隐函数与参数方程求导法则

                  5.3    隐函数与方程求导法则 1、隐函数求导法则   表示函数（对应关系）有多种不同的，其中有这样一种方法，自变量x与因变量y的对应关系是由二元方程F（x，y）=0所确定。 定义  设有两个非空数集A与B.若，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个，则称此对应关系（或写为y=（x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。 由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y=（x)（，）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此，，有                           F[x，f(x)]=0    (或F[x，f(x)]0 ）. 例如，二元方程F(x，y)=2x-3y-1=0在R确定（从中解得）一个隐函数。 事实上，，由二元方程对应唯一一个,且           F（x , )=2x-3-10. 二元方程F(x，y)=x+y-a=0(a>0)在A=[-a ，a]确定两个连续的（B=[0 ，+)与 B=（- ，0])隐函数。 事实上，，由二元方程对应唯一一个=,且                 与，且                 于是，二元方程F(x，y)=x+y-a=0在A=[-a ，a]确定了两个连续的隐函数。         与。       这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间的上半圆周与下半圆周，如图5.5 由此可见，所谓隐函数就是对应关系不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系“明显”的函数，例如，       ， ，，等等，就是显函数。在本节之前，所遇到的函数绝大多数都是显函数。 值得注意的是，有些二元方程确定的隐函数并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。 由于二元方程确定的隐函数，有                       . 应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则： 例1  求方程确定的隐函数的导数。 解    方程两端对求导数，由复合函数的求导法则（注意，是的函数），有                     ，                 ，                     ， 解得隐函数的导数. 例2    求方程确定的隐函数的导数。 解    方程两端对求导数，由复合函数的求导法则（注意，是的函数），有                       ， 解得隐函数的导数                       . 例3    过双曲线上一点的切线方程是                     .                                      （1） 证明  首先求过点 的切线斜率 ,即求双曲线确定的隐函数 的导数在点的值.             ，. 解得.在点的切线斜率.从而，切线方程是                     或                                      . 因为点在双曲线上，所以.于是，所求得切线方程是                                                   . 当时，有.过双曲线上点的切线方程是，也满足（1）式. 例4    证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于. 证明    在抛物线上任取一点，即.求抛物线在点的切线斜率.由隐函数求导法则，有               或. 从而斜率.在点的切线方程是                 . 它在轴与轴上的截距分别是与.于是，二截距之和是         （ ）+（）   ====. 求某些显函数的导数，直接求它的导数比较繁琐，这时可将它化为隐函数，用隐函数的求导法则求其导数，比较简单些。将显函数化为隐函数常用的方法是在等号两端取绝对值再取对数，这就是对数求导法。适用于幂指函数以及其他一些函数.现举例如下： 例5  求函数的导数。 解    等号两端取绝对值的对数，有         . 由隐函数的求导法则，有         ， 即                       . 例6    求幂指函数的导数。 解      将幂指函数等号两端取对数，有                   . 按隐函数求导法，对上式等号两端求导，有                   ， 由此得到                                       .     例7   求函数的导数.     解    等号两端取绝对值的对数，有                                 由求导数法则，有                 ， 即                       . 2、参数方程求导法则        参数方程的一般形式是                         若与都可导，且，又 存在反函数，则是的复合函数，即                 ，  . 由复合函数与反函数的求导法则，有                                     . 这就是参数方程的求导。     例8    求椭圆上一点的切线斜率.   解法一  点  在上半椭圆上，从椭圆方程中解出上半椭圆方程是                 ，  . 则                             解法二  由隐函数求导法，有                 或  ， 则                 .     解法三    将椭圆化为参数方程                           . 点对应的参数.由参数方程求导法，有                       则                              .       例9  设炮弹的弹头初速度是，沿着与地面成角的方向抛射出去，求在时刻时弹头的运动方向（忽略空气阻力，风向等因素）.     解  已知弹头关于时间的弹道曲线的参数方程是                       其中是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有                       设在时刻弹头的运动方向与地面的夹角为，有                     或