数学分析是师院数学专业的主修必修课程

数学分析是师院数学专业的主修必修课程 数学分析是师院数学专业的主修必修课程 ,,;, ,.A279 ,,,,,... , Niudown.COM 1 Niudown.COM Niudown.COM Niudown.COM 2 《数学分析》是师院数学专业的主修必修课程，它既是学生学习现代数学的重要 基础课程，也是培养学生数学能力的主要数学课程，这门课程横跨第一、第二、第 三个学期，占用312课时，位列各门课程之首，这门课程的教学质量，对于学生整 体专业水平，占有举足轻重的地位。 为了搞好本课程的建设，深入开展教学改革，为考核和评估提供依据，不断提 高教学质量，我们编写了这份材料，其中包括“《数学分析》对学生专业能力的培 养目标”，“《数学分析》教学目标分类表”以及“《数学分析》教学目标细目”。 这份材料客观而充分地反映了本科院校数学专业《数学分析教学大纲》对学生 知识和能力两方面的要求，详细列出本课程的及能力培养要求，这对于教师 组织教学工作，编制试题，分析教学质量，都是一个重要的依据。 参加这份材料编写工作的有陈克军、钱明忠、张爱武、何新龙、韩诚、姜海波、 李高林、李万斌等老师，采取分类编制，集体讨论定稿，并得到了数学科学学院领 导的大力支持和其他课程组老师的协助。 1 师院教学专业学生的专业能力，主要是应用数学知识分析和解决问题的能力， 具体地说，就是逻辑思维能力，运算能力以及空间想象能力，为了实现学生从高中 生到中学数学教师的转变，从专业上讲，不仅应向学生传授一定量的数学知识，而 目更应加强学生专业能力的培养。 《数学分析》是师院数学专业的主干课程，横跨三个学期，占用三百多课时， 居各门课程之首。该课程以它的系统性、简洁性、实践性而著称，它既是现代数学 的重要基础，又和应用科学联系密切，包含了极其丰富，极其重要的数学知识，数 学方法和数学思想。因此，在该课程中明确对学生专业能力的培养目标，用以指导 教学实践，无疑是十分必要的。 下面先就三个专业能力作一些说明，然后再结合大纲，教材，列出三个专业能 力的能力点。 一、逻辑思维能力 整个数学体系，是严格地按照形式逻辑的规则建立起来的，高等数学是如此， 初等数学也是如此，作为一个合格的中学数学教师，逻辑思维能力是最重要的专业 能力，而这也是师院学生最弱的专业能力。 教学中应加强逻辑思维能力的训练，逐步向学生渗透形式逻辑的基本知识，迅 速使学生养成合乎逻辑的思维习惯，切实让学生掌握数学中常用的逻辑推理方法， 教导学生自觉地按照逻辑思维规律去汲取知识，发现知识。教学中要向学生讲清概 念的来龙去脉，分析命题的条件，结论及其逻辑联系，给出严格的证明，并通过适 当的证明题作业，使学生掌握数学归纳法等直接证明方法，以及反证法，同一法， 归谬法等间接证明方法，让学生经常运用演绎、归纳、分析、综合、类比、假说等 一系列逻辑思维方法，同时，也应逐步向学生介绍函数论中十分精彩的举反例方法， 变量代换方法，辅助函数方法，提高学生分析和解决证明题的能力。 二、运算能力 运算能力对于一个合格的中学数学教师是十分重要的，它包括运算速度和准确 性两个方法，教学中许多老师均感到不少学生运算能力较差，考试中在运算方面失 分较多，必须加强对学生进行运算能力的训练，教学中应适当增加运算的复杂性和 运算量，逐步向学生介绍提高运算速度以及保证运算正确性的各种技巧，巩固学生 在中学学到的各种运算方法，加强学生的恒等变形能力。《数学分析》中包含了各 2 种常用的运算方法及许多计算技巧。 三、空间想象能力 空间想象能力的培养也是不可忽视的。教学中应通过有关概念、命题的几何意 义，几何应用，通过函数与图形的联系，通过空间实物，模型的演示，逐步增强学 生的空间形体观念，不断提高学生的空间想象能力。 以下我们分别列出以上三种能力的能力点，以资教学中参考。 I 一、概念(定义) l、函数概念 2、极限概念 3、一致连续性概念 4、导数概念 5、定积分概念 6、级数的一致收敛性概念 二、判断(命题) 1、反函数存在性条件 2、数列极限的等价定义 3、数列的收敛性与有界性的关系 4、实数连续性的公理 5、数列收敛的柯西准则 6、海涅定理的逆命题 7、实数连续性的几个等价的关系 8、连续性与一致连续性的关系 9、连续性与可导性的关系 10、可导与可微的关系 11、三个微分中值定理之间的关系 12、单调性条件 13、连续性与可积性的关系 14、级数收敛必要条件的运用 15、级数的收敛与绝对收敛的关系 16、函数项级数的收敛性与一致收敛性的关系 3 17、多元函数可偏导与可微的关系 18、曲线积分与路径无关的条件 三、推理与证明 1、反函数存在性定理 2、极限理论 3、函数的连续性 4、微分中值定理 5、实数连续性基本理论 6、闭区间上连续函数的基本性质 7、函数的可积性理论 8、微积分学基本定理 9、函数项级数一致收敛理论 10、函数项级数和函数的分析性质 11、隐函数存在性定理 12、闭回路曲线积分理论 13、含参变量广义积分的一致收敛理论 14、一元理论向多元理论的类比推理 1、函数值的计算 2、函数定义域的计算 3、求数列或函数的极限 4、求函数的导数或偏导数 5、求函数的极值或条件极值 6、求函数的不定积分，定积分，重积分或曲线、曲面积分 7、求函数级数的收敛域，和函数求函数的泰勒级数，傅里叶级数 8、求曲线的切线，法线及弧长 9、求曲面的切平面，法线及面积 10、求立体的体积及侧面积 11、求物体运动的速度，加速度及质量 12、求变力作功 13、求液体压力 4 14、求物体的重心 1、函数与图形的结合 2、导数与切线斜率 3、函数单调性，凹凸性的研究 4、定积分与曲边梯形的面积 5、偏导数与空间曲面的切平面 6、重积分与空间立体的体积 7、相贯体上三重积分的计算 8、柱面、球面坐标的直观演示 最后，我们申明两点： 1、《数学分析》中充满了辩证法，教学中应注意渗透辩证法的变化，发展以及 联系的观点，让学生学会辨证思维方法． 2、学生专业能力的培养，是一项长期而又艰巨的工作，光靠一门课程，一个 教师的工作是不够的，需要全体任课教师通力协作，一丝不苟的努力． 5 类别 代号 分类目标说明 这是本目标分类中的最低层次，应达到以下的要求： 识记 A （1）对所授知识以原有形式存入大脑，并能准确地再现； （2）能应用所记知识进行直接的判断，填空和计算． 在已达识记目标的基础上，应达到以下的要求 （1）理解所授知识的含义，与已接受知识建立联系，使 之系统化； 理解 B （2）了解知识的来龙去脉，弄懂知识形成的思维方法和 逻辑推演过程． 《数学分析》知识极其丰富，学生对知识系统和逻辑结构 的掌握，是至关重要的，这是教学工作的主要目标． 在已理解目标的基础上，应达到以下的要求： （1）能应用掌握的知识，熟练地解答一般难度的计算题 和应用题； 简单（2）能应用掌握的知识，进行简单的、合乎逻辑的推理 C 应用 论证． 《数学分析》知识的掌握程度，总是以解题的形式来检查 的，因此，在教学工作中，应保证学生有足够多的解题实 践． 这是本目标分类中的最高层次，应达到以下的要求： （1）能应用所授知识，解答综合性较强的习题； （2）能将所授知识应用于生产实际，解决实际问题； 综合 D （3）能应用所授知识去获取新知识，建立新知识． 应用 《数学分析》是一门比较成熟，应用性较强的学科，后继 课程很多，教学工作中，注意深、广度上引导学生有余力 的学生． 6 《数学分析》教学目标细目 章目节标序知识点 知识点细目 名等号 称级 第一章 函数 ?1.1 函数概念 1 函数概念 设为实数集，ARA,,,,,如,,xA,按照对应关系R xf，，,1yR与对应，则称对应关系f是定义在数集A C 上的函数，称为函数的定义域，fAfxxA(){()},,A 称为f的值域，记成fAR:,． 2 函数的四则运算 设fAR:,，gBR:,，，则f，的AB,,,g 和、差、积、商分别由以下各式定义： ()()(),fgfxgxxAB，,，,, B ()()(),fgfxgxxAB,,,,, ()()(),fgfxgxxAB,,,,, (/)()/(),fgfxgxxAB,,, 3 函数的三种表示方解析法；（2）表格法；（3） 图像法 A 法 ?1.2 几种特殊的函数 4 有界函数 设函数f在数集上有定义，如果，,,,MxA0,,有 A （?）f，则称在上有界； fxM(),A C （?）fxM(),，则称f在上有上界； A （?）fxM(),,f，则称在上有下界． A 5 三种有界性之间 函数ff在数集上有界当且仅当在上既有上界，又AA B 的关系 有下界． 6 单调函数 设函数,,,xxAxx,,,f在数集上有定义，如果A1212 有 C （?）fxfx()(),f，则称在上单调增加； A12 7 fxfx()(),（?），则称在上单调增加； fA12 （?）fxfx()(),，则称在上严格增加； fA12 （?）fxfx()(),，则称在上严格减少． fA12 7 奇、偶函数 设为一个数集，，有，在数集上f,,xA,,xAAA 有定义，如果， ,,xA B （?），则称在数集上是奇函数； fxfx()(),,,fA （?）, 则称在数集上是偶函数． fxfx()(),,fA 8 周期函数 设有为一个数集，为一非零常数， 若 ,,xA,AL 设在数集上有定义，且有xLA，,,f,,xA,A B ，则称在上是周期函数，称为fxLfx()()，,ffAL 的一个周期． ?1.3 复合函数与反函数 9 复合函数的概念 设的定义域为，的定义域为，且yx,,()zfy,()AB ，则对xGzR,，,,,满足GxAxB,,,,,{()}, C ，从而在上定义了一个函数，称之为函数zfx,(()),G 与的复合函数． zfy,()yx,,() 10 反函数的概念 设由函数，如果满足yfxxA,,(),,,，,yfAxA(), fxy(),,则在fA()上定义了一个函数，称之为函数 C yfxxA,,(),的反函数，记成 ,1,1xfyyfA,,(),()或yfxxfA,,(),()． 11 反函数的存在条件 若函数yfx,()在上严格增加（减少），则yfx,()存A B ,1在反函数，且xfy,()在fA()上也严格增加（减少）． 12 初等函数的概念 由常值函数与基本初等函数（幂函数，指数函数，对数函 数，三角函数，反三角函数），经过有限次四则运算以及A 有限次复合运算所得的函数统称为初等函数． 第二章 极限 ?2.1数列界限概念 13 定义 ,,N若则称,,，,,,,,,0,N,,NnNaa当时，总有n D 数列a{}a收敛于，记成lim()aaaan,,,,或． nnnn,, 14 用定义证明数列极（1） 直接由,解出； B N 8 ,限式 （2） 利用不等式放大，又由找出． N?2.2 收敛数列的基本性质 15 收敛数列极限的唯若数列{}a收敛，则它的极限唯一． nC 一性 16 收敛数列的有界性 若数列{}a{}a收敛，则有界． C nn （1）若 17 收敛数列的保号性 lim,lim,,N,aabbabN,,,，,则nnnn,,,, 当时恒有naN,,，,当时，nnnn,,,, 恒有,则aaNabc时，当时，恒有; C nnn （?）． limlim,limaclbl,,,则nnnnnn,,,,,, 21 单调有界法则 单调有界数列必收敛（取作公理）． C 1n 22 重要极限? ，,e lim(1)C ,,nn 23 柯西准则 数列{}a,,,，,,,0,N,,NmnN当时，收敛 nC （证明待后）． 恒有aa,,,mn ?2.4 函数极限的概念 24 f在[,)a，,上有定义，： lim()fxA,（1）设函数定义 ,,Xx,，, ,,，,,0,X>0,当x时，X； 恒有fxA(),,, C （2）设函数f在(,],,a上有定义，： lim()fxA,x,,, ,,，,,0,X>0,当x时，0,当x时，X恒有fxA(),,, 25 定义 ,,,a（1） 设在的一个去心邻域内有定义f ： lim()fxA,xa, ； ,,，,,,,,0,>0,0当>时，xa恒有fxA(),,, （2） 设f在(,)aha,的一个去心邻域内有定义 ，左极限： (0)h,lim()fxA,,xa, 当时，a-0, C ； 恒有fxA(),,, （3） 设f在(,)aah，的一个去心邻域内有定义 (0)h,，右极限： lim()fxA,，xa, 当时，a0, ． fxA(),,, 极限与单侧极限的 26 lim()lim()lim()fxAfxAfxA,,,,,,，xa,xaxa,,B 关系 用定义证明函数的 27 （1） 由直接求出； X或,fxA(),,, 极限式 B （2） 利用不等式放大，再由,求出． X或, ?2.4 函数极限的基本性质（以xa,的情形为例） 函数极限的唯一性 28 若函数afx()在点存在极限，则极限唯一确定。 C 局部有界性 29 若函数aafx()在点存在极限，则函数fx()在点的某个 C 去心邻域内有界。 设局部保号性 30 lim(),lim()fxAgxB,,xaxa,, (1)如果a，则的某个去心邻域内恒有AB, C fxgx()(),； (2)如果在afxgx()(),的某个去心邻域内恒有，则 10 ． AB, 四则运算法则 31 设 fxAgxBxa(),()(),,, 则（?）； fxgxAB()(),,, C （?）； fxgxAB()(),,, （?）时，． fxgxABxa()/()/(),,B,0 ?2.4 函数极限存在的判别方法（以xa,的情形为例） 设两边夹法则 满足 fxgxhx(),(),() 32 （?）在a的某个去心邻域内恒有； fxgxhx()()(),,C （?），则． lim()lim()fxhxA,,lim()gxA,xaxa,,xa, sinx重要极限? 33 lim,1C x,0x 函数极限与数列极限 34 的充分必要条件是对定义域中任f(x)limf(x),Ax,a 的关系（Heine） 意数列{a}a,a(n,,),a,a，当时，有 nnnC ． limf(a),Ann,, 柯西收敛准则 35 af(x)在点存在极限的充分必要条件是对任意 x,x,,,0,存在，对f(x)定义域中任意当 ,,0C 12 时，总有． f(x),f(x),,0,x,a,,,i,1,212i ?2.7 无穷小与无穷大（以xa,的情形为例） 无穷小的概念 36 如果xa,xa,时，f(x),0，则称f(x)是时的 B 无穷小． 无穷小的简单性质 （1） 37 xa,xa,时的无穷小的和、差、积都时的无 穷小； （2）若xa,af(x)是时的无穷小，而g(x)在的某B 个去心邻域内有界，则xa,f(x),g(x)是时的无穷 小． 极限与无穷小的关系 38 af(x)在点的极限为的充分必要条件是存在A B xa,f(x),A，a(x)的无穷小a(x)，使． 39 设xa,f(x),g(x)为时的无穷小 B 11 ()fxxa,lim,0,（?）若则称时，是比f(x)g(x)x,a()gx 高阶的无穷小，记成． f(x),o(g(x)) ()fx(?) 若xa,lim,0,则称时，与为f(x)g(x)x,a()gx 同阶的无穷小，特别地，当xa,时，称时，f(x)A,1 与为等阶无穷小，记成?． g(x)f(x)g(x) n无穷小的阶 40 若xa,(x,a)时，f(x)与为同阶无穷小，则称 A nf(x)是关于(x,a)的阶无穷小． 等价无穷小代换法 41 若xa,时，f(x)?g(x)，并且 B ，则． limf(x),h(x),Alimf(x),h(x),Ax,ax,a 无穷大的概念 42 设af(x)在点的某个去心邻域内有定义， （?）： lim()fx,，,xa, 恒有fxM(),,,，M0,>0,,； 当时，00,,； 当时，00,,． 恒有fxM(),当时，00,在区间I上有定义，如果 对任意,当时，x,xIxx,,,,1212 C ， 恒有fxfx()(),,,12 则称函数fx()在区间I上一致连续． 一致连续性（Cantor） 113 如果函数fx()在闭区间[,]ab上连续，则称函数fx()定理 [,]ab在闭区间上一致连续．（证明方法：使用有限覆盖C 定理，从,找出通用的） , 第七章 不定积分 ?7.1 概念、公式与法则 设函数原函数概念 114 fx()在区间上有定义，如果存在函数Fx()，I C 使对任何,xIFxfx,,,()()，则称Fx()是函数fx() 23 （在区间I）上的一个原函数． 原函数一般形式 115 若是函数（在区间I）上的一个原函数，则Fx()fx() B 的任意原函数可表成． fx()FxC()，不定积分定义 116 函数的所有原函数，称函数的不fx()FxC()，fx() 定积分．表为．其中，称为fx()fxdxFxC()(),，,D 被积函数，称为积分表达式，称为积分常数． fxdx()C d运算法则 117 （1）[f(x)dx],f(x) ,dx （2）dF(x),F(x)，C , B （3）kf(x)dx,kf(x)dx(k是常数～ k 0) ,, （4） [()()]()()fxgxdxfxdxgxdx,,,,,, 基本积分表 118 (1) kdx,kx，C(k是常数) , 1,,，1(2) xdx,x，C,，,1 1(3) dx,ln|x|，C ,x xax(4) adx,，C ,aln (5) cosxdx,sinx，C , C (6) sinxdx,,cosx，C , 12(7) dx,secxdx,tanx，C ,,2cosx 12(8) dx,cscxdx,,cotx，C ,,2sinx 1(9) dx,arctanx，C ,21，x 1(10) dx,arcsinx，C ,21,x ?7.2 两种积分法 分部积分法 119 设函数,u(x) v(x)及可导，且不定积分 uxvxdx()(),, C ,均存在，则有 uxvxdx()(), 24 ,,uxvxdxuxvxuxvxdx()()()()()(),, ,,．第一换元积分公式 120 设u,(x)在上可导，且，～f(u),[,],,,,,,,,(),[,]xxab（凑微分公式） 在上有定义并具有原函数～ 则有换元公式 [,]abFu()C , ． fxxdxFxC[()]()[()],,,,，,, 第二换元积分公式 121 设x ,,(t)是在[,],,上可导～且（代换法） ,,,,,,,,(),()0tt，f(x)在[,]ab上有定义并有原 函数F(u)～C ,有原函数， Ft()fttdt[()](),,, 则有换元公式 ,1． fxdxFxC()[()],，,, ?7.3 有理函数积分法 有理函数积分法基本 122 求有理函数RxPxQx()()/(),不定积分的基本步骤：步骤 （不妨设Rx()为既约分式） 1、 将Qx()分解成实系数的一次因式和二次不可约因 式的积的形式； C 2、 将PxQx()/()分解成一个多项式与若干个部分分 式之和的形式；（待定系数法） 3、 求出各部分分式多项式的不定积分； 4、 合并所得结果，即得到Rx()的不定积分． Adx四类部分分式的积分 123 1、,,，Axacln ,xa, BdxB1,n2、xacnINn,,，,,(),,2其中， n,xan()1,, B AxBABApxp，,，2223、 dxxpxqc,，，，，ln()arctan2,22xpxq，，244qpqp,, 2其中，40qp,, 25 AxB，240qp,,4、dx其中，，可转n,22n,()xpxq，， dt化为I,我们有递推公式 n22,ta，() tn23,II,，． nn,122212n,2(1)()2(1)antaan,，, ?7.3 简单无理及三角有理式的积分法 124 axb，axb，nnRxRx(,)(,)的积对于的积分（其中nadbc,,,2,0）cxd，cxd， B 分 n只需作代换t=即可将原积分化成有()/()axbcxd，， 理函数的不定积分． 125 22化成以下三种积Rxaxbxc(,)，，Rxaxbxc(,)，，运用配方法，可将 分之一： 的积分 22 Rttdt(,)，,, 22 Rttdt(,),,, B 22Rttdt(,),, , 我们分别作以下三角代换： tatata,,,tan,sec,sin,,,即可化为三角有理式 的积分。 x 126 Rxx(sin,cos)的积我们可做代换t,tan，即可将原积分化成有理函数的2 x分 积分，但使用t,tan，一般较繁，在以下几种情形可2 用其他代换． （1）RxxRxxt=sinx(sin,cos)(sin,cos),,,,用； B （2）RxxRxxt=x(sin,cos)(sin,cos),cos,,,用； （3）RxxRxxt=x(sin,cos)(sin,cos),tan,,,用； nmnm（4）Rxxxx(sin,cos)sincos,, 26 当n为奇数时，可用； t=sinx 当n为偶数时，可用； t=xcos 当m,n都是偶数时，可用倍角公式化简降幂． 第八章 定积分 ?8.1 基本概念与可积条件 设函数f(x)在[a～ b]上有界～ 在[a～ b]中任意插入若干个分定积分定义 127 点 a,x, x, x, , , ,, x, x,b～ 012n,1n把区间[a～ b]分成n个小区间 [x～ x]～ [x～ x]～ , , ,～ [x～ x] ～ 0112n,1n各小段区间的长依次为 ,x,x,x～ ,x,x,x～, , ,～ ,x,x,x, 110221n n n,1在每个小区间[x～ x]上任取一个点 (x, , x)～ 作,,i,1i ii,1 ii函数值f ()与小区间长度,x的乘积 , ii f () ,x (i,1～ 2～, , ,～ n) ～ 并作出和 , ii n S,f(,),x, ,iii,1 记, , max{,x～ ,x～, , ,～ ,x}～ 如果不论对[a～ b]怎样分12nD 法～ 也不论在小区间[x,～ x]上点 怎样取法～ 只要当,i1i i ,,0时～ 和S 总趋于确定的极限I～ 这时我们称这个极 b限I为函数f (x)在区间[a～ b]上的定积分～ 记作～ f(x)dx,a nb即 f(x)dx,limf(,),x, ,ii,a,,0i,1 其中f (x)叫做被积函数～ f (x)dx叫做被积表达式～ x叫做积分变量～ a 叫做积分下限～ b 叫做积分上限～ [a～ b]叫做积分区间,． 如果当时，和不存在极限，则称函数f(x)在区,,0S 间[a～ b]上不可积． 可积条件 如果函数f(x)在区间[a～ b]上可积，则函数f(x)在区间[a～ 128 B b]上有界，其逆不真． 小和与大和（达布和） 设函数f(x)在区间[a～ b]上有定义且有界，对[a～ b]做分割 129 T：a,x, x, x, , , ,, x, x,b，记 012n,1n mfxxxx,,inf{()[,]},kkk,1 ，令 Mfxxxxkn,,,sup{()[,]},1,2,,kkk,1B nn sTmxSTmx(),(),,,,ST()，称sT()和kkkk,,kk,,11 为函数f(x)相对于分法T的小和和大和。（统称为达布 27 和） 达布和的性质 139 （1） 对于分法任意T，有 sTST()(),,, （2） 对于分法任意T，有 n sTfxxx()inf{()[,]},,,,,, kkkkk,,1k,1 n STfxxx()sup{()[,]},,,,,； kkkkk,,1k,1B （3） 设T是[a～ b]的一个分法，,是T的基础上加T 入新分点构成的，则,,,sTSTSTST()(),()(),,； （4） 对[a～ b]的任两个分法T，,，有sTST()(),； T （5） 我们总有sup{()}inf{()}STST,． TT 可积准则 函数f(x)在区间[a～ b]上可积的充要条件是 131 B ． lim[()()]0STsT,,,,0 可积函数类 1、 若函数f(x)在区间[a～ b]上连续，则函数f(x)在区间[a～ 132 b]上可积； 2、 若函数f(x)在区间[a～ b]上单调，则函数f(x)在区间[a～ B b]上可积； ３、若函数f(x)在区间[a～ b]上有界，且仅有有限个间断 点，则函数f(x)在区间[a～ b]上可积． ?8.2 定积分的性质 线性性质 133 1、bbb[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx,,, ,,,aaa C bb2、kfxdxkfxdx()(),, ,,aa 积分区间的可加性 134 ,、如果f(x)在区间[a～ b]上可积，而[,][,]cdab,，则 f(x) 在[,]cd上可积． C 如果f(x)在区间[a～ c]，[,]cb上可积，则f(x) 在区间[a～ b] bcb上可积且f(x)dx,f(x)dx，f(x)dx． ,,,aac积分的保号性 5、如果f (x)在区间[a～ b]上可积，且对 f (x),0～ 则 135 C 28 b(a,b)． f(x)dx,0,a 积分不等式 6、如果f (x),g(x)在区间[a～ b]上可积f (x), g(x) 则 136 bb(a,b), f(x)dx,g(x)dx,,aa C 7、如果f (x)在区间[a～ b]上可积,，则函数在f (x)fx() bb上可积，且 |f(x)dx,||f(x)|dx,,aa 8、如果函数f(x)在闭区间[a～ b]上连续～ 则在积分区间积分中值定理 137 [a～ b]上至少存在一个点, ～ 使下式成立: b ,． f(x)dx,f(,)(b,a),a 9、如果函数f(x)， g(x)在闭区间[a～ b]上连续～ g(x)在区C 间[a～ b]上不变号，则在积分区间[a～ b]上至少存在一个 点, ～ 使下式成立: bb fxgxdxfgxdx()()()(),,． ,,aa ?8.3 定积分的计算 如果函数f(x)在区间[a～ b]上连续～ 则函数微积分学基本定理 138 x,(x),ftdt()在[a～ b]上可导～ 并且,a D xd,,(x),f(t)dt,f(x)(a,x