多元函数的极值

多元函数的极值 6.2.5 多元函数的极值 课题: 多元函数的极值 目的要求: 了解多元函数极值的概念，会求函数的极值，会解一些简单的最大值和最 小值的应用。 重点: 多元函数极值的求法 难点: 简单的最大值和最小值的应用 教学方法: 讲练结合 教学时数: 2课时 教学进程: 一、多元函数极值的概念 z,f(x,y)定理1 设函数在以为中心，半径为的包括边界的圆形区域内连续,,P0 则该函数在这个区域内一定存在最大值和最小值( (,)xy定义1 如果对(,)附近的不包括的一切点 都有不等式PxyP0000 ff(x,y)f(x,y)f(,)>成立,那么称函数在(,)取得极大值(,);如果不等式xyxyxy000000ff(x,y)f(x,y)f(,)<成立,那么称函数在(,)取得极小值(,)( 极大值与xyxyxy000000极小值统称为极值(使函数取得极值的点(,)称为极值点( xy00 22f(x,y)例1 函数 = +-1在点(2,3)取得极小值-1,因为当(2)x,(3)y, 22+?0时 (2)x,(3)y, 22f(x,y)f(1,2)= +-1>-1= (2)x,(3)y, 1122f(x,y)x例2 函数 =-sin(+)在点(0,0)取得极大值，因为我们对于在(0,0)的去y33 ,2222(,)xy0心邻域，中的一切点 有，所以 ,x，y,sin(x，y),02 1122 fxyxyf(,)sin()(0,0),,，,,33 二、多元函数极值的求法 zfxy,(,)定理2 可导函数在取得极值的必要条件是 (x,y)00 f(x,y),0,f(x,y),0 x00y00 (x,y)f(x,y)定义2 使f(x,y),0,f(x,y),0的点称为函数的驻点( xy 从定理2可知,可导函数的极值点必定是驻点(但函数的驻点不一定是极值点( ,,zz22x,0,y,0,,,6,4xy例3 函数有偏导数,两者在都变为零(而zxy,,32,,xy (0,0)函数在驻点处既不取得极大值,也不取得极小值,因为这函数在原点等于零,而在原点的 任意邻域中,有时取正值,有时取负值( f(x,y)由此可知,和一元函数一样,上式只是可导函数的在取得极值的必要条(x,y)00件,而不是充分条件( z,f(x,y)定理3 设函数在驻点的某一个邻域满足一定的连续性条件, 若(x,y)00 2,,B,ACf(x,y)B,f(x,y)C,f(x,y)记,,, ,则在A,f(x,y)xy00yy00xx00 取得极值的条件如下表所示: (x,y)00 2 f(x,y),,B,AC 00 极大值 A,0 ,,0极小值 A,0 不是极值 ,,0 无法确定 ,,0 一般地,可按如下步骤求二元函数的极值: f(x,y)(1)求出的一阶与二阶偏导数; (2)联立方程, 求出驻点; f(x,y),0,f(x,y),0xy 2B,AC3)考察的正负,由定理5判断驻点是否极值点( ( 33例4 求的极值( zxyxy,，,9 33解(1) 这里, fxyxyxy(,)9,，, 22 , fxyyx(,)39,, fxyxy(,)39,,yx , , ( fxy(,)9,,f(x,y),6yf(x,y),6xyyxxxy (2)解方程组 2,390xy,, ,2390yx,,, (3,3)(0,0)得驻点,( (3,3)(3)关于第一个驻点,有 22 BAC,,,,,,,,,,(9)63632430 f(x,y)(3,3)f(3,3)27,,且 A,,180.因此, 在点取得极小值( (0,0)关于第二个驻点,有 22 BAC,,,,,,,(9)00810f(x,y)(0,0)因此 在点不取得极值( 22m例5 用铁皮制造一个体积为的有盖立方体水箱，问怎样选取它的长、宽、高才能 使所用材料最省, 2解 设立方体的长、宽分别为，它的高为(立方体的表面积为 xy,xy 22sxyxy,，，222 xyxy 22,，，2xy xy求导,得 4, sy,,，2x2x 4,sx,,，2 y2y 333,,ss,,0,0令,解得驻点为(2,2)(即长、宽、高都为时，所用材料最省( 2xy 小结本讲内容:强调多元函数极值的概念及求极值的步骤。 作业: P196 10。