棱柱和棱锥的体积

棱柱和棱锥的体积 教学目标 知识目标 知道祖暅原理及其应用。 掌握棱柱体积的求法。 掌握棱锥体积的求法 能力目标 增强对联想、类比、猜测、证明等合情推理及逻辑推理的方法的运用能力 教学重点 棱锥体积的求法 教学难点 棱锥体积的推导过程 教学过程 (利用多媒体课件加制作的棱锥模型演示授课) 一复习 棱柱、棱锥的定义 棱柱、棱锥的底面、侧面、高的定义 二 新课 我们很早就学过了长方体的体积，知道长方体的体积V等于长方体的底面积S与高h的乘积，即V=Sh 。我们也知道长方体是个特殊的棱柱，是底面为矩形的直棱柱，那么其他的棱柱的体积可不可以求呢，又如何求呢。 在研究这个问题之前，我们先来看认识一下祖暅。 祖暅——祖冲之之子，他提出了一条原理:“幂势既同，则积不容异。”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。(意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。) 隐藏显示截面 显示 对象 面积平移显示 对象 SSβ α SSγ 这个原理很容易理解。取一摞书或一摞纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状，这时高度没有改变，每页纸张的面积也没有改变，因而这摞书或纸张的体积与变形前相等。 一 棱柱体积 利用这个原理我们可以用来求出任一个棱柱的体积。 如果一个棱柱与一个长方体的高相等(都为h)且底面面积相等(都为S)，那么当我们用一个与底面平行的平面去截它们时，可以证明截面的面积都等于各自地面的面积S，所以根据祖暅原理，棱柱的体积和这个长方体的体积相等，即 VSh, 棱柱 表示棱柱的体积，S就表示棱柱底面的面积，h表示棱柱的高。 V棱柱 求棱柱的体积，我们构造一个与所给棱柱等底面积等高的长方体，把它与所给柱体的下底面放在同一个平面α上.由于它们上、下底面平行，且等高，故它们的上底面必在与α平行的同一个平面β内，现在用平行于α的任意平面去截它们时，由于所得的截面都与它们的底面分别平行，因此截面积都等于S.由祖暅原理知，它们的体积相等，而V长方体=Sh，所以V柱体=Sh. 所以要求一个棱柱的体积，我们只要知道这个棱柱的底面积和这个棱柱的高。棱柱的体积其实就是棱柱底面积和棱柱高的乘积。 ,,,ABCABC,例1 已知三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AC和BC的 ,长分别是4cm和3cm，侧棱AA的长为10cm，求满足下列条件的三棱柱的体积: ,(1)侧棱AA垂直于底面;(做例题) ,(2)侧棱AA与底面所成的角为60?。(学生求解) ,,解(1AAAA)因为侧棱?底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱的长，而 12底面三角形ABC的面积，于是此三棱柱的体积为 SACBCcm,,,6()2 3。 VShcm,,，,61060() C'C' A'B'A'B' 10cm10cm CC 3cm4cm3cm4cm H ABAB ,,AHA(2) 如图，过作平面ABC的垂线，垂足为H，于是为三棱柱的 ,,，,:AAH60AA高。因为侧棱与底面所成的角为60?，所以，可计算 ,,得。又由(1)可知底面三角形ABC的面积AHAAcm,,:,sin6053() 2,故三棱柱的体积为 S=6(cm) 3,。 VSAHcm,,,，,653303() 二 棱锥体积 刚刚我们解决了棱柱体积的问题，那么对于另一种特殊的多面体——棱锥，我们如何求出的它的体积呢。我们刚学到棱柱的体积和底面积和高有关，那么棱锥的体积和什么有关呢。 对了，也许也和棱锥的底面积和高有关。 那和底面积的形状有关吗，那就让我们先来证明一下这个命题。 等底等高的棱锥的体积相同。 这我们可以利用祖暅原理得到。证明过程由课件演示。 OP Z'F'E'O'A'S1S2D'P'Y'X'B'C' ZβFEPP' =OO' =hO''DsP''APP''=OO''=HsYXBCα 我们在求棱柱体积时是把求任意一个棱柱的体积转化成与求其等底面积等高的长方体的体积。那么对于棱锥体积的求法，我们可以把它转化为求一个与它等底等高的其它棱柱的体积。最简单的棱锥是三棱锥，如果解决了三棱锥的问题，那么其他棱锥的问题就迎刃而解了。 好，下面我们来推导三棱锥的体积公式。 设三棱锥A-BCD的底面三角形BCD的面积为S，对应的高h，过顶点A做三角形EFA平行于底面三角形BCD，联结CF、BE，可以证明，所得图形是与三棱锥A-BCD同底等高的三棱柱。由棱柱的体积公式，可知三棱柱的体积等于Sh 。 用平面AFB将三棱柱分割成为一个三棱柱B-AEF和一个四棱柱B-CDAF，其中三棱柱B-AEF与三棱柱A-BCD等底等高，所以它们体积相等。而四棱锥B-CDAF的底面是平行四边形，对角线AC将底面CDAF分割成全等的两个三角形，故平面ABC将四棱锥B-CDAF分割成的三棱锥B-ACD和B-AFC具有相同的高和全等的底， 所以它们的体积也相等。于是可知分割后的三个三棱锥的体积相等。所以，三棱锥A-BCD的体积等于与它等底等高的三棱柱的体积的三分之一，即 1 VSh,三棱锥， 3 (其中S，h分别是三棱锥的底面面积和高) 对于一个底面积为S高为h的n棱锥，可以将n棱锥分割成n-2个三棱锥。显然这n-2个三棱锥的体积之和等于原n棱锥的体积。n-2个三棱锥的底面面积分别为(显然)，n-2个三棱锥的高都SSSS,,……SSSSS,，，，，……1232n,1232n, 为h，则这个n棱锥的体积为: VVVVV,，，，，……n棱锥三棱锥1三棱锥2三棱锥3三棱锥n-2 1111 ,，，，，ShShShSh……1232n,3333 1 (),，，，，,SSSSh……1232n, 3 1 ,Sh 3 2个三棱锥来求出体积，体积对于任意一个n棱锥体积都可以通过分割成n- 就是n棱锥底面面积S和棱锥高h乘积的三分之一。即 1 VSh,棱锥 3 例 求棱长都为a的正四棱柱的体积。 解 正四棱锥O-ABCD的底面是正方形，其O 2a面积是，设点N是底面正方形的中心，于是 OANON是正四棱柱的高。因为是直角三角 AC2形，且OA=a， ，所以AN,,a22 C2a2D222ONOAANaa,,,,,， N22 由棱锥的体积公式，得BA 12223。 Vaaa,,,,326 练习与思考 在正方体ABCD-A′B′C′D′中，已知棱长为a，求: ,B-ABC(1)三棱锥的体积; (2)这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几; ,ABC(3)B到平面的距离? (若没时间，可留做课后思考，要求用两种方法求解) 12Sa,(1)因为正方体棱长为a，所以，高h=a. ABC2 111123所以,,,, 。 V=Sh=aaa, B-ABCABC3326 3Va,(2)因为 ， 正方形 1VV,. 所以:,BABC,正方形6 (3) 解法1:如图8. ,,,ABC ABCBC过B作BO?面于O，则O必为的重心.连AO并延长交于 M， ,,ABBCCAa,,,2因为, 3626所以， 。 AMaa,,,2OAAMa,,2233 232222BO=ABOAaaa,,,,在RtΔAOB中， 。 33 3,ABCa即B到面的距离为。 3 解法二: ,ABC设B到面距离为h, ,,因为， ABBCCAa,,,2 3322所以， Saa,,,(2), ABC42 13111223因此 ,,,,,,,,ahVVaaa,,BABCBABC,,32326 33,ABC故，即B到面的距离为. aha,33 方法一是常规方法，而方法二则巧用了三棱锥的体积，使问题的求解变 得十分简捷.这种方法称作顶点转换法，有时也称作等积转换法.事实上三棱锥(即四面体)的每一个顶点都可作为棱锥的顶点，和它相对的面都可作为相应的底面，这是三棱锥(四面体)特有的性质.在一定的条件下，它为我们求解顶点到底面的距离提供了捷径，应当引起我们的注意. 三 今天这节课我们主要学习了棱柱和棱锥的体积公式， 通过本节课学习，我们通过祖暅原理找出了棱柱的体积公式，知道一个棱柱和它等底等高的长方体的体积是相同的，所以要求一个棱柱的体积，我们只要知道这个棱柱的底面积和这个棱柱的高。棱柱的体积其实就是棱柱底面积和棱柱高的乘积。 在此同时我们还利用割补法获得了三棱锥的体积公式，进而利用祖暅原理获 1VSh,棱锥3得了一般任意棱锥的体积公式，即，并初步体会了其应用; 通过本堂课我们又一次体会了联想、类比、猜测、证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用. 四 作业 课后习题16.8 2007年5月16日 李永铭