相对论洛伦茨公式的证明

相对论洛伦茨公式的证明 前提:下面所涉及的运动都是匀速直线运动。 提示:K系统相对于k系统的速度为v,则k系统相当于K系统的速度为-v。两系的速度方向平行于横坐标轴。 当K系统与k系统重合时。 设有一点(不知这点的运动状态，下面也一样)在重合时，相对于k系统 坐标为(x , y ,z ,t) 相对于K系统 坐标为(X ,Y ,Z ,T) 由于速度方向与x轴平行，所以y与Y轴，z与Z轴无相对速度。 ?y,Y , z,Z 设这个点是处于K的惯性坐标系中 相对于K系统的点的横坐标则为X 相对于k系统的标准来算点在K系统的横坐标为x,v×t (按经典力学来看，则X,x,v×t,按相对论来说这是错的) v×t是两系原点之间的横坐标轴之差的绝对值，则x,v×t是点在K系的坐标轴(相对与k轴来说) 则X与x,v×t有如下的关系。 X,k(x,v×t) ?(因为不知道(K)与(x,v×t)是什么关系。) 同理，相对于k系的坐标轴为x, v×T为两系原点的的横坐标轴之差的绝对值，则X，v×T是点在k系的坐标轴(相对于K轴来说) 则x,K(X，v×T). 因为相对性一致，所以k,K，得x,k(X，v×T) ? x,v×t) ? X,k( x,k(X，v×T) ? 俩方程联立，将X,c×T, x,c×t代入方程中 为什么将X,c×T, x,c×t代入方程中呢，原因是光速在任何坐标系中是一样的，这可作已知条件。 原理: 设光子为这一点，X,c×T，即光从K系的原点传播，经过一段时间，所经过的距离。速度平行于横坐 标轴。 补充:光是在两系重合之时，在两系重合的纵坐标轴发射。(纵坐标轴的值不影响) 提示:光相对于任何参照系其速度是一定的，为c。 代入后的方程的k值的解法过程如下 ?×?得 Xx=k^2(x,v×t) (X，v×T) 将X,c×T, x,c×t代入上式中 c^2×Tt=k^2×(ct,vt)(cT+vT) c^2×Tt=k^2×t×(c,v)×T(c+v) 得k^2=c^2,(c^2,v^2) ?k=SQR(c^2,(c^2,v^2)) =SQR(1,((c^2,v^2),c^2)) =SQR(1,(1,v^2,c^2)) 【SQR代表数学上的根号】 得k=1,SQR(1,v^2,c^2) 将k值代入?中 得出X=(x,vt),SQR(1,v^2,c^2) (此公式的意义在于我们可以将(x , y ,z ,t)相对于我们的测量 值，来计算相对于它本身惯性坐标系的值(真实值) X,k(x,v×t) ? x,k(X，v×T) ? ?代入?中， x =k ( k ( x，v t )，v T) x =k^2×(x，v t)，k v T x =k^2×x，k^2×v t，k v T k ^2×v t,(k^2,1)×x = k v T 两边同除以k v 得 k t,((k^2,1),(k v))x = T ? 已知k = 1,SQR(1,v^2,c^2) = 1,SQR((c^2,v^2),c^2)=SQR(c^2,(c^2,v^2 )) k^2 = c^2,(c^2,v^2) k^2,1 = v^2,(c^2,v^2) (k^2,1),(k v) =(v^2,(c^2,v^2)),k v = v,((c^2,v^2)k) 分母分子同乘以k 得 (k v),((c^2,v^2)k^2) = k v,((c^2,v^2)×(c^2,(c^2,v^2)) = k v,c^2 代入?中得 k t,(k v x),c^2 = T k (t,(v x)),c^2 = T 所以T=(t,(v x),c^2),SQR(1,v^2,c^2) 洛伦兹变换公式为X=(x,v t),SQR(1,v^2,c^2) Y=y Z=z T=(t,(v x),c^2),SQR(1,v^2,c^2) 洛伦兹公式的运用: 以下证明的点是在相对于测量者运动的K系,这点相对于K系静止，那么K系相对于k系的运动的速度就为点相对于k系的速度，假如这点在K系中而是匀速直线运动，那么这点就不代表K系的状态，代表另一个惯性参照系即它在上面为静止的。所以要知道相对于我们所在惯性参照系运动的物体上的状态，只需建立一个相对于这物体静止的坐标系，也就是这物体相对于该系静止。下面的运动都是在横轴方向的运动，若其它轴上的运动 也是同样的证明，只是x变成y或z。如果物体的运动在x y z上都有变化那么就要用同一个公式算三次。 将一个物体放入一个相对于我们所在惯性坐标系运动的坐标系(相当于K系)。我们观测的视线垂直于x 轴，假设;此物体朝x 轴正方向匀速直线运动。我们所测量的其实已经变短。 设这物体横坐标值最小为x1,最大值为x2，则这物体的测量长度值为?x= x2,x1,(相对于我们所在的坐标系k 系)(见图长度收缩) 先给出公式X=(x,v t),SQR(1,v^2,c^2) ?X为其真实长度值 ?X = X2,X1 = (x1,v t),SQR(1,v^2,c^2),(x2,v t ),SQR(1,v^2,c^2) 得?X = ?x,SQR(1,v^2,c^2) L(为真实值) 代替 ?X l(小写字母)(为测量值) 代替?x 则为L = l(L的小写字L),SQR(1,v^2,c^2) 推出?t=?T,SQR(1,v^2,c^2) (可见图时间延缓) ?第一种:(下面的t都指时间点，?T代表时间段 x,?x一样) 给出T=(t,(v x),c^2),SQR(1,v^2,c^2) T2,T1 =(t2,(v x2),c^2),SQR(1,v^2,c^2) ,(t1,(v x1),c^2),SQR(1,v^2,c^2) 得?T=(?t,(v?x),c^2),SQR(1,v^2,c^2)(?t代表时间变化量，?x代表其在K系上的那个点相对于两 系的两个先后的横坐标值的差) 已知v , ?t,可得出其点的横坐标值差如下: ?x = v ?t 代入 ?T=(?t,(v?x),c^2),SQR(1,v^2,c^2) 得?T=(?t,v^2×?t,c^2),SQR(1,v^2,c^2) ?T=?t(1,v^2,c^2),SQR(1,v^2,c^2) 【(1,v^2,c^2),SQR(1,v^2,c^2) 】即为【SQR(1,v^2,c^2)】 所以?t=?T,SQR(1,v^2,c^2) ?第二种: X,k(x,v×t) ? x,k(X，v×T) ? 将?代入?中 经计算得出其逆变换公式t=(T，(v X),c^2),SQR(1,v^2,c^2) ?t=(?T，(v ?X),c^2),SQR(1,v^2,c^2) 因为点坐标是处于K系中的相对于K系静止 所以?X = 0 , ?t=?T,SQR(1,v^2,c^2)