[高中数学竞赛]数学奥林匹克高中训练题(01)及答案

[高中数学竞赛]数学奥林匹克高中训练题(01)及 数学奥林匹克高中训练题（01） 第一试 一、选择题（本题满分30分，每小题6分） x1．(训练题06)设f(x),f(f(x))f(x)n，对任意自然数，定义，则的解析f(x),n，11n1993121，x 式为(C)． 1993xx1993xx(A) (B) (C) (D) 22221，x1993，x1，1993x11993，x xyz2．(训练题06)若，则从小到大的顺序是(A)． 2x,3y,5z2,3,5,1 (A) (B) (C) (D) 3y,2x,5z5z,2x,3y2x,3y,5z5y,3y,2x 22223．(训练题06)自然数m，n,p，q满足等式，则(B)． m，n，p，qm,n,p,q (A)是质数 (B)是合数 (C)可能是质数，也可能是合数 (D)既不是质数，也不是合数 4．(训练题06)一圆台的上底半径为，下底半径为，母线为，现有一蚂蚁从下底面AB1cm2cm4cm圆周的点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的点爬行的最短路线是 AB(A)． 2,4,2,4,(A) (B) (C) (D) 43，43，23，23，33335．(训练题06)若复数zz的共轭复数是，且又A,(,1,0),B,(0,,1)为定点，则函数z,1 取最大值时在复平面上以Z,A,B三点为顶点的图形是(C)． f(x),(z，1)(z,i) (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形 6．(训练题06)若是钝角三角形，则arccos(sinA)，arccos(sinB)，arccos(sinC)的值域是,ABC (C)． ,,,33,,(A)(0,) (B){} (C)(,) (D) (0,]22222 二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．(训练题06)满足不等式{(,)|1}{(,)|01}xyxyxxyxyx,,,,,且且loglogyxy,的点(x,y)的集合是． xxy 2．(训练题06)一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为V，1 4圆柱的体积为VV,kV，且，则的最小值是 ． k1223 aaaa,a,a,a称为凹数，如果同时有（例如都是104,525,8491231232凹数而都不是凹数），则所有的凹数的个数是 285 ． 123,684,2003．(训练题06)一个三位自然数 2D yx24．(训练题06)如图，已知椭圆，,,,yDAABCBAB1,,,且2 P C ABDA,32,CB,2，动点在上移动，则的面积的最小值P,PCD O B A x 是 46, ． 4325．(训练题06)四次方程的四个根当中的两个的积是24，则的值是 140 ． x,20x，kx，384,0k6．(训练题06)四个正数之和为4，平方和为8，则这四个数中最大的那个数的最大值是 13， ． 三、(训练题06)(本题满分20分)a,a,a？a是互不相等的自然数， 123n 7777555533332证明：2()aaaa，，，，． (a，a，a，？，a)，n(a，a，a，？，a),nn123123123 四、(训练题06)(本题满分20分)设分别在正方形的边上，与以为半径P,MBC,CDPMABABCD 的圆相切，线段与分别交对角线于Q,N，证明：五边形PQNMC内接于圆． PAMABD A D Q O P N T B M C 五、(训练题06)(本题满分20分)100个火柴盒，标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总共含有的火柴为奇数或偶数，至少要问几才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性． (3个问题) 第二试 P ,ABC,,BCD,,CDEDG,EF一、(训练题06)(本题满分35分)右图中都是正三角形，线段FG?BA，连 相交于，连并延长与的延长线相交于，证明：． ABPOCOCP,EFB D O F A E G C 二、(训练题06)(本题满分35分)假定a,a,a？ab,b,b？b和都是由不相等的复数所组成的序1231012310列，已知对()()()100ababab，,，,,，,均有.证明：对任何，乘i,1,2,？,10j,1,2,？,101210iii 积()()()bababa，，，都等于同一常数，并求出此常数． 1210jjj 三、(训练题06)(本题满分35分)证明任意个介于和之间(包括104和208)的不同的正整数，28104208其中必有两个数不互素(即此二数的最大公约数大于1)．