学习高等数学的目的、作用、内容及方法

学习高等数学的目的、作用、内容及方法 学习高等数学的目的、作用、内容及方 法 一、为什么要学习高等数学? 高等数学是高等学校许多专业学生必修的重要基础理论课程。数学主要是研究现实世界中的"数量关系"与"空间形式"。世界上任何客观存在都有其"数"与"形"的属性特征，并且一切事物都发生变化，遵循量变到质变的规律。 凡是研究量的大小、量的变化、量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不了数学。同样，客观世界存在有各种不同的空间形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，实事之繁，…无处不用数学。 数学不但研究空间形式与数量关系，还研究现实世界中的任何形式和关系，只要这种形势和关系能抽象出来，用清晰准确的方式达，即所谓化为数学模型。不但如此，数学还研究在逻辑上可能的形式。 "空间形式"必须理解为一切类似于空间形式的形式:射影空间、非欧几里得空间、拓扑空间、无穷维空间的空间、微分流形… "数量关系"也要理解为一切类似于数量关系的关系:逻辑关系、语法关系…数学研究的是各种抽象的"数"和"形"的模式结构。 在今天的数学中，"数"和"形"的概念已发展到很高的境地。比如，非数之"数"的众多代数结构，像群、环、域等;无形之形的一些抽象空间，像线性空间、拓扑空间、流形等。 恩格斯说:"要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。" 英国著名哲学家培根说:"数学是打开科学大门的钥匙"。 德国大数学家、天文家、物理学家高斯说:"数学是科学的皇后，她常常屈尊去为天文学和其它自然科学效劳，但在所有的关系中，她都堪称第一。" 马克思还认为:"一种科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。" 亨普尔说:经验科学中多数更加深刻的都是借助数学概念陈述的。 拉奥说:一个国家的科学进步可以用它消耗的数学来衡量。 :数学是人类智慧王冠上最灿烂的明珠。 考特说 戴维认为:被人们如此称颂的高科技技术，本质上是一种数学技术。 霍格说:如果一个学生要成为完全合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必定来到一座大门，并且必须通过这座大门，在这座大门上用每种人类语言刻着同一句话:"这里使用数学语言。" 培根曾说:"数学使人精细" 罗蒙诺索夫把数学称做:"所有思想研究工作的主宰" 伽里略、惠更斯、牛顿都认为:"科学工作中的演绎数学部分所起的作用比实验部分所起的作用要大" 第一个诺贝尔物理奖得主伦琴在回答"科学家需要什么样的修养"这一问题时，说:"第一是数学，第二是数学，第三还是数学。" 被誉为"计算机之父"的冯?诺伊曼认为"数学处于人类智慧的中心领域" 数学史梗概: 第一阶段 数学萌芽时期(远古-公元前5世纪):算术几何形成时期，但它们还未分开，彼此交织在一起，没有形成完整、严格的体系，缺乏逻辑性，基本上看不到命题证明、演绎、推理。 第二阶段 常量(初等)数学时期(公元前5世纪-17世纪中叶):数学逐步形成了一门独立的、演绎的学科。算术、初等几何、初等代数、三角学都已成为独立的分支。 第三阶段 变量(高等)数学时期(17世纪中叶-19世纪中叶):变量与函数的概念进入数学。解析几何、微积分、概率论、射影几何形成。 第四阶段 近代数学时期(19世纪中叶-二次大战):非欧几里得几何、抽象代数、复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、积分方程论、点集拓扑、组合拓扑…。 第五阶段 现代数学时期(20世纪40年代以来):(原子能的应用，电子计算机的发明，空间技术的兴起)广义函数论、整体微分几何、非分析、微分拓扑、代数拓扑、代数几何、同调代数、模糊数学、计算数学…。 著名数学家柯朗说:"微积分学，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学和人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具，…这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶;这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深扎根于人类活动的许多领域，并且，只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。" 恩格斯指出:"在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。"他还说:"只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。" 微积分对于许多工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。微积分是学好其它理工课程(如大学物理、理论力学、材料力学、电工基础等)的基础，也是学好专业课(如量子力学、流体力学、自动控制等)的工具。 二、高等数学主要要学些什么? 高等数学的内容有微积分学和向量代数、空间解析几何，但主要部分是微积分学。微积分学研究的对象是函数，而极限则是微积分学的基础，也是最主要的推理方法。 与微积分创立密切相关的科学技术问题，从数学角度归纳起来有四类: 1.已知变速运动的路程(为时间的函数)时，求瞬时速度和加速度; 2.求已知曲线的切线; 3.求给定函数的最大值与最小值; 4.求给定曲线长度;求平面曲线围成的面积;求已知曲面围成的体积;求物体的重心;已知变速运动物体的速度、加速度，求物体运动的路程与时间的关系等。 通过高等数学的学习，要使同学们获得以下方面的基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础: 1、函数、极限、连续; 2、一元函数微积分学; 3、向量代数和空间解析几何; 4、多元函数微积分学; 5、无穷级数; 6、常微分方程等。 三、怎样才能学好高等数学? 数学具有三个显著的特点:高度的抽象性、严谨的逻辑性、广泛的应用性。 高度的抽象性:卡克说:"一般化和抽象是数学之最重要的功能。正是由于一般化和抽象，数学才能如此异乎寻常地有效。" 严谨的逻辑性:韦伊指出:"严格性对于数学家，就如道德之对于人。" 广泛的应用性:爱因斯坦说:"数学的领土相应地定义为那些能被数学术语表达的知识的总和。" 高等数学的教学与中学数学的教学相比，有以下三个显著的差别: 1、课堂大。100-200人合班上课，一般不可能提问，同学之间在学习基础、水平、理解能力上差别大，教师授课的基点只能放在中等水平，照顾大多数，不可能给跟不上的同学细讲、重复讲。 2、时间长。每一次课一般是连续讲授两节课。 3、进度快。由于高等数学的内容极为丰富，而学时又有限，因此，平均每次课要讲授教材8-10页。大学老师讲课主要是讲重点、难点、疑点，讲思路，举例也相对较少，不像中学上数学课那样，一个重要的定理教师要详细讲、反复讲，之后还有大量的例子。 预习 在每次上高等数学前一天，对第二天要讲的内容先作预习，即用少量的时间自学教材。预习的目的是: 1、使听课时心中有底，不至于被动地只是跟着教师的"脚后跟"走; 2、知道那些地方是重点和自己的难点、疑点，从而在听课时就能特别注意，有重点，不至于漏掉关键地方。形象一点说，就像去旅游前，先买一张该处的旅游图极其说明来看一看，意义是不言而喻的。 大学四年中更重要的是要着眼于培养"会学"的能力。"会学"的内涵中就有自学，而预习则是培养自学能力的一个重要环节。 听课 带着充沛的精力和获取新知识的浓厚的兴趣，带着预习中的疑点、难点，专心致志聆听教师是如何提出问题的，是如何分析问题的，是如何解决问题的，要紧跟教师的思路，并认真思考，做到脑、耳、眼、手并用，想、听、看、记共举。核心是积极思考。 在听课时，如果有某些地方没有听懂怎么办?这时可以先用短暂的时间(一分钟左右)冷静思考一下，若还不明白，则千万不要在这个问题上继续徘徊，而应暂时先放下它或承认它，并在教材相应处作上记号，继续跟上教师的讲授。问题和疑点待课后复习时再思考、钻研，或找同学讨论，或找教师答疑，或翻阅参考书。 记笔记 教师讲课不是"照本宣科"。教师主要是讲重点、难点、疑点，讲思路，还要结合有关问题讲一些治学方法，提出一些应注意的问题，有些内容、例子是教材上没有的。但是记课堂笔记与为演讲者作记录是完全不同的。记笔记是将教师讲授的、经过自己理解了的知识用自己的语言写出来。笔记是供自己看的，所以要文句精炼，书写迅速，不必追求工整，还应尽量采用或自造各种能代替常用词组的代码或简便的外文字母。例如:为了便于课后自学、复习时写补充材料和记心得与疑问，最好在笔记本的页边留下较大的空白。 记笔记有什么作用呢? 第一，它可以使你在课堂上集中注意力，防止思想开小差，更主要的是使你积极思维，把相关的知识联系起来加以理解，弄清各种关系，这就训练了思维力、想象力、联想力，同时，无形中开始将知识系统化。为了要用简练的文句写下教师的讲授内容，从而训练了语言的逻辑性和表达能力。 第二，在课后翻开笔记就可以一目了然地看出教师讲授内容的思路和结构及教材上所没有的补充内容和例子，教师的独特见解与心得;还可以在阅读教材、参考书后以及作完作业后将一些内容、体会补充到笔记本上去。 第三，今后工作做各种笔记奠定良好的基础。听课时，听与思是中心，记是为听与思服务的，绝不能主次颠倒。经过长时间的锻炼之后，在大多数情况下，边听、边思、边记是不会发生矛盾。 复习 学习包括"学"与"习"两个方面。"学"是为了获取知识，"习"是为了消化、掌握知识。学而不习，知识不易消化和掌握;习而不学，知识不易丰富。 孔子说:"学而时习之"，就是这个道理。复习最好是在当天(或第二天)进行，并将课堂笔记与教材结合起来进行。复习有两种态度:一种是粗略地复习，没有钻进去，从而收获不大;另一种是读深读透，深入钻进去。对于高等数学，复习时要想钻进去就必须手边有纸、有笔、有笔记本，要自己推导书上重要公式演变过程的一些细节，画出一些补充图形，这样做很有助于记住主要东西。正如俗话所说:"眼过十遍不如手过一遍"、"好记性不如烂笔头"。复习时，第 钻进去，找问题"，特别是对重要概念、定义、定理等内容;第二要"钻出一要" 来，理头绪"，做到把教材、笔记、参考书合起来时，复习过的内容能条理清楚地在脑子里显现出来。 做作业 做作业是自己向高等数学主动出击、进攻的重要手段，是检验自己对听课、复习收获大小的一个重要标志。也是深化听课、复习的继续。更是培养、提高运算能力、综合运用所学知识去分析问题解决问题能力的重要手段。做作业决不能是为了应付教师。需要特别强调的是，认真完成高等数学作业，是培养同学严谨治学的一个环节，因此，作业应做到:字迹清楚、绘图准确、条理清晰、论证严谨，切忌抄袭和先看答案后解题。每次做完作业后，还应花一点时间，重新回味一下与作业有关的概念、定义、定理、公式、法则等，是怎样用的?用到那些技巧?有那些心得体会?还留下那些疑问?最后，对教师批阅后的作业一定要认真看一遍，特别是自己有错误的题目，一定要找出出错的原因，从而可以达到"吃一堑长一智"的效果。 答疑 在数学上遇到疑问时(不管是听课、复习、作业中)都可以及时去请教老师，切勿"拖欠"。还可以向教师较系统地反映自己的学习情况、学习、思想、生活中的苦恼、疑惑以及对某些问题的见解，也可以请教学习方法。总之，答疑是 学问、向老师学习、请教的良好时机，请同学们珍惜它、利用好它。俗话说:"学问，有学有问"，郑扳桥说:"学问二字要拆开看，学是学，问是问，今人有学而无问，虽读书万卷，只是一条钝汉尔"，培根还说过:"多问的人将多闻"。 正确的学习方法是极为重要的 法国著名数学家、哲学家笛卡尔强调指出:"没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索。" 著名数学家拉普拉斯说:"认识一位巨人的研究方法，对于科学进步，--并 不比发现本身更少用处。科学研究的方法经常是极富兴趣的部分。"