构造辅助函数

构造辅助函数 构造辅助函数证明微分中值定理及应用 孙冬雪 (湖州师范学院 030713班 313000 ) 摘要:构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方 法:微分方程法～常数K值法～几何直观法～原函数法～行列式法,并且举出具体例子加 以说明。 关键字:辅助函数～微分方程～ 微分中值定理 Constructing auxiliary function to prove differential median theorem and its copplications Sun Dong Xue ( Class of 030713 Huzhou Teachers College 313000 ) Abstract: Constructing auxiliary function is the important method to prove median theorem. This paper gives several ways of constructing auxiliary function:Differential equation, Constant K, Geometry law, Primary function law, Determinant law;and Gives some specific examples to illustrate how to constructing. Key words: Auxiliary function; Differential equation; Differential median theorem 目录 一:引言………………………………………………………………...第4页 二:数学分析中三个中值定理........................................第4页 三:五种方法构造辅助函数………………………………………………………第6页 1:几何直观法………………………………………………………………… 第6页 2:行列式法…………………………………………………………………… .第7页 3:原函数法…………………………………………………………………… 第8页 4:微分方程法………………………………………………………………… 第10页 5:常数值法………………………………………………………………… 第13页 k 四:结论……………………………………………………………………………第15页 参考文献……………………………………………………………………………第15页 致谢…………………………………………………………………………………第16页 一:引言 微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等 数学课程中占有 十分重要的地位，是微分学的理论基础，这部分内容理论性强，抽象程度 高，所谓中值命题是指涉及函数(包括函数的一阶导数，二阶导数等)定义区间中值一些命 题，实际上，高等数学中的一些定理，如:罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是 中值命题。我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题。 在证明中值命题时，首先要构造辅助函数，尤其是证明诸如:“至少存在一点，使得其 代数式成立”这样结论的题目，证明中，如果辅助函数构造得当，题目很容易证明，反之题 目将很难解决。所以构造恰当的辅助函数是证明中值命题的关键，人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，出了很多有益的方法，比如常数值法，原函数法，行列式法，微k 分方程法等。根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.下面我们以不同的方法通过分析解决问题的途径。 二:数学分析中三个中值定理 [13],定理1(Rolle中值定理) 设函数满足f(x) 条件 ? 在闭区间 [] 上连续， a,b ? 在开区间()内可微， a,b ? ， f(a),f(b) ,则至少存在一点, , ()，使得 a,bf(ξ),0. AB3)说明弦平行于轴;条件?、?我们先从几何角度分析定理的含意:条件(x A(a,f(a)))明曲线是平面上一条以两个同高度的点、为端点的连续曲线，?y,f(x)B(b,f(b) ()y是说曲线在内处处有不平行于轴的切线;结论是说在开区间内部必至少有(a,b)a,b AB一点，使得曲线在该点的切线平行于轴，从而平行于弦. 一句话，平面上y,f(x)x y一条以两个同高度的点为端点的连续曲线处处有不平行于轴的切线时，其线内至少有一点，其切线平行于x轴。 定理2(Lagrange中值定理) 设函数满足条件 f(x) ? 在闭区间 [a,b] 上连续; ? 在开区间()内可微，则至少存在一点()， a,b,,a,b 使得 f(b),f(a). ? ,f(),,b,a 我们也先从几何上看Lagrange定理的意义: ?式右端是弦AB的斜率。定理是说，若平 (a,b)面上一条以、为端点的连续曲线y,f(x)在 内处处有不平行A(a,f(a))B(b,f(b)) (a,b)y于轴的切线，则在开区间内部必至少有一点，使得曲线y,f(x)在该点的切线平 AB(a,f(a))(b,f(b))行于弦，即平行于两个端点与的连线 (图3-2) f(b),f(a)y,(x,a)，f(b). b,a y一句话，平面上以A、B为端点的连续曲线弧处处有不平行于轴的切线时，其线内至少有 一点,其切线平行于弦。如果在Lagrange中值定理中增加函数在两端点值相等的条件则AB 结论正是Rolle中值定理的结论。可见，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特例，这又是一个先处理特殊后处理一般情形的例子。因而定理2证明的思路就是将Lagrange中值定理转化到Rolle中值定理上去以获得证明， 定理3(Cauchy中值定理)设函数、满足条件 f(x)g(x) ? 在闭区间 [] 上连续， a,b ? 在开区间()内可微， a,b ? ，，则至少存在一点()， ,,x,(a,b),,a,bg(x),0 使得 ,,f(b),f(a)f(),. ,g(b),g(a)g,() Cauchy中值定理的几何意义在理解为参数方程是与Lagrange中值定理相同。 如果取函数=，Cauchy中值定理就变成Lagrange中值定理了，所以Cauchy中xg(x) 值定理是Lagrange中值定理的推广，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特殊情况(要求);Lagrange中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理。 f(a),f(b) 三:五种方法构造辅助函数 [56],1:几何直观法 此法是通过几何图形考察两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立恰当的辅助函数 ,,(,)ab拉格朗日定理:设函数fx()在[,]ab上连续，在内可导，则存在，使等式(,)ab ,fbfafba()()()(),成立。 ,,, fafb()(),分析:该命题条件不满足罗尔定理条件中的. ,()()(),xfxyx,,但从左图可见满足罗尔定理条件。 11 其中为直线AB的方程且 yx()1 fafb()(), yxfaxa()()(),,，, 1ba, ,()()()xfxyx,,从而可作辅助函数证明本题. 11 证明:如图直线AB方程为 fbfa()(), yxfaxa()()(),，,, 1ba, 作辅助函数 fbfa()(),,()()[()()],xfxfaxa,,，, 1ba, ,,,()(),()bax,容易验证适合罗尔定理条件，在连续，在可导，且 [,]ab(,)ab,()x1111 fbfa()(),,,,()().xfx,, 1ba, ,,,()0,,,,(,)ab由罗尔定理知至少存在一点使即 fbfa()(),,, f(),， ba, 亦即 ,fbfafba()()()(), .,,, 一般来说，凡与的线性式，只要在端点处取值相同，都可取作辅助函数. f(x)x 如下列函数: f(b),f(a) , ,(x),f(x),(x,a)3b,a ,(x),[f(x),f(a)](b,a),(x,a)[f(b),f(a)] , 4 ,(x),f(x)(b,a),x[f(b),f(a)] , 5 都可取作辅助函数。这些函数在[a,b]上都满足罗尔定理的条件，从而可证明拉格朗日定理。 2:行列式法: 经分析认识到罗尔定理是中值定理的特殊情况(区间端点处的函数值相等)。而拉格朗日中值定理又是柯西中值定理当函数gxx(),时的特殊情况。在进一步引导下，会想到三个定理间既然有着内在的联系能否用一个统一的形式加以刻画，从而引出下面的行列式定理。 定理:设函数fxhxgx(),(),()[,]ab(,)ab在上连续，在内可导则至少存在一点,,(,)ab使得 fagaha()()() ,fbgbhb()()()0 ,,,,,,fgh()()() 成立。在上述定理中，当时，便是柯西中值定理。当,且时，便hx()1,hx()1,gxx(),是拉格朗日中值定理，当时，便是罗尔定理。 hxgx()()1,, ,,()ab,例一:设在上连续，在内可导，试证存在使 fx()[,]ab(,)ab 22,2[()()]()(),,fbfabaf,,, . 分析:结论移项为 22,2[()()]()()0,,fbfabaf,,，,,, 即 ,02(),,f21faa()12, 0-2，,fafa()1(),,2, 1fb()1b21()bfb将上述行列式中换为，并求出原函数 Fx()x, 21()xfx 2Fxafa()1(), , 21()bfb 即为要找的辅助函数。 证明:作辅助函数 21()xfx 2Fxafa()1(),, 21()bfb 易验证又Fx()在[,]ab上连续，在内可导且 (,)abFaFb()()0,,, 22,, Fxxfbfafxba()2()()()(),,，,，，， ,F()0,,，,,(a,b)由罗尔定理知，至少存在使即 22,2[()()]()()0,,,fbfafba,,，,, 亦即 22,2[()()]()(),,fbfafba,,,. 3:原函数法 (,) 原函数法的思想: ?将要证的结论中的换为 x., ? 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式, ? 用观察法或积分法求出原函数(等式中不含导数符号)，并取积分常数为0, ? 移项使等式一边为0，另一边即为所求辅助函数. Fx()(2)拉氏中值定理证明中辅助函数的构造:在拉氏中值定理的结论 fbfa()(),,， ,,f()ba, ,,x，中令:则有 fbfa()(),, ,fx().ba, 两边积分得 fbfa()(),， xfxc,，()ba, 取,得 c,0, fbfa()(),， xfx,()ba, 移项得 fbfa()(),， fxx()0,,ba, 故 fbfa()(),， Fxfxx()(),,ba,为所求辅助函数. (3) 柯西中值定理证明中辅助函数的构造.在柯西中值定理的结论中 ,,x令,得 ,fbfafx()()(),, ( ,gbgagx()()(), 若两边同时积分，右端去不含导数符号，为此将上式变形为 fbfa()(),,,gxfx()(),， gbga()(), 积分得 fbfa()(),gxfxc()(),，， gbga()(), c,0,取并移项得 fbfa()(),fxgx()()0,,, gbga()(), 故 fbfa()(),Fxfxgx()()(),,( gbga()(),为所求辅助函数. 在利用中值定理证明相关命题时，我们也可根据上面的思路来构造辅助函数，既先把命 ,[]0,,题结论转化为的形式，据此构造出适当的辅助函数使其符合罗尔定理条件，Fx().x,, 然后利用罗尔定理给出 证明，这就是原函数法，但构造有时尚需一定的技巧. Fx() 例一:设在闭区间上连续，在开区间内可导，且试证:fx()(0,1)ff(0)(1)0,,[0,1] 在开区间内至少存在一点使 (0,1), , ,,,ff()()0.，, Fxxfx()().,,分析:原结论即,因此可直接设显然在上满足Fx(),0,1,[()]0xfx,x,, 罗尔定理，由罗尔定理，在(0,1)内至少存在一点，使 , ,,Fff()()()0.,,,, ,，, 例二:设fx()在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(1)0,, 试证:在开区间(0,1)内至少存在一点使 , kf(),,,,,fk()(0). ,, 分析:原结论变形为 ,,,,fkf()()0,，, 若设 ,,Fxxfxkfx()()().,， Fx()难以构造，考虑乘法求导法则 ,,,()uvuvuv,，, 及导数公式 kk,1,(),xkx, k,将原结论两端同乘以。整理得 kk,1,,,,,fkf()()0,，, 即 k, [()]0.xfx,,,x kFxxfx()(),,设由题设，不难证明结论. [4]4:微分方程法 证明的关键在于如何构造辅助函数，若采用原函数的方法，结论中的代数式非常复杂， 不易求出原函数，故用微分方程的方法. 例一:拉格朗日中值定理: 设函数在上连续，在内可导，则在内至少存在一点，使得 fx()[,]ab(,)ab(,)ab, fbfa()(),,,f()., ba, 分析:由结论发现，将看成变量，则可得到一阶微分方程 x, fbfa()(),, fx(),,ba,其通解为 fbfa()(), fxxc().,，ba, 若将常数c变为的函数cx()，则得到一个辅助函数 x fbfa()(), ， cxfxx()(),,ba, 证明:作辅助函数 fbfa()(),cxfxx()(),,, ba,有 bfaafb()(), cacb()().,, ba, ,则cx()满足罗尔定理的三个条件，故在(,)ab内至少存在一点 fbfa()(),,,,,cf()()0,,,使得 ( ba, fbfa()(),,, ？,f(). ba, [0，)，,例二:设在上连续，在内可导，且 fx()[0,)，, x 0(),,,fx21，x ,,，,[0，)则至少存在一点，使 21,,,f(),. ,22(1)，, 21,x,,fx()0,,,分析:先将看成变量，由结论可化为使即 x22(1)，x x, (())0.fx,,21，x x易知其通解为若将常数c变为的函数，则得到一个辅助函数 cx()xfxc(),,,21，x x. cxfx()(),,21，x 21,xx,,cxfx()(),,,证明:作辅助函数，则数由已知条件cxfx()(),,222(1)，x1，x x得到 0(),,fx21，x xffx(0)0,lim()0,,,且 cxfx()()0.,,,x,，,21，x 21,x,cx()0,cxx()0,(0,),,，,,fx(),若时，则即有. 22(1)，x aa(0),,,，,[0，)，,cxx()0,(0,),,，,ca()0,,若时则必定存在使又cx()在上连 cacbcc()()()0.,,,0,,,,，,bac续，由介值定理，必存在bc,两点，使对cx() ,,,,，,(,)(0,).bcc()0,,[,]bc上使用罗尔定理，则至少存在一点使得，即 21,,,f(),,. 22(1)，, 在上述例子中，将某一客观存在的定值,看成变量x，利用常数变易法的基本思想，将 常微分方程通解中的独立常数c变为关于的函数，我们就可得到待证命题中所需的xcx() 辅助函数.如果在教学过程中恰当的引入此法，对于开拓学生的思路，培养学生分析问题，解决问题的能力和创新能力是有益的.通过微分方程构造辅助函数的步骤如下: (,)先将结论中的值改为，从而得到关于的微分方程. ,xx (,)再求解该方程的通解，并解出常数c. (,)将常数c写成关于的函数,即)就是所需辅助函数. xcx()cx() (,)对辅助函数在给定区间应用罗尔定理，即得结论. cx() 这种构造辅助函数的方法在证明中值命题时很有实用价值，也便于推广应用. 5:常数值法 k ,未必满直接从定理的条件出发开构造辅助函数，较为自然的想法是已知函数yfx,()足.那么能否给添加一个尾项使得添加后的函数满足罗尔定理的三个条fafb()(),fx() 件呢,最简单的尾项是取作，若取,则有为此给添上一个Fxfxx()(),，FaFb()(),xx可伸缩的系数使得出现取辅助函数，从FaFb()(),Fxfxkx()(),，fakafbkb()()，,，中解得 fbfa()(), k,,. ba, fbfa()(),故即为拉氏中值定理证明中的辅助函数。这种引入方式可以Fxfxx()(),,ba, 减少困难易于理解，更重要的是能培养学生的思维能力和创造能力。沿着上述思维方式发展下去，自然会想到若给fx()添加的尾项改为函数gx()会怎样,即取Fxfxkgx()()(),， fbfa()(), k,,,gbga()(),,,则由FaFb()(),可得由所以对gx()再提出要求.gbga()(), ,即在(,)ab内可导且这正是柯西中值定理中的已知条件，故 gx()0,, fbfa()(),Fxfxgx()()(),,( gbga()(), 即为柯西中值定理证明中的辅助函数，事实上易验证Fx()满足罗尔定理的三个条件，对 ,Fx()在[,]ab上应用罗尔定理即得，在(,)ab内至少存在一点，使得F()0,,即 , ,ffbfa()()(),, ,. ,ggbga()()(),, 例一:设函数在上连续，在内可导，证明在 内至少存在一点，fx()[,]ab(,)ab(,)ab, 使得 bfbafa()(),,. ,,,,，ff()()ba, 分析:令 bfbafa()(),， ,kba, 则 bfbkbafaka()(),,,， 为一个关于与的对称式。故可取 ab . Fxxfxkx()(),, 证明:令 bfbafa()(), Fxxfxx()(),,,ba, 则在上连续，在内可导，又从而在上满足罗Fx()[,]abFaFb()()0,,Fx()[,]ab(,)ab ,,,(a,b)尔定理，于是存在一个，使得，即 F()0,, bfbafa()(),, ,,,ff()()0.，,,ba, 亦即 bfbafa()(),,. ,,,,，ff()()ba, ,,(a,b),,a