基于模糊Gibbs场和模糊C均值聚类的脑部磁共振图像的分割

基于模糊Gibbs场和模糊C均值聚类的脑部磁共振图像的分割 为了得到更精确的图像分割结果 ,目前很多学法的分割结果进行了比较和分析 。者都在研究如何在基于灰度特征的算法中引入图像 2 传统 FCM 算法和 Gibbs 随机场模型的空间信息 。这种利用图像空间信息的聚类算法 , 有助于消除像素自身的模糊性 ,从而得到更精确的 2 . 1 模糊 C 聚类 4 ,8 N FCM 算法中 , 对给定数据集 X = { X 图像分割结果。 < } k k = 1 n R , Π k , 1 ?k ?N , 文献5 提出的 FCM- S 算法 ,在传统的基于灰 T n c度的 FCM 算法的目标公式中增加了一个像素邻域 ( X = x , x ,) , x ?R , 记 V = { V } k k1 k2 k n i i = 1 n n 的附加项 ,从而补偿图像灰度的不均匀性 。新算法 ( ) < R 为聚类中心 , V ?R i = 1 , 2 ,, c, c 为分i 考虑了像素和聚类中心的差值受邻域点的影响 ,并 类数 。则X 的一个模糊 C 划分定义为下式的规划 :讨论了图像中乘性非均匀场的估算问题 。 c N q 2 μ( ) min J U , V , c= ?? ‖X - V ‖, 1 ?m ik k i ik = 1k = 1 作为该算法的两种变形 , FCM- S1 和 FCM- S2 i μμ q ??, U = [] 为隶属度矩阵 , 且 U ?{?i k c ×N ik 分别使用均值滤波和中值滤波器处理目标图像 ,把 c N 滤波图像和目标图像进行加权 ,并用加权图像取代 μμ[ 0 , 1 ]| ?= 1 , Π k a n d 0 < ?< N , Π i } , 其 ik ik i = 1 k = 1 6 目标图像,对这种加权图像的处理在某种程度上 中 : 可以减弱噪声对分割过程的影响 。FCM S 算法对 N q (μ) ?X ik k 像素空间信息的估计是在分割中进行的 ,而 FCM k = 1 ( )= 1 , 2 , , c i V =1 , N i q S1 和 FCM S2 算法等价于把这种对空间信息的估(μ) ?i k k = 1 计分为两个步骤 : 首先得到滤波结果和原始图像的 ) ( 2/q - 1 - 1 c 加权和 ,然后再对加权图像进行分割 。而滤波图像 ‖X - V ‖ k i μ( ) =2 ?i k j = 1 V ‖α‖X -在加权图像中的比重由参数决定 。 j i 对像素空间信息的提取可以使用不同的模型 ,( ) ( ) 1、2 两式循环迭代直至隶属度矩阵收敛 。 例如 FCM S , FCM S1 , FCM S2 算法中的邻域 传统的以灰度值为特征的 FCM 算法 , 特征向量为 补偿项实际上可以看作当前点的邻域灰度的某种平υ X = y , V =, 其中 y 为像素的灰度 , v 为基于k k k k k k ,是空间信息对其灰度信息的一种补偿 。而文献 均 灰度的数据聚类中心 , 这种算法满足 :若 ‖y - v ‖ k i 10 则利用了 Gibbs 随机场模型 ,并使用多级逻辑 μμ?‖y - v ‖, 则 ?, 算法收敛后把像素标 m i ik i m 模型计算势团的能量 ,以得到目标点标记值的先验 记为具有最大隶属度的类标记 ,以实现像素的一个 概率 ,并在传统 FCM 算法的目标公式中引入“拒纳硬划分 。由于这种基于灰度的分割没考虑像素空间 度”系数 ,从而在聚类算法中加入空间约束 。 在各分布上的约束 ,对含噪声的图像进行分割时 ,容易造 种空间信息的提取的方法中 , Gibbs 随机 成大量分散的点和区域 ,从而不能得到精确的分割 结果 。本文假设原始高信噪比的图像中除了区域边 ( ) 场 Gibbs rando m field , GR F理论可以很好地描述 缘处外 ,图像的灰度都是平滑渐变的 ,图像的分割结 邻域各点之间相互影响的关系 ,对势团能量的估算 果不应该出现大量分散的区域 。所以在仅使用基于 实际上决定了标记场的先验概率 。所以 Gibbs 随机 灰度特征的 FCM 算法处理被噪声污染的图像时 , 场模型可以弥补传统聚类算法对空间约束描述的不 往往难以得到精确的分割结果 。 足 ,从而克服以灰度为特征的 FCM 算法的固有缺 2 . 2 Gibbs 随机场模型 陷 。 由于图像的分割可以归结为像素的标记问题 , 本文以 Gibbs 能量的形式引入图像邻域的先 在 Gibbs 模型中 ,设 X 为 Gibbs 场 , X ?X , N 为点i j i j 验信息 ,并使用了原有 FCM 算法中的模糊信息 ,把 ( ) ( ) i , j 的邻域 , 邻域满足两个条件 : ?i , j | N 和 i j ( ) ( ) ( ( Π p , q?N , 则 i , j ?N , ?P X | X , p , 象素的隶属度函数引入势团能量的计算中 ,并定义 i j pq i j pq ) ( ) ) ( ( ) ) q?i , j = P X | X , p , q?N 则标记场 ij pq i j 了势团标记均匀分布的概念 。并在传统的 FCM 算 X 具有 Mar kov 性 ,即不同点的标记取值的概率只 法中引入各点势团能量和均匀分布的势团能量差值 和该点邻域标记有关 。Gibbs 模型中的二阶邻域系 的加权和作为原目标公式的补偿项 , 从而修正了 统描述了是 8 邻域的标记取值对当前像素的标记的 FCM 算法的目标公式 ,并给出了在此目标公式下像 素隶属度和聚类中心的迭代公式 。最后对合成图像 和脑部 M R 图像进行了处理 ,并对本算法和已有算 1266 生 物 医 学 工 程 学 杂 志 第 25 卷 i ( ξ) ( ) ( )影响 。根 据 Hamersley2Cliffo rd 定 理 , 这 种 具 有 6 U j ,= ?V j , i c c Mar kov 性的随机场分布先验性概率 ,可以用 Gibbs( ) j = i - 1 ( δ( ) ) 其中 : V j , i = 1 - 2j - i =c ( ) j ?i 分布示 ,即标记场取值的先验概率可以表示为 :1 ( ) ( ( ) ) P x = exp - U x / T / Z 对于当前点取值为 j , 而邻域标记场非均匀的 ( ) ( ) 其中 : Z 为归一化常数;U x = ? ?V x , 分布 , 定义 :sC s C ?Ns ( ξ) ( η)( )U j ,= ?V j , 7 k c n j ( ) ( ) U x 是 Gibbs 能量 , V x 为当前点 s 取值为 x c sC c 时邻域势团 C 的能量函数 , 该参数描述了点和其邻 ( η) (η)δ( η)μ 1 - 2j - = 其中 : V j ,= ?c n n n n η = 1 n 域的关系 。对于势团能量的取法也有多种模型 , 例 μ( )1 - 2j n 如 , 对一个硬划分 , 可使用多级逻辑模型计算齐次势 本文定义中的邻域均匀分布的标记场实际上对 团的能量 , 在已获得像素模糊信息的情况下 , 可使用 应于聚类中心 v 的邻域标记场 , 即聚类中心 v 和 [ 11 ] i i 基于隶属度的非齐次模糊势团能量。μ( ) 其邻 域 点 的 隶 属 度 函 数 均 满 足 : i = 1 , 且k c 3 本文算法2 ( μ) ? j = 0 , 即聚类中心 v 和其邻域点均以隶 k i j = 0 , j ?1本文使用 Gibbs 模型引入图像的空间约束时 , 属度 1 属于第 i 类 , i ?{ 1 , 2 ,, c} , 此时这种均匀 首先定义标记场均匀分布的概念 : 分布的邻域标记场中势团能量的计算实际上服从的 定义 :对于一个模糊划分 , 设点 k 的邻域的标( ) 是多级逻辑模型 MLL 。而在计算非均匀邻域标 N 记场的势团能量时 , 则利用了已知的隶属度函数 , 用 R ηη ξ= {} ,为点 n 的标记值 , N 是邻 记场为n = 1 n k n R 邻域点对不同类别的隶属度函数值对势团能量的求 η , c} , c 为分类数量 , 设 u 域点的个数 ,?[ 1 , 2 ,n n( ) ( ) 和公式进行了加权 , 得到式 7的结果 。比较式 6( ) ( η i 为点 n 被标记为 i 的隶属度 即 = i 的隶属n ( ) 和式 7可以看出 , 在硬分割中所使用的多级逻辑模 c ( ) ( ) μ型实际上是式 7的一个特例 , 即当 j ?{ 0 , 1} n ) ( ) ( ) μμ 度 , i = 1 , 2 ,, 满足 0 ?i ?1 , ?i = 1 , cn n m = 1 ( ) 即可得到式 6的结果 。这种使用了模糊信息的势 若 : 团能量更好地描述了邻域对目标点的影响 。 μ( ) μ( )μ( ) μ( ) i = i = i = i = 1 1 2 n N 本算法如下 : R 则该邻域标记场为取值为 i 的均匀分布 , 并记() 1首先以灰度为特征对图像进行初始分割 ,得 i ξ该领域的标记场为 。若点 k 被标记为 j , 则记当 到初始的聚类中心和隶属度矩阵 。 i ( ξ) ξ前点 Gibbs 能量为 U j ,, 在均匀邻域标记场下k k i ξ) ( 的 Gibbs 能量为 U j ,。 ( ) ( ) ( ) 按照式 6 和式 7 计算标记场的 Gibbs 势2 本文使用上面的定义 , 对基于灰度的 FCM 目 能 。标公式进行改进 ,得下面的公式 : () () ( ) 3 根据式 4和式 5更新聚类中心和隶属度c c N 2 i q 矩阵 。α( ξ) ‖y - v ‖+ ?‖U j ,- μ J = ??k i ik j = 1 i = 1k = 1 () 4判断聚类结果是否收敛 ,如何收敛则停止迭 2( ξ) U j ,‖( )3 k k () 代 ,否则转 2。 其中 ‖?‖在本文中取 Euclid 距离 , 使用 L agrange() 5根据收敛的隶属度矩阵 ,按照最大隶属度原 乘数法 ,并取 q = 2 可得 :则 ,把模糊划分转化为硬划分 ,并输出分割的结果 。 μ=ik c 2 - 1 i 4 实验分析和结论2 ( ) αξ) ( ξ)( U j ,- U j , y - v + ?k i k k j = 1 c c 在实验中 , 本文使用 FCM 算法和本文算 2 - 1 2 i ( ) α ( ξ) ( ξ) U m ,- U m , y - v + ??k j k k 法分别对合成图像以及 M R brain p hanto m 进行了 m = 1 j = 1 ( )处理 ,并对得到的结果进行了比较和分析 。 4 N N ( ) 本文使用的合成图像为图 1 a所示的带正弦 2 2μμ ( )v = ?y / ?5 i i k k i k 乘性场的双灰度图像 ,合成图像在水平方向上按照 k = 1 k = 1 正弦规律缓慢变化 。由于图像灰度的波动 ,使得以 对 Gibbs 能量的计算 ,本文中考虑两点势团的 灰度为特征的 FCM 算法不能有效地把合成图像分 势能函数 ,对于邻域取值为 i ,但前点取值为 j 的均 匀分布 ,定义 : ( ) 离为上下两个部分 。图 1 b为以灰度为特征的,而且考虑了像素之间的相互影响 ,可以看出 ,图响 ( ) ( ) FCM 算法的分割结果 。图 1 c为使用本文算法得 像被分割为上下两个部分 ,基本上消除了图 1 b中 到的分割结果 , 本文的算法不仅考虑图像灰度的影 的两个狭长的分割带 。 图 1 合成图像以及处理结果 () ( ) () a原始图像 ; b基于灰度的 FCM 算法的结果 ; c本算法的结果 Fig 1 Synthetic image and segmentation results () ( ) () asynt hetic image ; busing intensit y based FCM algo rit hm ; cusing t he p ropo sed algo rit hm () () α( ) 2 a为对图 1 a加了 Gaussian 噪声的图像 ,且取不同数值时 ,迭代次数的差异要大于图 3 a图 ( ) 图 2 b为 FCM 算法的处理结果 。从图像上可以看 中的差异 。 在 另 外 的 实 验 中 , 使 用 了 Mc Gill 大 学 Mc2 ( ) 出 ,分割结果中包含了大量孤立的点 。而图 2 c为 Co nnell 脑部成像中心的 M R brain p hanto m 数据 ,数 使用本文算法的处理结果 ,其分割结果中孤立点的 据为使用 ICBM 成像协议的 T1 加权图像 , 大小为 ( ) 数目较之图 2 b大大减少 。 217 ×181 ,切片厚度为 1 mm , IN U 场为 40 % ,使用 ( ) α图 3 为对图 2 a进行处理时 , 的不同取值对 本文算法和传统 FCM 算法对不同噪声水平的 M R α迭代次数的结果 。可以看出 ,在取值的一定范围 ( ) ( 图像进行了白质 w hite mat ter , WM, 灰质 gray 内 ,本文算法分割的正确率要优于标准的 FCM 算 ) ( ) mat ter , GM, 脑脊液 cerebro spinal fluid , CSF三 () 法 。本文对图 2 a含 Gaussian 噪声为 1 %,20 %的 个部分的分割 ,并给出了和标准结果的偏差 。 ( ) 20 幅度图片 1 %的噪声步长进行处理并统计 , 取 图 4 为从左到右噪声水平分别为 9 % 、7 %和平均值 ,得到图 3 所示的迭代次数的收敛曲线 , 3 5 %的 M R 原始图片 。图 5 为对噪声水平在 9 %的() a中初始分割采用了以灰度中值为分界点的阈值 M R 图像进行处理后的分割结果的分离显示 。从左 ( ) 分割法 。图 3 b所对应的初始划分则是随机的 。 至右分别为 WM , GM 和 CSF 的分割结果 。其中第 () 由图 3 a的收敛曲线可以看出 ,在一个良好的初始 一行对应于基于灰度的 FCM 算法 , 第二行是本文α(α分割下 , 取不同值时 = 0 时 , 即传统的 FCM 算 算法的分割结果 ,并把最后的分割结果的灰度都设 ) 法,算法的迭代次数相差不大 。 置为 255 。 ( ) 图 3 b显示了在一个不理想的初始分割下 ,而 图 2 被 Ga ussian 噪声污染的图像以及处理结果 () ( ) () a噪声污染的图像 ; b基于灰度的标准 FCM 算法的结果 ; c本算法的结果 Fig 2 Synthetic image corrupted by Ga ussian noise and the corresponding segmentation results () ( ) () asynt hetic image co rrupted by Gaussian no se ; busing intensit y based FCM algo rit hm ; cusing t he p ropo sed algo rit hm 1268 生 物 医 学 工 程 学 杂 志 第 25 卷 图 3 算法的收敛结果 () ( ) a具有良好初始分割的收敛结果 ; b使用随机初始分割的收敛结果 Fig 3 Convergence and iteration eff iciency on synthetic images () ( ) ausing ideal segmentatio n initializatio n ; busing rando m segmentatio n initializatio n 图 4 被不同噪声水平污染的 M R 图像 () ( ) () a噪声水平为 9 %的 MR 图片 ; b噪声水平为 7 %的 MR 图片 ; c噪声水平为 5 %的 MR 图片 Fig 4 M R images corrupted by noise of diff erent level () ( ) () aco rrupted by 9 % noise ; bco rrupted by 7 % noise ; cco rrupted by 5 % noise 图 6 是对噪声水平为 7 %和 5 %的图像的分割7 中三条曲线从上至下分别对应着开始下降 。图 结果 。并且把白质 ,灰质和脑脊液的分割结果以不 IN U 场为 40 % ,含噪 5 % 、7 %和 9 % M R 图像的分 ( ) ( ) 同的灰度显示在一起 。其中图 6 a和图 6 b分别 割正确率 。 为使用 FCM 和本文算法对噪声为 7 %的图像的处本文对含噪声水平的 IN U 场分别为 40 %的 3 () ( ) 理结果 。而图 6 c和图 6 d分别为使用 FCM 和本 ×50 幅的 ICBM 成像协议的 T1 加权 , 大小为 217 ( 文算法对噪声水平为 5 %的图像的处理结果 。从图 ×181 ,切片厚度为 1 mm 的 M R 图像 Mc Gill 脑部 ) 5 和图 6 可以看出本文算法较之基于灰度的 FCM 图像 X Y 切面数据的第 51 帧至第 100 帧进行了统 α 计 ,图 8 为不同噪声水平和 取值对本算法迭代时算法而言 ,大大减小了噪声的影响 ,减小了图像中孤 立点的数量 。 间的影响 ,纵轴为对各帧图像用本文算法单次迭代 α 而图 7 显示了在不同的噪声水平下 , 的不同 的时间平均值 。图例由上至下分别对应含噪 5 % 、 α 取值对分割正确率的影响 。其中 = 0 对应着基于 7 %和 9 %的图像 。 α 灰度的 FCM 算法 。可以看出在一定范围内分割正 由图 8 可看出 , 对于噪声较大的图像 , 不同 αα 确率为的增函数 。但是随着 增大 ,分割正确率 取值时迭代时间的摆动幅度也越大 ,噪声小的图像 对应的曲线摆动幅度较小 。由图 3 、7 、8 可以看到 , α 在不同噪声水平下 ,对算法的分割正确率和迭代 次数和迭代时间都有影响 ,所以进行图像处理时还 α要对作进一步的权衡 。对图像中的各个区域的 自适应取值 ,也是需要进一步研究的问题 。总的来 说 ,由于本文算法在传统 FCM 算法中引了 Gibbs 能 量的计算 ,在合理取值范围 ,分割的结果要优于传统 的 FCM 算法 ,同时由于本文算法在传统的 FCM 目 标公式中引入了计算 Gibbs 能量的附加项 ,使得在 相同的迭代次数下 ,本文算法的计算时间是前者的 数倍 ,所以合理取值和本算法的快速计算是今后研 究的重点 。本文的实验环境为 Pentium117 G , 256M 图 5 对含噪 9 %的图像使用传统 FCM 算法和本文算法的白质 、灰内存 ,V C8 编程 ,Win Xp SP2 系统 。 质和脑脊液的分割结果本文在传统的基于灰度的 FCM 算法的基础 Fig 5 Segmentation results of WM , GW and CSF f or the M R image corrupted by 9 % noise using intensity ba sed on FCM and the 上 ,利用 Gibbs 模型 ,提出了 Gibbs 邻域的均匀分布 proposed algorithm 图 6 使用传统 FCM 算法和本文算法的分割结果() ( ) () a对含噪 7 %的图像使用 FCM 算法的分割结果 ; b使用本文算法对含噪 7 %的图像进行分割的结果 ; c对含噪 5 %的图像使用 FCM 算法的( ) 分割结果 ; d使用本文算法对含噪 5 %的图像进行分割的结果Fig 6 Segmentation results using diff erent algorithms () ( ) ( ) ausing FCM fo r MR image co rrupted by 7 % noise ; busing t he p ropo sed algo rit hm fo r MR image co rrupted by 7 % noise ; cusing FCM fo r MR ( ) image co rrupted by 5 % noise ; dusing t he p ropo sed algo rit hm fo r MR image co rrupted by 5 % noise α α 图 7 不同噪声水平下 ,取值对分割正确率的影响图 8 不同噪声水平下 ,取值对本文算法迭代时间的影响 α α Fig 7 Correct cl ustering rate with diff erent val ues of in various en2 Fig 8 Iteration time with diff erent val ues of in various environment vironment corrupted by noise corrupted by noise 1270 生 物 医 学 工 程 学 杂 志 第 25 卷 6 Chen SC , Zhang , DQ . Ro bust image segmentatio n using FCM 的概念 ,并利用隶属度函数定义了模糊条件下势团 wit h spatial co nst raint s based o n new kernel2induced distance mea2 的能量 ,从而引入了图像在空间上的约束 ,并对聚类 sure. I EEE Trans Systems , Man and Cybernetics Part B2Cyber2 的目标函数进行了改进 ,提出了新的算法 ,对合成图 ( ) netics , 2004 ; 34 4?1907 像和 M R 图像的实验结果表明该算法对含噪声的 7 Pham DL . Fuzzy clustering wit h spatial co nst raint s. I EEE Pro2 图像的分割是有效的 ,提高了图像分割的准确性 。 ceedings. Internatio nal Co nference o n Image Processing , 2002 ; 2? I I265 参 考 文 献8 Pham DL , Prince J L . An adaptive f uzzy C2means algo rit hm fo r image segmentatio n in t he p resence of intensit y inho mogeneities. Tsai DM , Chen YH. A fast histogram2clustering app roach fo r 1 ( ) Pat tern Recognitio n L et ters , 1999 ; 20 1?57 multilevel t hresholding. Pat tern Recognitio n L et ters , 1992 ; 13 9 Tolia YA , Panas SM . On applying spatial co nst raint s in f uzzy im2 ( ) 2?245 age clustering using a f uzzy rule2based system , I EEE Signal Pro2 2 Pham DL , Prince J L . 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