[经济学]高数习题集

[经济学]高数习题集 第四章 不定积分与定积分 4.1 不定积分 一、学时: 二、教学要求: 不定积分的定义:原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘。不定积分的求法; (1)理解原函数、不定积分的定义及关系; (2)熟记不定积分的基本公式，会不定积分的加法数乘运算; (3)会换元积分法:第一换元法、第二换元法; (4)分部积分法:理解分部积分法的推导，能用分部积分法求一些型不定积分。 重点:原函数、不定积分的定义及关系，不定积分的基本公式，不定积分的加法数乘运算，第一换元法、 第二换元法，分部积分法 难点:第一换元法、第二换元法，分部积分法 三、教学内容: 第二章讨论了如何求一个函数的导数(微分)问题，现在来讨论它的逆问题，即要由一个函数的已知导数(微分)，求原来的函数问题，即求不定积分. 4.1.1 不定积分的概念与性质 f(x)F(x)定义1 设是定义在某区间上的已知函数. 若存在一个函数,对于该区间上每一点都满 F'(x),f(x)dF(x),f(x)dxF(x)f(x)足:或,则称是 在该区间的一个原函数. 222f(x),2x例如 已知,由于满足 ,所以是F(x),xF'(x),(x)',2xF(x),x 222x，1,x,1,x，10f(x),2xf(x),2x的一个原函数. 同理，等也都是的原函数. F(x)f(x)F(x)，C由此可知，已知函数的原函数不止一个. 若是的一个原函数，则 f(x)F(x)G(x)f(x)，，也是的原函数.且若,都是的原函数则C为任意常数 ,,F(x),G(x),C，知,即它们仅相差，，F(x),G(x),F'(x),G(x),f(x),f(x),0 F(x)f(x)f(x)F(x)，C一个常数.因此，若是的一个原函数，则的所有原函数可以示为 1 . ，，C是任意常数 定义2 函数f(x)的所有原函数，称为函数f(x)的不定积分，记作其中f(x)称为被f(x)dx, 积函数，f(x)dx称为被积表达式，称为积分变量，“”称为积分号. x, F(x)f(x)显然，若是的一个原函数，则由定义2可知其中C是任意常f(x)dx,F(x)，C,数. f(x)f(x)F(x)因此，求函数的不定积分，只需求出的一个原函数,再加上任意常数C即可. 例如 23 3xdx,x，C，，C为任意常数, sinxdx,,cosx，C，，C为任意常数, xx edx,e，C，，C为任意常数, 1f(x),例1 求函数的不定积分 x 1(lnx)',解 (1)当时， x,0 x 1，，dx,lnx，Cx,0 所以 ,x (2)当时， x,0,x,0 11,,,,xxln(,),.(,), x xx, 1，，dx,ln,x，C(x,0) 所以 ,x 合并(1)(2)两式得到: 1dx,lnx，C(x,0) ,x 由不定积分的定义即可知不定积分具有如下性质: 1. 求不定积分与求导数或微分互为逆运算 ,，，,,f(x)dx,f(x)dfxdxfxdx()(),(1) 或 ,,，， ,F(x)dx,F(x)，CdF(x),F(x)，C(2) 或 ,, 2 2. afxdxafxdxa()()(0),,,, ,,，，，，因为af(x)dx,af(x)dx,af(x)，说明是的原函数. afx()af(x)dx,,,3. fxgxdxfxdxgxdx()()()(),,,,,,,, ,,, 因为 fxdxgxdxfxdxgxdxfxgx()()()()()(),,,,，，，，，，，,,,, 故有两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，这个公式可以推广到任意有限多个 函数的代数和的情况. 4.1.2 基本不定积分公式 由导数的基本公式对应地可以得到下面基本不定积分公式. (1)kdx,kx，C (为常数) C, 1,,，1(2) ，，xdx,x，C,,,1,，1, 1dx,lnx，C(3) ,x xx(4)edx,e，C , xax(5)，， adx,，Ca,0且a,1,lna cosxdx,sinx，C(6) , sinxdx,,cosx，C(7) , 12dx,secxdx,tanx，C(8) ,,2cosx 12dx,cscxdx,,cotx，C(9) ,,2sinx sectansecxxdxxC,,，(10) , csccotcscxxdxxC,,,，(11) , 3 1dx,arctanx，C(12) ,21，x 1(13) dx,arcsinx，c,21,x 2例2 求 (x，2x，5)dx, 1232,xdx，2xdx，5dx,x，x，5x，C解 原式. ,,,3 注意 这里三个不定积分本来应该有三个任意常数，经过代数和之后，只要用一个任意常数即已足够. 下面类似情况就不特别加以说明. x(x,3)dx例3 求 , 331 222解 原式 ,(x,3x)dx,xdx,3xdx,,, 31，1，11122 3 ,,x,,,x，C3111，， 22 53222 ,x,2x，C 5 2例4 求tanxdx , 22解 原式,(secx,1)dx,secxdx,1dx ,,, ,tanx,x，C ,R(Q),300,3QQ例5 设某厂生产某种商品的边际收入为 ，其中为该商品的产量，如果该 产品可在市场上全部售出，求总收入函数. ,R(Q),300,3Q解 因为，两边积分得 ,R(Q),R(Q)dQ,(300,3Q)dQ ,, 32300,Q,Q，C 2 32R(Q),300Q,QQ,0R(0),0又因为当时，总收入，从而. 所以总收入函数为. C,0 2 4 4.1.3 不定积分的几何意义 若y,F(x)F(x)是f(x)的一个原函数，则曲线称为f(x)的一条积分曲线，将其沿轴方y向任意平行移动，就得到积分曲线族. 在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，这些切线都是相x 互平行的，如图4.1. y 0x0x 图 4.1 不定积分f(x)dx在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程为, y,F(x)，C. 2，，，，x,y1,3例6 求过点且在点处切线斜率为的曲线方程. 3x 2,,y,F(x)解 设所求曲线方程为，因为，由不定积分定义，有 y,F(x),3x 23F(x),3xdx,x，C , 3，，1,3因所求的曲线过点，代入得到. 于是所求的曲线方程为. y,x，2C,2 4.1.4 不定积分换元法和分部积分法 利用基本不定积分公式及性质只能求一些简单的不定积分，对于比较复杂的不定积分，我们需要进一步方法，下面简单介绍第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法，详细可参阅参考书[1]、[2]. 应该指出现在许多数学软件，如Mathematica ，Matlab等都具有求不定积分功能，读者可以借助数学软件求不定积分，也可以通过查积分表求不定积分. 5 1. 第一类换元积分法 例7 求 cos(3x，1)dx, 11x,(u,1),dx,du解 选择新变量，则 u,3x，1 33 11,cosu,du,sinu，C原式 ,33 1,sin(3x，1)，C 3 第一类换元积分法主要在于选择新的变量u,,(x)其中为连续可导的, 原不定积分转换为可以,()x使用基本不定积分公式. 为选择好新的变量,往往把原不定积分被积表达式凑成微分的形式，便于f(x)dx使用基本公式，求出积分后，再还原为原积分变量. 3例8 求(2x，4)dx , 凑微分变量代换11333(24)24(24)x，dx,(x，)dx，,udu解 ,,,u,x，2422 还原11143，1，，,,u，C,2x，4，C 21，38 2xxedx例9 求 , 凑微分变量代替2211xx2uxedx,edx,edu解 ,,,2,ux22 还原211ux,e，C,e，C 22 2. 第二类换元积分法 ，，u,,x第一类换元积分法是选择新变量，但对某些不定积分，则需要作相反的代换，即令 ，其中,()t是连续可导的，以使积分化为能使用基本公式. 该类变量替换公式由于要求出t关于xt,,，， xt,,()的表达式，所以还须存在反函数. x xx，1dx例10 求 , 2t,x，1x,t,1解 令，则， dx,2tdt 6 242，，， 原式 ,t,1,t,2tdt,2(t,t)dt,, 5322225322 ,t,t，C,(x，1),(x，1)，C 5353 1例11 求 dx,1，x 2t,x解 令，则, x,tdx,2tdt 1t,,2,2tdtdt原式 ,,1，1，tt ，,1t11,,,2dt2(1)dt ,,，，1t1t ，， ,2t,ln1，t，C ，，,2x,ln1，x，C 3. 分部积分法 设函数有连续导数，由 uuxvvx,,(),() ,,, uvuvuv,，，， ,,,得 uvuvuv,,，， 两边求不定积分，得 ,, uvdx,uv,uvdx ,, 为便于应用，上式可写成 udv,uv,vdu ,, ,,这就是分部积分公式. 如果求uvdx有困难，而求uvdx较容易时，我们就可以利用分部积分公式. ,, lnxdx例12 求 , 令u,lnx,v,x ,lnxdxxlnx,xdlnx解 (利用第二个公式) ,, 1,x,lnx,x,dx ,x ,xlnx,x，C xxedx例13 求 , 7 xuxve令,,,xxxxxedx,xde,xe,edx解 (利用第二公式) ,,, xx ,xe,e，C x例14 求 exdxsin, xxxx解 (分部积分法) exdxxdeexedxsinsinsinsin,,,，，，，,,, xxxx ,,,,exexdxexxdesincossincos,, xxx (分部积分法) ,,，exexedxsincoscos, xxx ,,,exexexdxsincossin, x由于上式右端的第三项就是所求的积分，将它移到等式左端去，两端再同除以2，即得 exdxsin, xx1exdxexxC,,，sinsincos ，，,2 四、练习 1. 求下列不定积分 56(1)xdx (2)(2)xdx， ,, x,31(3)，dx(3)2dx (4) ,,x 2x,2，，3dx(5)xxdx,5; (6) ，，,,x 2xx，，32x2()，dx(7) (8) dx,,x3x 2. 求下列不定积分 3253xdx，(32),xdx(1); (2) ，，,, 23，x2,xedxedx(3); (4) ,, 2xxdxsin2，cossinxxdx(5); (6); ，，,,3. 求下列不定积分 1xxdx，2 (1); (2) dx,,3，x4. 求下列不定积分 22xxxdxlnxedx (1); (2) ,, 8 x(3); (4) ln3xdxexdxcos,, 2,xf(x)dx,xe，C5. 若，求f(x) , ，，6. 一曲线位于第一象限并过点，且过曲线上任一点的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程. e,2 ,,7. 设某企业生产某产品，其边际成本与日产量(千克)关系为:(美元/千克)，其固定xCCx,，5成本为2000美元，试求成本函数. 4.2 定积分的概念与性质 一、学时: 二、教学要求: 定积分的概念与性质:定积分概念、几何意义、基本性质 (1)解定积分的几何意义，理解其定义。 (2)了解定积分性质的简单说明(用定义简单推导或用几何直观图说明并会用这些性质)。 (3)理解定积分在解成本问题中的意义。 重点:定积分的几何意义，定积分在解成本问题中的意义 难点:定积分在解成本问题中的意义 三、教学内容: 4.2.1 定积分概念实例之一 :面积问题 2例1 如图4.2(a),如何求由曲线,轴以及直线x,1,x,5所围成的平面xf(x),0.25x，1 图形面积, 22f(x),0.25x，1f(x),0.25x，1 yy 5 A 405312xx015 9 (a) (b) 22f(x),0.25x，1f(x),0.25x，1yy 55 440505331122xx (c) (d) 图 4.2 AAA,,所求图形简称为，其面积不妨称为面积. 为了逼近面积我们第一步是把区间四等分，每1,5 5,1个小区间的长度，在每个小区间的左端点取对应的函数值作为矩形高度. 这样在曲线下方,x,,1 4 AA就有4个矩形，这4个矩形面积之和称为左和在一定程度逼近面积，但比面积小，如图4.2(b)L4 所示. 具体数值计算如下: L4 L,f(1),1，f(2),1，f(3),1，f(4),1 4 ,1.25，2.00，3.25，5,11.5 A现在我们在原来分割的基础上，取每个分割小区间的右端点作为矩形高度，如此我们得到覆盖住的 AA4个小矩形，其面积之和称为右和，也在一定程度上逼近面积，但比面积大，如图4.2(c)所示. R4 R具体数值计算如下: 4 R,f(2),1，f(3),1，f(4),1，f(5),1 4 ,2.00，3.25，5.00，7.25,17.5 A,,上述利用区间1,5四等分，构造4个矩形，用其面积来逼近图形面积显然是太粗糙了. 我们可以把区间 A,,,,1,5在原来四等分基础上进一步细分，例如把区间1,5十六等分，构造16个矩形来逼近图形，见图4.2(d)其右和、左和对应的结果计算如下; 5,1,x,,0.25 16 L,f(1),x，f(1.25),x，？，f(4.75),x,13.59 16 10 R,f(1.25),x，f(1.50),x，？，f(5),x,15.09 16 显然有 13.59,L,图形A的面积,R,15.09 1616 A为了使逼近更精确，还可以把区间,,一百等分，构造100个矩形来逼近图形，其左和与右和通过1,5 计算机编程计算得 14.214,L,图形A的面积,R,14.454 100100 LR上述逼近的误差也可以估计，以和为例计算如下: 100100 51,(5)(1)L逼近的误差,图形A面积,L,f,f, 100100100 ，， ,7.25,1.25，0.04,0.24 51,(5)(1)R逼近的误差,图形A面积,R,f,f, 100100100 ，， ,7.25,1.25，0.04,0.24 ,,一般来说，我们可以把区间等分，分点为,记1,5n1,x,x,x？,x,5012n A,x,x,x，构成左和与右和来逼近图形面积如下: iii,1 n L,f(x),x，f(x),x，？，f(x),x,f(x),x左和: ,0112,1,1nnnkk,1k n R,f(x),x，f(x),x，？，f(x),x,f(x),x右和: ,1122nnnkk,1k 5,124LRALRff(或)逼近的误差,图形面积,(或),(5),(1),, nnnnnn因此，与 时有 n,, n A,limL,limf(x),x图形的面积 ,,1nkk,,,,nn,1k n ,limR,limf(x),x ,nkk,,,,nn,1k ，，f(x),0y,f(x)可以把上面方法进一步拓展到由连续曲线 , 轴及直线x,a,x,b所围x 11 成平面图形，称其为曲边梯形. 现在计算曲边梯形面积(如图4.3). 可以仿照上面的方法，但在区间分A 割及在小区间取点方式上进行改进，以使之更一般化或逼近的更好. 具体分如下四个步骤; yy=f(x) (1)分割 a,x,x,？,x,x,b 用分点01n,1n ,,把区间a,b任意分成个小区间 n [x,x],[x,x],[x,x],？,[x,x] 011223n,1n 每个小区间的长度为 ,x,x,x(i,1,2,？n)iii,1 a=xn=bx0xn-1x0 xx,iii,1对应地，把曲边梯形分成个小曲边梯形 n 图 4.3 ,A(i,1,2,？n),这里区间分割与前面不同的 i 是每个小区间的长度不一定相等. ,A[x,x],[x,x](2)近似代替 对于第i个小曲边梯形，在小区间上任取一点，得到以为ii,1iii,1i f(,),Af(,),x底 ，为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，即 iiii ，，,A,f(,),xi,1,2,？,n iii [x,x][x,x],这里应当注意 此处是在区间上任意取一点，前面例子仅在的左端点或右端点来取. i,1iii,1i ,,[x,x]f(x)a,b由于在 上连续的，不论在上取哪一点，都不影响下面所构造的和的极限. i,1i (3)求和 A得个小矩形面积求和，如图4.3中阶梯形的面积，即得曲边梯形面积的近似值如下 n A,f(,),x，f(,),x，？，f(,),x 1122nn n ,f(,),x ,iii,1 (4)取极限 ,,a,b,,max{,x}当分点数无限加大时，小区间中最大区间长度记为,当，时(即所有n,,0i1,i,n 12 n A分割的小区间都趋于)，和式的极限便是曲边梯形的面积，即 f(,),x0,iii,1 n A,limf(,),x,ii,,0i,1 注意 一般曲边梯形面积若能求得，则由任意连续曲线围成的图形面积就可以求得. 如图4.4所示， L把曲线围成的图形分割六小块，编号为1至6号，其中2号与5号即是前面所说的曲边梯形的特例，1、3、4、6号为曲边三角形，是曲边梯形的特例.，也可以用计算曲边梯形面积的方法来计算其面积. 321 645 图 4.4 4.2.2 定积分概念实例之二:成本问题 例2 某公司对其产品成本变化情况，测得如下关系式 xF(x),500,, (元/单位产品) 0,x,900 3 f(x)其中表示该产品生产的数量，表示当产品数量为时再增加一个单位产品时所增加的成本(即边xx 际函数). 试求当产品从300件增加到900件时该公司所增加的成本. C 如同第二章有关边际函数描述那样，在经济和商务中所遇见函数自变量往往仅取正整数值，其函数值也是离散的，为数学处理上方便，我们将其连续化，转化成具有连续导数的函数来处理. 这时许多结果只能看作是近似的，但不影响对实际问题的. 下面叙述中，我们常略去“近似”二字. ,,300,900该公司产品产量从300件增加到900件，因此将其连续化，考虑作为考察区间，在这个区间内插入个分点 n 300,x,x,x？,x,x,？,x,x,900 012i,1in,1n 13 考虑产量从x增加到x时所增加的成本，由于fx()作为边际成本在x的值表示当产量为x时增i,1ii,1i,1i,1 加单位产量所增加的成本. 当产品数量增加,x,x,x单位时，所增加成本为fxx().,.因此，iii,1ii,,11 n 当产量从x,300增加到x,900时，所增加的总成本为 . f(x),x,0ni,1i,1i ，并令时，所增加的总成本可表示为 为了更精确估计，同样可设,,max,x,,0Cii n . lim()fxx,,,1ii,,0,1i 4.2.3 定积分的概念 前两段我们引进了两个例子涉及不同的领域，但都引导出求类型相同的和的极限问题. 还有许多实际问题诸如求直线变速运动的总路程，变力作功，水对水坝的总压力，某企业总产量、总利润、总收益、. 旋转体的体积等都可以归结为求此类型和的极限. 在数学上称之为定积分问题. 为此，抽象地给出如下数学定义. ,,定义1 设函数f(x)在区间a,b上有界，任意用分点 a,x,x,？,x,x,b01n,1n ,,把区间a,b分成个小区间 n [x,x],[x,x],[x,x],？,[x,x], 011223n,1n [x,x],在每一个小区间上任取一点，作和 i,1ii n f(,),x ,ii,1i 称为积分和，记小区间中最大区间长度为,,max{,x}，如果当时，上述和式的极限存在，则,,0i1,i,n b,,,,f(x)a,bf(x)a,b称函数在区间上可积，并称此极限值为在区间上的定积分，记为,f(x)dx,a即 nbf(x)dx,limf(),x, ,,iia,,0,1i ,,f(x)dxf(x)a,b其中““称做积分号，称做被积函数，称做被积表达式，称做积分变量，区间x, 称做积分区间，a与分别称做积分下限与积分上限. b 14 A根据定积分定义，前二段所举的例子中，例1中曲边梯形的面积是函数y,f(x)(f(x),0)在 ,,上的定积分，即 a,b b, A,f(x)dx,a 900 例二中当产品产量从300件增加到900件时所增加的成本为， C,F(x)dx, 300 关于定积分的定义，有以下几点说明 b,,,,(1)函数在区间上可积是指定积分存在，即不论对区间怎样划分及f(x)a,ba,bf(x)dx,a n ,,点如何选取，当,,0时，和式的极限值都唯一存在，可以证明(证略)在上连续,a,bf(,),x,iii,1i ,,的函数必定在区间上可积. f(x)a,b ,,有关，而与积分变量用何字母表示无关，(2)定积分表示一个数值，它只与被积函数及积分区间a,b下面积分变量分别用，其定积分表示式实际都是一样的. x,u,t,w bbbb f(x)dx,f(u)du,f(t)dt,f(w)dw,,,,aaaa (3)在定义中曾假定，为今后应用方便，规定 a,b ba(i) (换限变号) f(x)dx,,f(x)dx,,ab a(ii) f(x)dx,0,a bf(x),0y,f(x)(4)由前面叙述可知，当时，定积分的几何意义是表示由曲线,f(x)dx,a ,,f(x)a,b直线 与轴所围成曲边梯形的面积，但当在区间上的值有正有负时，定积分x,a,x,bx by,f(x)在几何上表示曲线，直线与轴围成的在轴上方和下方曲边梯形面x,a,x,bxxf(x)dx,a 积的代数和，其中轴上方的面积为正，轴下方的面积为负，例如由图4.5所示，则有 xx b f(x)dx,S,S，S,123a 15 y yfx,() S1 S3 ab0xS2 图4.5 4.2.4 定积分的基本性质 f(x)g(x)下面定积分的性质均假定,为可积的， 性质1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即 bbb [f(x),g(x)]dx,f(x)dx,g(x)dx,,,aaa此性质可推广到有限多个函数代数和情形. 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即 bb (是常数) kf(x)dx,kf(x)dxk,,aa 性质3 对任意点，有 c bcb f(x)dx,f(x)dx，f(x)dx,,,aac 该性质又称为定积分的积分区间可加性. ,,,,性质4 如果f(x)在区间a,b上连续，则在区间a,b上至少存在一点，使得 , b f(x)dx,f(,)(b,a),a 该性质又称为积分中值定理. ,,a,b以上性质的证明均可参见[1],[2]，这里证略. 对于积分中值定理，特别指出其几何意义是在上至 ,,y,f(x)a,b少存在一点，使得以区间为底边，以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同底边而高为, f(,)的矩形面积. 见图4.6所示. 16 y f(,) ,x 0ab 图 4.6 1b,f(,)f(x)dx其中 又表示连续曲线f(x)在闭区间上的平均高度，即函数,,a,b,a,ba 在区间上的平均值. 这是有限个数算求平均值概念的推广，在实际中经常遇到. f(x),,a,b 例3 平均价格 已知需求函数为 ,0.05x (单位:元) p,D(x),100e ,,40,60试求出在区间平均价格的表示式. x ,,40,60解 在区间平均价格记为p，则 16060,x,x0.050.05p,,100edx,5edx ,,404060,40 4.3 微积分基本定理 一、学时: 二、教学要求: 微积分基本定理:变上限函数、牛顿,莱布尼兹公式 (1)了解变上限函数及牛顿,莱布尼兹公式的推导*; (2)理解牛顿,莱布尼兹公式的实质(会用实例说明)，会熟练正确的利用公式求定积分。 重点:变上限函数，牛顿,莱布尼兹公式 17 难点:牛顿,莱布尼兹公式的推导* 三、教学内容: ,,函数f(x)在上的定积分是用和的极限来定义的，如果直接去求这个和的极限往往是困难的，a,b 有时甚至求不出. 如何寻找计算定积分简便而有效的方法就成为解决有关实际问题的关键. 4.3.1 基本思路 ,,f(x)先来探讨一下寻找求定积分简便方法的基本思路. 为计算函数在a,b上的定积分b，当年的数学家避开从和的极限出发来计算，而是考虑从定积分的直观几何意义出发. 不妨设f(x)dx,a bf(x),0f(x)(注:对于一般情形，以下推理和结果仍然成立). 计算就化为求曲线f(x)dx,ay,f(x)，轴及直线与直线所围成的曲边梯形面积. 让这个面积产生一些变化，我们xx,ax,b yfx,()试图从面积的变化中找规律. 为此，先研究在上所构成曲边梯形的面积(如图4.7ax,ABxa,, (a)). yyy=f(x)y=f(x) B A xaxxabbxxx,，, (a)(b) 图 4.7 ，，Ix曲边梯形的面积是的函数，记为，即 xABxa x Ixftdt()(),,a ，，，，IxIx通常称函数为变上限定积分，为了找到变化的规律，让自变量取得改变量，则对应的面x,x ，，Ix积函数就取得改变量 18 x，,xx ,I,I(x，,x),I(x),f(t)dt,f(t)dt,,aa xx，,xx ,f(t)dt，f(t)dt,f(t)dt,,,axa x，,x ,f(t)dt,x ,I,,[x,x，,x]改变量即为图4.7(b)中阴影部分面积，由积分中值定理知存在 (注:当,x ,,[x，,x,x],I,f(,),,x为负时，应为)，使得 由此我们可发现如下规律: ,I,f(),，,,[x,x，,x] ,x 令 得 ,x,0 ,，，，，f(x),I(x)(？f(x)是连续的，有limf,,fx) ,x,0 I(x)f(x)f(x)F(x)亦即变上限定积分是被积函数的一个原函数. 设的一个原函数为，则有 I(x),F(x)，C (为待定常数) C I(a),0C,,F(a)由 知 xI(x),F(x),F(a)因此 或 f(x)dx,F(x),F(a),a b令，即求得定积分. f(x)dx,F(b),F(a)x,b,a 4.3.2 微积分学基本定理 下面把上述思路加以整理，写为定理及证明如下: ,,f(x)F(x)f(x)a,b定理1 设函数在区间上连续，如果是的一个原函数，则 b f(x)dx,F(b),F(a),a xf(x)证 令这是被积函数为的变上限定积分，前一段分析中已证明I(x),f(t)dt,,a ,I(x),f(x)f(x)f(x)，即变上限定积分的导数等于被积函数. 因此变上限定积分是被积函数的一 F(x)f(x)I(x)F(x)也是的一个原函数，因此与仅相差一个常数，个原函数. 由基本定理的条件，C即 I(x),F(x)，C 19 x所以 f(t)dt,F(x)，C,a ax,a令 得 F(a)，C,f(t)dt,0,a 因此 C,,F(a) x所以 f(t)dt,F(x),F(a),a 再令 得 x,b bb 或 f(t)dt,F(b),F(a)f(x)dx,F(b),F(a),,aa 该公式称为牛顿——莱不尼兹公式，它揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的联系，也为定 b,,f(x)F(x)积分的计算提供了有效的计算方法，即只需求出在区间a,b上的一个原函数f(x)dx,a F(b),F(a)然后计算即可， 牛顿—莱不尼兹公式也可记为 bb f(x)dx,F(x),F(b),F(a),aa , 2例1 sinxdx,0 ,,,22解 sinxdx,[,cosx]|,(,cos),(,cos0),1,o02 52例2 计算 xdx,0 533350125x52,,,,解 xdx,033330 下面来求前面几节例子中所出现的定积分 2x,1,x,5例3 计算在4.2.1中例1所给的由曲线，轴以及直线所围成xf(x),0.25x，1的平面图形面积. A解 所求面积记为面积 则 53x52A,(0.25x，1)dx,(0.25,，x) ,131 20 1251,0.25，，5,(0.25，，1) 33 43,,14.333 3 注 这里所求的面积是准确值，而且计算非常便利. 在前面我们借助计算机为工具，构造100个小矩 A形来通近面积，也仅得到 14.214,A面积,14.454 由此可见微积分学基本定理的威力. 例4 计算在4.2.2中例2所提出的当产品产量从300件增加到900件时，公司增加的成本C. 解 在4.2.2中例2中所增加的成本已表示为和的极限，实际上是下面的定积分: 900x C,(500,)dx,3300 9002,x,,500x,,, ,,6,,300 900，900300，300,(500，900,),(500，300,),180000 (元) 66 例5 试求4.2.4中例3的平均价格 ,60,0.05xP,5edx解 ,40 60,x0.05e,5, ,0.0540 ,3,2,,ee,,5,,, ,,0.050.05,,,, ,2,3(元) ，，,100e,e,8.52 下面例子说明为了求出定积分的值，可以充分利用求不定积分的技巧如积分换元法，分部积分法等 x，31edx例6 计算定积分 ,,2 21 x，3解 需要求出被积函数e的原函数，即求不定积分如下 x，3t2edx,e.2tdtx,t,3,dx,2tdtx，3,t (利用换元法，令，则) ,, ttt (利用分部积分法) ,2,tde,2(te),2edt,, tt ,2te,2e，C x，3x，3 ,2x，3e,2e，C 11xx，，332. 所以定积分 edxxee,，,,(232)2,,2,2例7 奇偶函数的定积分计算 设函数yfx,()在对称区间上连续，则有 ,aa,,, aa (1)若为偶函数时，; fx()fxdxfxdx()2(),,,,0a a (2)若为奇函数时，. fx()fxdx()0,,,a 上述结论可由定积分的几何意义直观得到. 四、练习 1. 利用基本公式计算下列定积分 ,35(1) (2) xdxcosxdx,,00 ,1233(3) (4) dxx(1，x)dx,,,21sinx4 12x,2. 一曲边梯形由,轴和直线,所围成，求此曲边梯形面积. xy,x,1x,1 23. 计算下列定积分 1,2323xdx,13,xdx(1) (2) ，，，，,,00 x1322exxdxsin1，(3) (4) dx，，,,00x 4. 计算下列定积分 1x3xxdx，2(1)dx (2) ,,001，1，x 5. 利用函数奇偶性及定积分几何意义计算定积分 32xsinx5,43dx(1) (2) xsinxdx,,24,,5,1，x，x 6.计算下列定积分 22 ,1,x,2x2(1) (2) xedxecosxdx,,00 ,0.01x7. 已知需求函数为(单位:元)，其中为需求量，为价格，试求出在区间pDxe,,30xxp，， 平均价格表达式. 30,50,, 8. 某公司对其产品成本变化情况测得如下关系式: xfxx,,,,3001001000 ，，4 其中表示该产品生产的数量，表示当产品数量为时，再增加一个单位产品时所增加的成本，xfxx，， 试求当产品从100件增加到1000件时，该公司所增加的成本(单位:元). C 4.4数值积分 一、学时: 2学时 二、教学要求: 数值积分:矩形法、梯形法、抛物线法(辛卜生法) (1)理解矩形法 2)理解梯形法 ( (3)掌握抛物线法(辛卜生法)求数值积分 重点:理解矩形法、梯形法、抛物线法(辛卜生法)求数值积分 难点:抛物线法(辛卜生法)求数值积分 三、教学内容: 在利用定积分解决实际问题时，通常会遇到被积函数的原函数无法用初等函数的形式给出. 例如计算等，其中被积函数没有初等形式的原函数. 这时，牛顿,莱布尼兹公式就无法使用了. 有的实际问题，被积函数是用表格或图形给出，这时也无法使用牛顿,莱布尼兹公式. 因的有必要研究定积分的近似计算问题. 我们把求定积分的近似计算值也称为数值积分. 23 4.4.1 矩形法 根据定积分的几何意义，矩形法就是把曲边梯形分成若干各窄曲边梯形，然后用窄矩形代替窄曲边梯形，从而求得定积分的近似值. 具体描述如下: axxxxb,,,,,,用分点将区间分成个小区间，记nab,xxin,(1,2,,),,,,,012nii,1,,,xxx，取，则 ,,xx,,,iii,1iii,1 nb (1) fxdxfx()(),,,,ii,a,1i 为便于计算，通常区间是等分的，并取为各小区间的中点(见图4.8)，则 ab,,, xx，21bai,,ii,1 ,,(1,2,,),,,,，,,xabain，，ii22nn 由公式(1)有 yny=f(x)bbai,,21 fxdxfaba(),，,，，,，，,ann2,1i 这就是求定积分近似值的中矩形公式，我们 M把上面右端式子简记为. n 4.4.2 梯形法 xaxx, biii,1 梯形法就是把曲边梯形分割成若干个窄曲边梯形，然后连接曲边上相邻分店，得到以直线代替曲线弧图 4.8 的小直边梯形，用小直边梯形的面积代替窄曲边梯形的面积(如图4.9)，近而求得曲边梯形面积的近似值. 具体描述如下: yy=f(x)axxxxb,,,,,,用分点将积分区间 ab,,,012nxi)f( xi-1)f(yfx,()(1,2,,)in,分成等分，记，现在 nii 来考察每个小区间，以 xx,fxfx,，，，，,,ii,1ii,1 ba,为两底，以为高的梯形面积 h xaxi-1xihbfxfx，，，，，ii,1ba, (1,2,,)Sin,,, i2h图 4.9 求这个小梯形面积之和，就得到积分近似公式: n 24 n，，fxfx，b，，，，0nba, ()fxdxSfxfxfx,,,，，，，，，，，，，,,,,121nn,a2n,1i，， i，，这就是梯形公式，其中. 我们把上面右端式子简记为T. ()fxfaba,，,，，ni,,n，， 4.4.3 抛物线法(辛卜生法) 在数值积分中与上述中矩形公式M和梯形公式T有密切关系的是抛物线法，也称为辛卜生公式. 辛nn SMT卜生公式是把积分区间等分，简记为. 它与中矩形公式和梯形公式有如下关系: 2n2nnn 2MT，nn S,2n3 例如当时，我们有 n,2,3 ,,xba，，Sfxfxfxfxfxx,，，，，,,424, ，，，，，，，，，，401234，，34 ,,xba，，Sfxfxfxfxfxfxfxx,，，，，，，,,42424,，，，，，，，，，，，，，，60123456，，36一般情况表达式为 bba,，()4fxdxfxfxfxfxfx,，，，，，，，，，，，，，，，，，021321,nn,，a6n ，2，，，，,fxfxfxS，，，，，，，，2422,nnn， 可以证明对于不高于3次的多项式，辛卜生公式可以给出定积分准确值. 对于一般被积函数，用辛卜生方法进行数值积分通常给出比梯形法和矩形法更好的近似值. 还有一些精确度更好的定积分近似公式，被使用在各种数学计算软件中，如Mathematica，Maple，Matlab等，我们将介绍如何应用数学计算软件Matlab. ,付太阳镜的边际成本(单位:美例1 某公司批量生产某流行品牌的太阳镜，其每小时生产xCx，，元/付)列在表4.1: 表 4.1 x50 100 150 200 250 300 350 400 450 , 21.80 16.95 15.31 14.50 14.00 13.66 13.42 13.25 13.11 Cx，， 25 现公司从每小时生产50付太阳镜增加到每小时生产450付太阳镜，试用梯形法估计每小时生产所增加的总成本. 解 设所增加的总成本记为，则 C 450, CCxdx,，，,50 利用表4.1和梯形公式近似计算上面定积分如下: ,,，CC50450，，，，，45050,,,,,CCCCC,，，，，100150200250，，，，，，，，,82， ,,, ，，，CCC300350400，，，，，，，， 21.8013.11， ,,，，，，，，，5016.9515.314.5014.0013.6613.4213.25，，2 (美元) ,5927.25 2,x2例2 试计算下面两条曲线之间的面积:. fxegxx(),()1,,, fxgx()(),解 本题需要用到数学计算软件(详见第七章). 而得到在区间上，,1.131,1.131,, A并且两条曲线之间所围成的面积可用定积分表示: 1.1312,x2，，Aexdx1 ,,,，，,，，,1.131 y 2,xfxe(), 2gxx()1,, -1.1311.131x 图 4.10 26 四、练习 1. 试用辛卜生公式求解本节的例1. 2. 试用辛卜生公式求 ,sinx, (分别取的情形) Idxn,2,4,6,0x 一、学时: 2学时 二、教学要求: 微积分基本定理:变上限函数、牛顿,莱布尼兹公式 (1)了解变上限函数及牛顿,莱布尼兹公式的推导*; (2)理解牛顿,莱布尼兹公式的实质(会用实例说明)，会熟练正确的利用公式求定积分。 重点:变上限函数，牛顿,莱布尼兹公式 难点:牛顿,莱布尼兹公式的推导* 三、教学内容: 4.5 广义积分 4.6 定积分在经济问题中应用 (1)理解用极限、定积分的知识求两种类型的广义积分; (2)将定积分的方法应用于商务中有关问题的数量分析。 重点:无限区间上的广义积分、无界函数的广义积分，定积分在经济问题中应用 难点:定积分在经济问题中应用 4.5 广义积分 前面所讨论的定积分，其积分区间都是有限区间. 在实际问题中，还会经常遇到积分区间为无穷区间 的积分. b,，f(x)a,，,f(x)定义1 设在上连续，取，极限limf(x)dx称为在无穷区间b,a,ab,，, ，,[a,，,)上的积分，记做， f(x)dx,a 即 b,f(x)dx,f(x)dx lim,,aab,，, 27 ，,若上式等号右端的极限存在，则称此无穷区间上的积分收敛，否则称之为发散. f(x)dx,a类似地，定义在无穷区间(,,,b)上的积分为 f(x) bbf(x)dx,f(x)dx lim,,,,a,,,a 若上式等号右端的极限存在，则称之收钦，否则称之发散. (,,,，,)函数在无穷区间上的积分定义为 ,，,c fxdxfxdxfxdx()()(),， ， ,,,,,,,c 为任意实数，当上式右端两个积分都收敛时，则称之为收敛，否则称之为发散. 其中C 无穷区间上的积分也称为无穷积分或称广义积分. 例1 计算无穷积分 b，,b,,,xxxedxedxe,,,()解 limlim,,00,，,,，,bb0 1,(,，1),1 limbb,，,e ，,F(x)为了书写方便，在计算过程中可不写极限符号，用记号 a 表示，这样例1可写为 [F(x),F(a)]limx,，, ，,，,,x,x edx,(,e),0，1,1,00 1，,dx例2 讨论无穷积分收敛性 ,p1x 1，,，,dx,ln|x|,，,p,1解 当时， 发散 ,11x ，，,,p,1发散1,p1x，,，,,dx,,当时， P,1,,1p11x1,p，,p,1收敛p,1, 28 习题 4.5 1. 计算下列无穷积分 1,,,3xdx (1) (2) edx,,310x 12x,,dx (3) (4) dx,,2221,,(1，)(x，1)x 1y,2. 求由曲线，轴以及直线所围成的具有无限延伸尾巴的图形面积，如图4.11阴影部分xx,12x 所示. 29 y 1 y,2x 01x 图4.11 4.6 定积分在经济问题中的应用 定积分在经济问题中的应用是多方面的，下面前两例子体现已知某经济量的变化率(即边际函数)，如何求该经济量，另两例子是关于平均值在经济中应用. 最后一个例子是关于有效时段问题. 例1 利润问题 某公司每个月生产台电视机，边际利润(以美元为单位)由下式给出: x ,L(x),165,0.1x 0,x,4000 目前公司每月生产1500台电视机，并提高产量，试求出与每月生产1600台电视机时，利润增加了多少, 30 16001600,解 LLLxdxxdx(1600)(1500)(1650.1),,,, ，，,,15001500 16002 ,(165x,0.05x)1500 22 ,，,，,，,，[165(1600)0.05(1600)][165(1500)0.05(1500)] (美元) ,136000,135000,1000 答:当每月电视机生产从1500台增加到1600台时，利润增加1000(美元). x,Rx()20,,例2 收益问题 已知生产某商品单位时，边际收益为(万元/单位)，试求生x30 R(x)产单位时总收益函数R(x)以及平均单位收益函数，并求生产这种产品120单位时的总收益与平x 均收益. ,,解 因为总收益是边际收益函数在上的定积分，所以生产单位时总收益函数为 0,xx x2，，ttx()(20)20,,,,Rxdtt ,,,03060，，0 2x20,x, 60 则平均收益函数为 R(x)xR(x),,20, x60 当生产这种产品120单位时，总收益为 120，120R(120),20，120,,2160 (万元) 60 120R(120),20,,18 平均收益为 (万元) 60 例3 平均供应价格 已知某商品供应函数为 0.05x pSxe,,,()8(1) ,,其中为某商品供应量，为该商品的价格(美元)，试求在商品供应区间40,50上平均供应价格. xp ,,p40,50解 在商品供应区间上平均供应价格可用定积分计算如下: 50x0.051pedx,,8(1) ,40,5040 5050x0.05 ,(0.8),edx,(0.8)dx,,4040 31 500.05x,,(0.8)e50,,0.8x ,,400.05,,40 2.52 ,16,(e,e),8 (美元) ,16，4.79,8,68.64 ,,上某商品平均供应价格为美元. 答:在供应区间40,5068.64 例4 平均存货 假设某货物去年各月的存货量可用下式表达: 2 I(t),10，30t,3t0,t,12 I(t)其中t表示月份，表示在t月份的存货量. 试求去年第二季度平均存货量(单位:吨). 解 去年第二季度的平均存货量记为，则 I2 162I,(10，30t,3t)dt ,236,3 23130t3t6 ,(10t，,)|3323 12323,[(10，6，15，6,6),(10，3，15，3,3)] 3 1 ,,,[384138]82 (吨) 3 答:某货物在去年第二季度平均货存量为吨. 82 C(t)和R(t)例5 有效时段 某娱乐公司把一种娱乐用品安装在一个公众活动的地点，用分别表示 该娱乐用品的成本函数与收益函数，其中t表示已安装使用的时间(单位:年). 已知 ,0.5t,, (单位:万元) C(t),2,R(t),9e ,,C(t),R(t)使 成立的t值称为该娱乐用品有效时段，几何意义见图4.12所示. 32 y 9 y=R'(t) y=C'(t) 2 3x 图 4.12 本例中有效时段求如下: ,,C(t),R(t) ,0.5t 9e,2 2,0.5te, 9 2,0.5t,ln 9 2t,,2ln,3， 9 这样，该娱乐用品有效时段约为3年. 超过这个使用时段，该娱乐公司所安装的娱乐用品是亏本的.试 求出在有效时段内，所取得全部利润. ,,0,3解有效时段为，因此所取得全部利润为 3, L(3)L(0)L(t)dt,,,0 3,, [R(t)C(t)]dt,,,0 3,0.5t ,(9e,2)dt,0 39,,,t0.5 ,e,2t ,, ,0.5,,0 3,t0.5 ,(,18e,2t)0 33 ,1.50,(,18e,6),(,18e,0) ,1.5,12,18e,7.984(万元) 四、练习 ,C(x),0.8x，421. 已知某商品的边际成本为(元/单位)，固定成本为50(元)，求总成本函数. 1,R(x),200,x2. 已知某商品的边际收益为 (元/单位)，其中表示该商品的产量，求该商品的x 2 总收益函数，并求当商品的产量达到100单位时的总收益和平均收益. 3. 某汽车生产商估计一种新型车在投入生产之后销售逐月增加，增加的比率由下式给出: ,0.08t, S(t),4e0,t,24 其中表示新型车投入生产之后的第t月份. 试求该新型车销售量S(t)的表示式，并求出投入生产之后t 的前六个月的月平均销售量. ,0.5t,,4. 本节例5中若试求在有效时段内公司所取得的全部利润. C(t),1,R(t),7.5e, x5. 设某茶叶生产企业，生产某品牌出口茶叶的边际成本，边际收入是日产量(千克)的函数，边际成本 x，10，，2104,x为(美元/千克)，边际收益为(美元/千克)，固定成本为3000美元. 求:(1)日产量为多少时，利润最大, (2)在获得最大利润时，总收益、平均单位收益、总成本、总利润是多少, 小结 1. 本章介绍两个不同的数学概念:不定积分与定积分，前者作为导数的逆运算，而后者是作为和的极限来 f(x)的不定积分是一个函数，而一个函数的定积分是一个数值.这两个数学概念由于定义的. 一个函数 F(x)f(x)微积分学的基本定理(牛顿—莱不尼兹公式)紧密联系起来. 设是的一个原函数，则 bb f(x)dx,F(x)|,F(b),F(a),aa f(x)f(x)2. 原函数与不定积分的概念大致上是相同的. 函数的不定积分是的全部原函数，只要知道 f(x)F(x)f(x)的一个原函数，则的不定积分为 f(x)dx,F(x)，C , ,dF(x),f(x)dxf(x)Fxfx()(),F(x)函数的原函数与导数关系是，或，因此求不定积分 34 (或原函数)与求导数(微分)若不计常数项是互为逆运算的. 3. 不定积分的计算方法除了基本公式来求之外，经常使用第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法，第一类换元积分法又叫凑微分法，把不定积分写成 , f[,(t)],(t)dt,f[,(t)]d,(t),F[,(t)]，C,, x,,(t),(t) 其中是的原函数，第二类换元积分法常用作去根号，可令, 是单调可导函F(x)f(x) ,,(t),0数，且 则 ,1,，，，，，，，，,, fxdx,f[,t],(t)dt,Ft，C,F,x，C,, ,1,(t)其中 是单调的，因此存在反函数. ,(t) 关于分部积分法应当注意把不定积分化为形式再使用公式: udv, udv,uv,vdu ,, 4. 进一步明确定积分的概念和性质. 定积分尽管实际背景丰富多样，但从数学概念来看都是如下一类和的极限 nb fxdxfxx()lim()max,,,,,,,,,iii,,,0a1,,in,1i 由定义可知定积分的值依赖被积函数和积分区间，与积分变量的选取无关，按规定交换定积分的上下限， af(x)dx,0定积分变号. 特别的有. ,a 5. 无穷区间上广义积分是定积分概念的推广，在实际中也常用到. 首先是把无穷区间上广义积分化为有限区间上定积分，然后通过求极限方法看它是否收敛，若收敛求其极限值即是所求的广义积分. 6. 定积分在实际问题的应用十分广泛. 除求面积外，还着重介绍其在商务与经济问题中的应用，已知某经济量的边际值，求该经济量即属于定积分的应用. 此外，求经济量在某范围或某时间段的平均值问题也归结为求定积分. 7. 在实际问题中经常应用导定积分的近似计算，即数值积分. 数值积分中的矩形法，梯形法及抛物线法是基本方法，还有一些其他更详细的方法. 实际应用中定积分的计算常使用数学软件如Mathematica，Maple，Matlab等. 复习题 1. 用适当方法求下列不定积分 23xsin(x，1)dx(3x,5)dx(1) (2) ,, 35 13 (3) (4) xlnxdxdx,,2，，2x 2. 用适当方法求下列定积分 ,4e32(1) (2) dx2sinxcosxdx,,10(1，ln)xx 33e2(3) (4) dxxlnxdx,,102，x ,x[0,，,)3. 试求在曲线 ， 轴以及区间 之间图形的面积. yy,e 4. 某公司对其产品的成本函数的边际成本估计如下: x,C(x),300, ， 0,x,600 2 其中表示该产品的产量，试求当产品产量从100件增到300件时，公司所增加的成本. 5. 设某产品需求函数为 ,0.03x (单位:美元) p,D(x),5e ,,30,50其中表示需求量，试求在需求区间上的平均价格. x C(t)R(t)6. 有效时段 设某煤矿累计成本函数和收益函数(单位:万元)分别为 ,0.1t,,C(t),3 和 R(t),15e t这里表示该煤矿投入使用的时间. 试求该煤矿有效时段以及在该时段所取得全部利润. ,C(x),4x，157. 设某商品每天生产单位时的固定成本200(百元)，边际成本函数为(百元/x C(x)单位)，求总成本函数. 如果这种商品销售的单价为59(百元)，且产品全部售出，求总利润函 L(x)数，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润，此时最大利润是多少, 36