第I型B—O积分
示
第I型B—O积分表示
第l4卷第2期
l994-’7-6月
:
\一,/
西安公路学院Vo1.14No.2
JournalofXiaIlHighwayTransportationUniversityJ100
引言
第1型B一0积分表示
钟忠銮姚宗元
(基础课部)(厦门大学数学系)
摘要:文中g-出1有界城上奎纯
的Bochner--Ono公式的拓广形
式——第1型B—O积分表示.文献[2][9]等相应公式是其特球情况.
关键词:D-O公式,拓广,垒纯函数
中图分类号:O174.56
着名的Bochner--Martinelli积分公式[1田是空间中有界域上全纯函数的l十十分重要
的积分公式.迄今为止已有不步文章对它进行拓广0】.其中文献[7]的Bochner--Martinelli
积分表示的形式比较一般,该公式概括了文献[1],[3],[6]的相应公式.
文献[9]从另
一
角度(核函数是Z的全纯函数)拓广了Bochner--Martinelli积分表示,拓广后的公式通常
称为Boehner--Ono公式.姚宗元在文献[2]中对Bochner--Ono公式进行拓广,得到1十
比Bochner—Ono公式一般的且对任意有界域D的内部和外部(Boehner--O?公式没有给出
有界域D的外部的积分表示公式)都能成立的Bochner--Ono积分表示的拓广形式.本文试
图对Bochner--Ono积分表示进一步拓广,得到1十比文献[2]的相应公式更一般的且同样
对有界域D的内部和外部都成立的Bochner--Ono积分表示的拓广形式.与凸区域的第1型
积分表示的拓广形式[3相对应,我们称文中所得到的结果为第1型B:)关于f一(,…,)在\力(d)上为闭形式.
(5)
?证明首先证明式(5)的分母在\(a)上不为零.注意到对任意的f?\力(_】(d)
?(一?)(己一)l一口Jl一?0,:?力-(n)(6)
‘事实上.对任意J--的I?
=
(,….)?\nc_】(n)
令P:(7)
则P?r>0.现在以口为心.以P为半径非完全圆型域力(d)一{(:..…,),l#.一a.l.
+…+l一口lI<)?显然,力(d)c力’(n).而因为凸区域力二一’(d)的定义函数
中(,)一l一n.I’+…+l一口_I-一(8)
白凸区域的边界性质叫得到
ll6西安公路学院I994年
即
客毳()?.,?雒)z?0c_1(n)c(n)蓍I.(靠一)一予砉(一zJ)(一I一一?.(9)
(1O)
因f’是V(n)中任意一点,因此在\f】【_)(n)上式(6)成立.因式(6)对\0)上的
任意,对.,(口)中的任意z都成立,所以在式(6)中取=一6,便得到在V(口)上总有
?(一)(}』一一aj)I—ajl一?0(u)
由式(6)和(ii)得到,在\(口)上式(5)的分母不为零.
其次证明叫l(f一6,f—a,f—a.一z)在c-\o;(口)上关于为一闭形式.由(一b,
一a,一a,一z)的定义知
d(一6,一a,一a,f一)一a(一6,f—a,f—a,f一)
一
j{IIl—ajI一?(--1)一’(}.一.)d}[Ad)i-1?一I
?
?l—ajI一?(一1)一(一.)d}[I]Ad
J-1一I
—
III—ajl一dAd
2[(一)(一)I一I-一:]一’[(—z)(}一)I—nIj町(a)内
某一定点,:是f’(d)内任一点.又
(f一6-f一4,f—a-f一=)
(?)!一-
要(-1)(i?一:-)df[.】
‘[(一枷一一a)I一[(ij--IJ)(一=I一4J]’
(13)
称为拓广的M—O棱.式(12)的积分定向的选择为使形式(一1)’d7Ad7是正定的.
拓广的M—O核(13)和M—O核一样都是:的全纯函数(原先的M核.]’c归并非:
的全纯函数).当=l,b=:时(此时1I..?h”‘[,(r)]=(一1)1.,(r),式(13)便是文献
[2]中的式(9),当一l,b一:.m一2,式(12)的第1种情况即是文献[9]中
Bochner—Ono
公式I当一1,d—b一2,m一2时.式(12)成为重要的Boehner—Martinelll积分公式]’啪.
另外,定理l中的点a是C’\aD中任意取定的点,因此式(12)对C’\aD中的所有2都局部地成
立,即满足条件”a?D,n(口)naD=:?f’(d);或aD-(口)naD一2?
f’(a)”的C’\aD中的所有:都成立.因为对于D或\D中的任点:,它总位于D或\D中
某固定点a的附近,满足2?n【一j(a)且aDnn(口)=,使式(12)成立.
证明首先证式(12)的第1种情况.设n是D中任一固定点,f’(d)是以n为心.以r为
半径(r>0).在D中的完全圆型域且n(口)naD—.由引理2
(—b,r—d,r—a,r一2)
1-I(一aj)’一?(一1)(}.一.)d}[.]Adr
[?(—bj)(一一aj)I一aI一.]一’[?(一)(一一aj)I一aI一.]’J—Ij--1
关于r为D\/2~(口)c\n(n)上的闭形式,其中b是(口)内任一固定点,:?(n).
由题设q(D在D内全纯,因此有
d[口(r)(r一6,r—a.—a,r一:)]
一
a[q(D~oI(r一6.r-a.r—a,r一:)]+a[g(r)I(r一6.r—a,r—d.r一2)]
一
?dA(一,r一口,}一,r一2)+g(r)知.(r一6.r一口.}一a.r一:)j-I’J
+ag()(r一6-—a,r—d-r一:)+q(Da(r—b,r—a.—d.r一2)一0
所以,口(r)(r一6.r—a,r—a,r一2)关于r也是D\(d)中的闭形式.由Stokes公式有
J口(r)t(r一6-r一口,一,r一:)一0(14)jD—j”1
2?(口),r?aD—ar’(d)
ll8西安公路学院1994主
即(--b,a,t)
=
(詈)’一J口()m(一6,f—n,}一,一=)(15)jft口)
又因为凸区域(d)的定义函数为
(f,f)一I一aI+…+I—aI一r_
于是
将式(16)
l(},)=一詈(一I,一I-2
1c,}一{‘詈一6,一日,一,一z)1t1~(13)所示.故式(12)的第2种情况也成立.
参考文献
钟同德.多复变函数的积分表示与多维奇异积分方程.厦门大学出版社.198683~I10
姚宗元.关于Bochner--Ono公式.厦门大学(自然科学
版),1988(3):274~279
邬德云,钟忠銮.关于凸区域和Bochner-Martinelli的积分表示.厦门大
学(自然科学版).1983
(4):406,4:15
姚宗元.关于空间中有界域上的积分表示.厦门大学(自然科学
版)198troqEU帅p啪uKo?【u|eKcH0w
aH?1’.HoeOeHOKpCK:HayKa?1979
OntheB-OIntegralRepresentationofTypeI
ZhongZhongluan
(DepartmentofBasicCourese)
YaoZongyuan
(Dept.Math.XiamenUniversity)
Abstract:Inthispaper.anextensionofB—Ointegralrepresentationofholomophicfunc—
tlonoftheboundeddomaininareobtained.Thisextendedintegralformulawil
lalsobe
called13-Oformulaoftype1.SO.B-Oformulaandtheotherextensions[2]_[c
anberegarded
asaspecialcaseoftheformulainthispaper.
Keywords:13-0formula,extension,holomorphicfunction
123456789