuxfxuu,,,,a,, 上下限含参数的含参 279 若fxu(,)，在上连续，则fxu(,)[,;,]ab,,u变量积分的求导公式 在上可导，且对任意，有aubu(),()[,],,u,[,],, ，则： aaubabub,,,,(),()A bu()在上可导，并且 [,],,,()(,)dufxux,,au() bu(),,,, ,()(,)d[(),]()[(),]().ufxuxfbuubufauuau,，,a,au() ?19.2 含参变量广义积分 含参变量广义积分及 280 设fxu(,)在区域Da,，,[,;,],,上有定义，对任意其一致收敛的概念 ，,fxux(,)du,[,],,，收敛，则称 ,a ，,,()(,)dufxux,为含参量的广义积分． ,a B 如果对任意A,0AA,，存在，当时，对任,,000 ，,意u,[,],,，有，则称含参变量fxux(,)d,,,A 广义积分,()u在[,],,上一致收敛． 含参变量广义积分一 281 (1) 柯西准则 致收敛性的判别方法 含参变量广义积分,()u[,],,在上一致收敛的充分 必要条件是对任意A,0，存在，当,,00 A2AAAA,,,时，有fxux(,)d,,． 1020,A1A (2) 优函数判别法 若存在u，当时，对任意，有B,0xB, ，,Fxx()d，且收敛，则含参变量fxuFx(,)(),,a 的广义积分,()u[,],,在上一致收敛． 63 含参变量广义积分的(1) 连续性 282 性质 若在闭区域上连续，且在上一fxu(,),()u[,],,D 致收敛，则在上连续； ,()u[,],, (2) 可积性 若在闭区域上连续，且在上一fxu(,),()u[,],,D 致收敛，则在上可积，且,()u[,],,,,，,； ,()dd(,)duuxfxuu,A ,,,a,, (3) 可微性 ，,若,fxu(,)fxux(,)d，在区域上连续，且fxu(,)Du,a ，,,在[,],,上收敛于,()u，而fxux(,)d在[,],,u,a上一致收敛，则,()u在[,],,上可导，且 ，,,,,,()(,)dufxux． u,a ，,函数及其性质 ,,,,1x 283 称函数,,(d,)xex为函数． ,,a 定义域：,,，,(0,)． ,(),在(0,)，,内可导． 常用公式： B (1) ,，,,(1)(),,,； (2) ,，,(1)!nn； 1(3) ,,(),． 2 64