电磁场与电磁波作业(汇总)

电磁场与电磁波作业电子版                                         071244146 朱志峰  071214121  周少波 1.6  证明：如果和,则。 解: ，有                   由 同理有 ∴ 1.14  利用直角坐标系证明：                       uv)=uv+vu   证明：uv+vu=u( )                   =                   =                   = 1.15  一球面S的半径为5，球心在原点，计算的值。   解：               原式=     =15     =75 补充题  已知在直角坐标系中U(x,y,z)，求证。           证明：z                       =                       = 学号071244104  陈继龙  学号071244103  陈凤的作业 1.28 利用直角坐标，证明               证明：在直角坐标下，=Ae+Ae+Ae,                           ,                 则 1.30利用直角坐标，证明               证明：在直角坐标系下, ,       ,         所以： 1.31利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明。   证明：（1）由斯托克斯定理知 因为曲面是任意的，所以被积函数 （2）由散度定理知，             把闭合曲面任意分成两半，   由斯托克斯定理知，有                 因为C1和C2同一回路，方向相反。   所以           也就是   又因为体积是任意的，   故得： 补充题 证明 ，其中。 071244143 张康      071244144 张黎明 2.3 电荷均匀分布在半径为的导体球面上，当导体以角速度绕通过球心的轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。 解  以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球内任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为 球面的上电荷面密度为 故                    2.5 一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。 解  以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球内任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为 球内的电荷体密度为 故                    2．12  一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的轴上处的电场强度中，有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。 解  半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为     故整个导电带电面在轴上处的电场强度为 而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为 2．16 一个一半径为a的导体球带电荷量为q,当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转时，如图题2.16所示,试求球心处的磁感应强度B. 解：球面上的电荷面密度为     当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电荷面密度为     将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任意一个宽度为的细圆环的电流为 细圆环的半径为b=sinθ圆环平面到球心的距离d=a cosθ利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该圆环电流在球心产生的磁场为 故整个球面电流在球心产生的处产生的磁感应强度为 2.22通过电流密度为J的均匀电流长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔,其横截面如图题2.22所示.试计算各部分的磁感应强度,并证明空腔内的磁场是均匀的. 解:建立如解2-22图所示坐标系,因为空腔的电流密度为0,可把该电流分布看做是两个电流密度的合成.   设整个半径为b的圆柱导体内通有电流密度为的电流,半径为a的圆柱体内通有电流密度为-的电流,那么,这时整个空间的场是由这二者共同产生的.     对于大圆柱体,由安培环路定律得: 大     同理, 对于小圆柱有: 小 空间任一点的磁感应强度应有二者的矢量和 ,所以在大圆柱体处时, ( 在空腔和大圆柱之间时， ( 在空腔内时， ( 因为d为一定值 所以空腔内的磁场是均匀的. 成康与陈莹的作业 2.3 电荷q均匀分布在半径为a的导体球面上，当导体以匀角速度绕通过球心的z轴旋转时，试计算导体球面的面电流密度。 解：设球面上任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为                   球面的上电荷面密度为                     故            2.5 一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为q的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度 解：球内电荷体密度为： 设球内任一点P的位置矢量为且与z轴夹角为，则P点线速度                             2．12  一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的轴上处的电场强度中，有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。 证明： 半径为a，电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为 故整个导电带电面在轴上处的电场强度为 而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为 2.16 一个半径为的导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度。 解  球面上的电荷面密度为 当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为 将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为    细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为             故整个球面电流在球心处产生的磁场为  2.22 通过电流密度为的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如图2.22所示。试计算各部分的感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。 解：建立如图所示坐标系，因为空腔中的电流密度为0，可把该电流分布看做是两个电流密度的合成。   设整个半径为b 的圆柱导体内通有电流密度为J的电流，半径为a的圆柱内通有电流密度为- J的电流。那么，这时整个空间的场是由这二者共同产生的。   对于大圆柱，由安培环路定律得：                               同理，对于小圆柱有：                     空间任一点的磁感应强度应为二者的矢量和，所以在的圆柱体外时， 在空腔和大圆柱之间时，                 在空腔内时，                 为一定值 空腔内的磁场是均匀的。 071244141 余文林          071244142  张静 2.21 下面的矢量函数中那些可能是磁场？如果是，求出其源量J。 （2）H= (3) 解: （2） 该矢量是磁场矢量，其源量J为： （3） 该矢量是磁场矢量，其源量J为： J==0 （4）=     该矢量是磁场矢量，其源量J为： 2.22  通过电流密度为的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题2.22图所示。计算各部分的磁感应强度，并证明腔内的磁场是均匀的。 解  将空腔中视为同时存在和的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内，另一个电流密度为、均匀分布在半径为的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。 解：（1）由麦克斯韦方程有： 图题 2.27         对积分得         = （2）对于自由空间，传导电流为0                 两边对比得  （3）把内导体看为理想导体，由理想导体表面的边界条件得         （4）位移电流               2.28  试将微分形式的麦克斯韦方程组写成8个标量方程：（1）在直角坐标系中；（2）在圆坐标系中；（3）在球坐标系中。 解：（1）在直角坐标系中                 （2）在圆柱坐标系中       （3）在球坐标系中 3.3 电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数分别为                                                     （1） 求圆柱体内、外的电场强度；（2） 这个圆柱体是什么材料制成的？其表面有电荷分布吗？试求之。 解：（1）由，可得到         时，         时， （2）该圆柱体为等位体，所以圆柱体是由导体构成制成的，其表面有电荷分布， 电荷面密度 3.6  电场中有一半径为a、介电常数为的介电球，已知球内、外的电位函数分别为                   试验证介质球表面上的边界条件，并计算介质球表面上的束缚电荷密度。     解： 由题知            在介质球表面（即r=a时），                  蔡张达 071244101  陈彬 071244102  3.9  有一半径为a、带电荷量q的导点球，其球心位于介电常数分别为和的两种介质分界面上，设该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2）总的静电能量。   解：（1）依题意知电场沿径向分布，则由 ，得    DS+DS=q 即      E2r+E2r 孤立导体球的电位为 === 球的电容为           C== (2)  W=CU=2 ==      3.11 同轴电缆的内导体半径为a，外导体半径为c；内、外导体之间填充两层有损耗介质，其介电常数分别为和，电导率分别为和，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为b。当外加电压时，试求：（1）介质中的电流密度和电场强度分布；（2）同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。     解：（1）电流连续，两层介质中单位长度的总电流必相等，设为I,，则由     得        （a这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为                             <2> 点处电位   3.23一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面的下方，与平面相距为h。欲使带电体收到静电力恰好与重力相平衡，电荷q的量值应为多少？（设m=2×kg，h=0.02m） 解  将小带电体视为点电荷，导体平面上的感应电荷对的静电力等于镜像电荷对的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为，位于导体平面上方为处，则小带电体受到的静电力为  令的大小与重力相等，即  于是得到    3.26如图题3.26所示，在z<0的下半空间是介电常数为ε的电介质，上半空间为空气，距离介质平面h处有一点电荷q。试求：（1）z>0和z<0的两个半空间内的电位分布；（2）电解质表面上的极化电荷密度，并证明表面上的极化电荷总量等于镜像电荷q′。 解 （1）在点电荷的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷与点电荷对称分布。 对介质中的电位尝试解为（如题3.26图所示）       对介质中的电位尝试解为（如题3.26图所示）     在的分界面上，电位应满足的边界条件为                     因此有                     解得 ，位于 ， 位于 上半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生，即   下半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生，即 （2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为 = 或利用   极化电荷总电量为 注意: 因为 ， 类比有 。又 所以有 071244115  胡琦旖  071244116  胡永恒 3．29如图题3.29所示的导体槽，底面保持电位，两个侧面的电位皆为零，试求槽内的电位分布。 解:由题意知，电位函数满足以下边界条件                           这属于第一类边界问题，可设其通解为：   由得 =                                           3.31如图题3.31所示，在均匀电场中垂直于电场方向放置一根半径为a的无线长导体圆柱。求导体圆柱外的电位和电场强度，并求导体圆柱表面上的感应电荷密度。 解：在外电场作用下 介质圆柱被极化，空间任意一点的电位是均匀外强的电位与极化电荷产生的电位之和。又由于介质圆柱体是均匀无限长的，而且均匀外电场与圆柱的轴线垂直，所以电位函数与变量z无关。取柱坐标计算，由于导体为一等位体，取坐标原点为电位参考点，设为Co，则均匀外电场产生的电位为                       （1） 极化电荷产生的电位应与一样，按变化，且无穷远处为零，则                       （2） 由边界条件 带入（1）、（2）中有      即圆柱外的电位为： = 圆柱外的电场分布为 = 圆柱表面上的感应电荷密度为：                     3.32 如图题3.32所示，一个半径为b，无限长的薄导体圆柱面被分割成4个圆柱面，彼此绝缘。其中，第二象限和第四象限的圆柱面接地，第一象限和第三象限的圆柱面分别保持电位和—，试求圆柱面内的电位函数。 （1） 求衰减系数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出的振幅为0.01时的位置；（3）写出和的表达式。 解：（1）根据题意，有 , 所以 此时海水为一般有损耗煤质，故衰减系数为： 相位常数： 本征阻抗： 相速： 波长： 透入深度： （2） 由题意可得： 解得 （3） 根据上述所求各参数和题目条件，可知的表达式为： 对应的复数形式： 电场的复数形式为 则的表达式为： 071244127刘亚龙    071244128刘咏梅 6.2 一均匀平面波沿方向传播，其电场强度矢量为               （1） 应用麦克斯韦方程求相伴的磁场； （2） 若在波传播方向上处，放置一无限大的理想导体板，求区域中的和； （3） 求理想导体表面得电流密度。 解：（1）将电场写成复数形式 （2）均匀平面波入射到理想导体表面将产生全反射，反射波电场为：                 区域内，                         区域内总电场为，总磁场为                         故                 故 （3）         6.4 均匀平面波电场振幅为 ，从空气垂直入射到无损耗媒质平面上    （ 媒质的，，），求反射波与透射波的电场振幅。 解：              反射系数             透射系数             故          6.12  均匀平面波从空气中垂直入射到某电介质表面时，空气中的驻波比为2.7，介质平面上为驻波电场最小点，求电介质的介电常数。 解： 依题意有：                     由于介质平面为驻波电场最小点，故       而       电介质介电常数       图题6.19 6.19  如图题6.19所示，z>0区域的媒质的介电常数为，在此媒质前置有厚度为d、介电常数为的介质板，对于一个从左面垂直入射来的TEM波，证明当时（为自由空间的波长），没有反射。 证明：在介质板中，TEM波的波长                相位常数            本证阻抗                            在z>0区域                        当  时，有                               而在分界面z=-d处的等效波阻抗为：                     由式可得： 那么在分界面处的反射系数为：         即证明得当时，在分界面z=-d处无反射。 6.25  均匀平面波从、0 的理想电介质中斜入射到与空气的分界面上。 试求：（1）希望在分界面上产生全反射，应该采取多大的入射角； （2）若入射波是圆极化波，而只希望反射波成为单一的直线

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波，应以什么入射角入射？ 解：（1） 均匀平面波是从稠密媒质（）入射到稀疏媒质（），若取入射角大于（或等于）临界角，就可以产生全反射。           故取时可产生全反射 （2） 圆极化波可分解为平行极化和垂直极化两个分量，当入射角θ等于布儒斯特角 时，平行极化分量就产生全透射，这样，反射波中只有单一的垂直极化分量，即 7.2  下列二矩形波导具有相同的工作波长，试比较它们工作在模式的截止频率。 (1)    ； (2)    。  解： 截止频率              当介质为空气时  （1）当，工作模式为（m=1,n=1），其截止频率为 （2）当，工作模式仍为（m=1,n=1），其截止频率为       由以上的计算可知：截止频率与波导的尺寸、传输模式及波导填充的介质有关，与工作频率无关。 7.5  已知矩形波导的横截面尺寸为，试求当工作波长时，波导中能传输哪些波型？时呢？   解： 波导中能传输的模式应满足条件                     （工作波长小于截止波长） 或            （工作频率大于截止频率） 在矩形波导中截止波长为         由传输条件  当时上式可写为 能满足传输条件的m和n为 （1）有以下波型  （2）有以下波型  （3）有以下波型  （4）有以下波型  （5）有以下波型  当时，应满足 （1）（无波型存在） （2）有以下波型  （3）不满足条件。 故此时只能传输模