第三章附录相关系数r的计算公式的推导

第三章附录相关系数r的计算公式的推导 相关系数r的计算公式的推导 AB 设A、B分别表示证券A、证券B历史上各年获得的收益率;、分别表示证券A、ABii 证券B各年获得的收益率的平均数;P表示证券A和证券B构成的投资组合各年获得的收i 益率，其他符号的含义同上。 122= (A,A),,iAn,1 122= (B,B),,iBn,1 1122=(P,P) ,,,iiPn,1n 112 = [(AA，AB),(AA，AB)],,AiBiAiBin,1n 12 =[(AA，AB),(AA，AB)] ,AiBiABn,1 12 =[A(A,A)，A(B,B)] ,AiBin,1 12222 =[A(A,A)，A(B,B)，2AA(A,A)(B,B)] ,AiBiABiin,1 22()(B,B)2AA[(A,A)(B,B)]A,A,,,iiABii22，×× =A，ABA1n,1n,1n, [(A,A)(B,B)],ii2222，A，2AA， =A,, AABBABn,1 对照公式(1)得: [(A,A)(B,B)],ii,,,rABABn,1 22(A,A)(B,B),,ii=×× r ABn,1n,1 [(A,A)(B,B)],ii? r= AB22(A,A)，(B,B),,ii这就是相关系数r的计算公式。 AB 投资组合风险分散化效应的内在特征 1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合(即风险最小)时各证券投资比例的测定 公式(1)左右两端对A求一阶导数，并注意到A=1—A: ABA 222,,,,()′=2 A,2 (1,A)，2 (1,A) r,2A r ,,,ABABAAAABAABPAB 22令 ()′= 0 并简化，得到使取极小值的A: ,,APP 2,,,,rBABABA= „ „„„„„„„„„„„„„(3) A22,，,,2,,rABABAB 式中, 0?A?1,否则公式(3)无意义。 A22由于使()′=0的A值只有一个，所以据公式(3)计算出的A使为最小值。 ,,AAPP 以上分析清楚地说明:对于证券A和证券B，只要它们的系数r适当小(r的“上ABAB限”的计算，本文以下将进行分析)，由证券A和证券B构成的投资组合中，当投资于风险较大的证券B的资金比例不超过按公式(3)计算的(1—A)，会比将全部资金投资于风险A 较小的证券A的方差(风险)还要小;只要投资于证券B的资金在(1—A)的比例范围内，A随着投资于证券B的资金比例逐渐增大，投资组合的方差(风险)会逐渐减少;当投资于证券B的资金比例等于(1—A)时，投资组合的方差(风险)最小。这种结果有悖于人们的A 直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。按公式(3)计算出的证券A和证券B的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券A和证券B的各种投资组合中方差(亦即风险)最小的投资组合。