一类分数阶系统的分析及控制器设计

一类分数阶系统的分析及控制器 一类分数阶系统的分析及控制器设计 第40卷第4期 2011年8月 信息与控制 InformationandControl Vb1.40.N0.4 Aug.,2011 DoI:10.3724/SEJ.1219.2011.00547 一 类分数阶系统的分析及控制器设计 王晓燕,王东风,韩璞 (华北电力大学控制与计算机工程学院,河北保定071000) 摘要:针对一类与传统一阶惯性环节传递函数结构类似的分数阶系统,推导出该类分数阶系统稳定的参数取 值范围,并给出了不同时间响应与分数阶阶次的对应关系.然后基于该类分数阶系统同时设计了分数阶P1控制器 和整数阶PI控制器,控制器参数采用粒子群优化算法得到.结果表明:在控制该类对象时两者均能取得很好的控制 效果,证明了本文所提方法的有效性.但由于整数阶PI控制器比分数阶P1控制器简单且便于实现,因此在工程应 用中针对该类分数阶对象选择PI控制器即可满足要求. 关键词:一阶系统;分数阶系统;稳定性;分数阶控制器 中图分类号:TP273文献标识码:A文章编号:1002—0411(2011)一04—0547—06 AnalysisandControllerDesignofaClassofFractional-OrderSystem WANGXiaoyan,WANGDongfeng,HANPu (SchoolofControlandComputerEngineering,NorthChinaElectricPowerUniversity,Baod ing071000,China) Abstract:ForaclassoffractionalordersystemWhichhassimilarstructuretothetraditionalfirstorderinertialinktransfer function,thescopeoftheparameterswhichcarlensurethestabilityofsuchfractionalordersystemisgivenandtherelation— shipbetweentimeresponseandthefractionalorderisanalyzed.ThenboththefractionalordercontrollerPandinteger ordercontrollerPIaredesignedbasedonsuchkindoffractionalordersystem.Theparametersofthecontrollersareobtained byparticleswarlnoptimizationalgorithm.ResultsshowthatboththecontrollersCanachievesatisfactoryperformance,SO themethodsproposedinthispaperareeffective.ConsideringthattheintegerordercontrollerPIismoresimpleandeasy torealizecomparedwiththefractionalordercontrollerpIz, thereforethecontrollerPIispreferentialwhencontrollingsuch kindoffractionalorderobiectinengineeringpractice. Keywords:firstordersystem;fractionalordersystem;stability;fractionalordercontroller 1引言(Introduction) 分数阶微积分是研究任意阶微分和积分的理 论,是普通整数阶微积分向非整数阶的推广.与常 规整数阶微分方程相比,分数阶微分方程能更为准 确地描述实际物理系统.研究表明,分数阶微积分 算子在表征具有记忆和遗传特性的物质和分形介质 的动态过程方面具有明显优势[1】.目前,分数阶微 积分已广泛用于粘弹性材料_2】,电化学过程【3J,热 传导[4],长的传输线[5】,信号处理[6】,混沌[7】,生 物[8】,环境[9】,交通_lo],金融_I1]等各个方面. 分数阶控制的概念最早由Tustin于20世纪5O 年代一篇多目标位置控制的文章中所引入,另外一 些研究由Manabe于20世纪6O年代总结完成[12]. 由于当时缺乏足够的数学知识和强有力的计算工 具,分数阶控制并未在控制领域引起重视.近几十 年来,分数阶微积分在理论和应用方面的飞速发展 为以整数阶微积分理论为基础的控制理论和控制工 程提供了一个新的发展空间. 系统在时间域内的分析及时域控制器的综合是 系统分析与控制最基本和常用的方法,对分数阶系 统来说也是如此.由于分数阶微分算子S本身是无 穷维的,通过计算特征方程的根来对分数阶系统进 行时域分析相当困难.目前解决的方法是通过复平 面转换W=S将S域分数阶系统转换为W域整数阶 系统,从而问接分析分数阶系统的稳定性,得出的 结论可作为一般分数阶控制系统的理论基础. 对于分数阶控制系统,以往的方法是将其近似 为整数阶系统,然后对近似系统进行控制器设计, 这样就存在设计偏差,甚至不能满足原系统重要 性能如稳定性的要求,因此有必要进行分数阶控制 器的研究和设计[13].常见的分数阶控制器形式是 基金项目:中央高校基本科研业务费专项基金资助项目(11MG49). 通讯作者:王晓燕,wxyncepu@126.com收稿/录用/修回:2010-04—30/2010— 07-27/2010—11-29 信息与控制40卷 PID,由Podlubny提出.已有的设计方法包括极 点分布法,频域设计方法,状态空间设计方法及两 步法[14】等.两步法的实质是先按整数阶控制器整定 方法进行参数整定,然后再调整九和进一步改善 控制性能.为保证闭环控制系统对增益变化的鲁棒 性,Chen等设计了PI控制器[15]. 本文工作主要是两方面:(1)针对在结构上与 传统一阶惯性环节传递函数类似的一类分数阶系 统:G(s)=K/(rs+1)(>0,K>0,>0),根据 分数阶系统的稳定条件,推导该类系统稳定的参数 取值范围,并分析不同时间响应与分数阶阶次的对 应关系;(2)针对该类分数阶系统利用粒子群优化 算法(PSO,particleswarmoptimization)设计分数阶 PI控制器和整数阶PI控制器,并对两者进行分析 比较. 2分数阶微积分及分数阶系统稳定判据 (Fractionalcalculusandstabilitycriterion offractiona1.ordersystem) 2.1分数阶微积分概念 分数阶微积分定义有多种,本文采用Grtinwald— Letnikou定义. 设厂为一个连续可导函数,其0f阶微积分定义 如下: 0一a)/h n Da t f(t)w~f(t一)(1) 式中:w=,j1(?)为伽马函数;一 a)/h1表示取整,h为步长;t和a分别表示积分上, 下限. 式(1)统一了分数阶微分和积分,0f>0表示分 数阶微分,0f<0表示分数阶积分.理论上分数阶阶 虚轴 轴 次可以是任意的,包括无理数甚至复数.本文假 定为正实数. 零初始条件下,oDtaf(t)的拉普拉斯变换定义为 L[oD~f(t)]=saL[f(t)】(2) 2.2分数阶系统稳定判据 若分数阶系统的特征方程可以写成 ?bis?=0,bi?R,a/?R+(3)i=0 则该类分数阶系统可以称为一般意义上的分数阶系 统[16].若%到%有公因子0f(0f?R十),即存在正 整数k满足=kin(f=0,…,,z),则有 ?biSki=0,ki?Z(4) i=0 令W=S,将S复平面转换为W复平面,则式 (4)变为 ?w岛=0(5)i=0 式(5)为W的有理多项式.根据该有理多项式 可以间接分析原分数阶系统的稳定性.文[16]给出 了具体判定步骤: (1)寻找所有分数阶阶次的公因子0f. (2)令W=S,将S复平面转化W复平面. (3)对于给定的系数b,计算等式(5)关于变量 W的根. (4)计算所有根的相位绝对值的最小值lmiI. 如果lmiI>,那么系统稳定;若lmil:, 则系统临界稳定;否则系统不稳定. 0<<1和1<<2时的稳定区域如图1所 示.由图1可以看出,随着分数阶阶次的增大,系统 的稳定区域越来越小. 虚轴 口兀 ,\2 I I I 不稳定实轴 区域 (a)0<<1(b)1<0f<2 图1分数阶系统的稳定域 Fig.1Stabilitydomainofthefractional—ordersystem 4期王晓燕等:一类分数阶系统的分析及控制器设计 更进一步地,文[17]分析了分数阶系统W域极 点分布与时间响应特性,如表1所示. 表1W域极点分布及时间响应特性与S域对应关系 Tab.1PoledistributionandcharacteristicoftimeresponseinW domainandSdomain w域s域响应特性 ll<7c/2ll<丁c/2不稳定 ll=兀/2ll=n/2临界稳定 丁c/2<lI<0f7c丁c/2<ll<7c欠阻尼(衰减振荡) lI=兀fl=7c过阻尼 尢<ll?丁c第二黎曼叶超阻尼 由表1知,0?ll?7c对应S平面的"第一黎 曼叶",0c尢<ll?7c对应S平面的"第二黎曼叶". 对特征根位于第二黎曼叶上的分数阶系统的时间响 应特性,文[17]给出了"超阻尼"的概念,其具体内 容及形象的解释可参考文[17]及文[18]. 3一类分数阶系统的稳定性分析(Stability analysisofaclassoffractiona1..ordersys.. tem) 本文研究具有如下形式传递函数的分数阶对 象: G()(丁>0,K>0,0f>0)(6) 与传统一阶惯性环节相比,该分数阶传递函数 只多了一个分数阶微分算子S,但其动态特性却要 复杂得多.下面根据2.2节分数阶系统稳定条件推 导该类分数阶系统闭环稳定的参数范围并分析其时 间响应. 令W:S,则式(6)的特征方程为Tw+1=0, 特征根为W=一1/T,其相位绝对值为ll=兀.由表 1容易推导出:0f>2时系统不稳定,0f=2时临界 稳定;1<05<2时单位阶跃响应为衰减振荡,=1 时单位阶跃响应为过阻尼,0<<1时单位阶跃响 应为超阻尼. 当K=10,T=100,0f分另0为0.5,1,1.5,2,2.03 时,阶跃响应如图2,0f分别为0.5,1,1.5,2,2.5 时的Bode图如图3. 由图2,图3可得出如下稳定性结论: (1)该类分数阶系统的稳定性和时间响应特性 只与分数阶阶次有关而与,无关. (2)当1<0c<2时出现了谐振,称之为"分数 阶谐振(fractionalresonance)[17]",对应阶跃响应中 的衰减振荡. (3)该类分数阶系统的稳定性也可从Bode图上 进行分析.用文[19]给出的分数阶对数频率判据也 可分析该类分数阶系统的稳定性,用该方法判断出 的稳定性结论与本文结果一致. 图2不同阶次下的阶跃响应 Fig.2Stepresponseswithdifferentfractionalorders ? 0一 蛋一1 矗一1 星一2 一, 图3不同阶次下的Bode图 Fig.3Bodeplotswithdifferentfractionalorders 4一类分数阶系统控制器的设计(Contro1. 1erdesignofaclassoffractional--ordersys-- tem) 针对上述分数阶系统,利用PSO算法进行闭 环控制器的设计,控制器采用分数阶PI形式(当 = 1时即为常规整数阶PI控制器).PSO是一种基 于群体智能的高效并行的随机搜索算法,但其随机 性又会导致优化过程不易稳定,不易找到全局最优 解.为此,本文分两步设计控制器:首先根据分数阶 系统的稳定判据,推导出在一定的情况下使闭环 系统稳定的积分时间常数Ti和阶次的取值范围. 然后利用PSO算法进行寻优,解空问的初始值在该 取值范围内设定,从而降低寻优随机性,提高寻优 效率. 550信息与控制40卷 4.1保证闭环稳定的控制器参数范围 图4所示分数阶PI的传递函数为 Gc()+赤 该控制系统的闭环传递函数为 G?=鬻 特征方程为 +(+1)s/r+/~/rri=0 图4分数阶闭环控制系统 Fig.4Closed—loopfractional—ordercontrolsystem (7) (8) (9) 令K=10,T=100,=1.5,=1,ri取值范 围在0,5O内变化,下面用2.2小节分数阶系统的 稳定性条件推导当分别为0.5,1,1.5时闭环分数 阶系统的稳定性情况. 当=0.5=1/2,:1.5=3/2,由式(9)可 得:/+0.1ls/+0.1ri=0.因有公因数05=1/2, 令W=S=S1/,则上式变为:+0.11w+0.1/ri= 0.同理可得当九=1,=1.5时特征多项式分别为 W+0.11w+0.1/=0,W+O.11w+0.1/=0. 因=1/2,因此系统稳定的条件是lIIlil> == 45..不同阶次下最小绝对相位与的关 系如图5所示. \./ \ 靛 -?' 略 圜 {/礁竞... { 图5不同阶次下最小绝对相位与ri的关系(=1) Fig.5Minimumabsolutephaseversusfordifferentorders (:1) 由图5可以看出,当=0.5时,ri在0, 50内均是稳定的,当=1时,ri>3.1稳定,当 = 1.5,ri>16.5时稳定. 该取值范围的确定为下一节应用PSO优化控制 器参数时初始值的选择提供了依据. 4.2控制器参数的PSO优化 (1)PSO原理 在PSO中,每个解被认为是一个"微粒",每个 微粒都有一个适应度值.与其它进化算法类似,解 空间首先被初始化为一组随机值,然后通过代数的 更新寻找最优解. 假设在?维搜索空间中有m个粒子,粒子i(f = 1,2….,m)的空间位置为x(X…,Xf?),将 x代入目标函数就可以计算出其适应度值,根据适 应度值的大小可以衡量X的优劣.粒子i经历的最 优位置记为PI=(PfljP…,Pw),相应的适应度值 称为个体最优解Pb..对于最小化问题,目标函数 值越小,对应的适应度值越好.设f(x)为最小化目 标函数,则粒子i的当前最好位置由下式确定: , Pfff+1):{P()f(xi(+))?厂(P()) Ixi(t+1),(xf(+1))?厂(Pf()) (10) 寻优过程中粒子群经历的最优位置=(Pglj Pg2j…,pgN),其对应的适应度值称为全局最优解 gb.粒子i的搜索速度表示为V(v…,v), 则粒子根据下式来更新自己的速度和位置: Vin(t+1)=fOvi)+clrl(pi一Xi)+czr2(p即一Xi) Xin(t+1)=Xi(f)+Vin(t+1)(11) 式中:f=1,2,...,m,n=1,2,...,J7V;t表示第t代;? 为惯性因子;Cl和C2为学习因子,C1调节粒子飞向 自身最好位置方向的步长,C:调节粒子向全局最好 位置飞行的步长;,_1和是介于『0,l1之间两个独 立的随机数;?,‰],根据实际问题来确 定粒子的取值范围;1,?『一1,v],单步前进 的最大值1,根据粒子的取值区间长度来确定. PSO算法如图6所示. (2)解空间初始值的确定及目标函数的选择 本文利用PSO对分数阶PI控制器及整数阶PI 控制器同时进行优化.对分数阶PI控制器,有3个 参数需要整定,分别是,及.对整数阶PI控 制器,有2个参数需要整定,即和ri. PSO基本算法的缺点是随机性强,不易找到全 局最优解.若在优化前能火体知道其参数取值范围, 4期王晓燕等:一类分数阶系统的分析及控制器设计551 然后以该初始参数为中心进行参数寻优则可避免随 机性,提高寻优效率. 根据4.1节稳定性结论,对PI控制器初值选择 为o=1,Zo=1.5,Ti0=30.对Pl控制器初值选 择为=1,Tio=30. 为同时兼顾动态响应特性和防止控制作用过快 对执行机构造成的不利影响,本文采用如下性能指标函数: J=I(ql(tle(t)I)+q2Iu(t)l)出(12) 式中:()为误差;t为时间;u(t)为控制器输出; q1,g2为权系数,本文取ql=q2=0.5. PSO其它相关参数取值如下:群体规模m=30; 惯性因子CO=0.9—0.5.t/MaxNum,t为当前迭代次 数,MaxNum为最大迭代次数,MaxNum=150;c1= C,=1.5. 图6PSO算法流程图 Fig.6FlowchartofPSO~gofithm 根据图6所示PSO基本流程图进行参数寻优, 结果见表2. 表2PSO优化结果 Tab.2OptimizationresultsofPSO 4.3仿真分析 以表2中PSO优化结果作为控制器参数的整定 值.图7为分数阶PI控制器和整数阶PI控制器作 用下的单位阶跃响应曲线,图8为两种控制器作用 下的控制作用曲线. 由表2,图7和图8可以看出,当用分数阶PI 控制时目标函数值要比整数阶PI小,但从控制效果 来看两者差别不大,均取得了很好的控制效果,同 时控制作用也在执行机构可以承受的范围内. /整殳阶控带器控分数阶j寸象 \分骱控制器控制}数阶象 0102030405060 t/s 图7单位阶跃输入下输出响应曲线 Fig.7Responsecurvesofoutputunderunitstepinput /数阶空制:输出 ——.. 一一 整数阶控lIJ器输出 01020304050607080 t/s 图8单位阶跃输入下控制作用曲线 Fig_8Curvesofthecontrolactionunderunitstepinput 5结论(Conclusion) 一 阶惯性环节是常见的,具有代表性的控制系 统,对一阶惯性环节的性能分析在古典控制理论研 究中占有重要地位.受此启发,本文给出了一类开 环传递函数同传统一阶系统结构类似的分数阶系 统,虽然结构类似(仅有阶次的区别),但其时间 响应与传统一阶系统相比却要复杂得多.根据分数 阶系统的稳定性条件,推导出当>2时系统不稳 定,0f=2时临界稳定,1<of<2时单位阶跃响应 为衰减振荡,=1时为过阻尼,0<o[<1时为超 阻尼. 在此基础上,针对该类分数阶系统设计了分数 阶PP控制器和整数阶PI控制器.仿真结果表明, 整定的分数阶Pp控制器和PI控制器均能取得较好 的控制效果,由于PI比PI少一个可调参数,因而 在工程中当控制该类分数阶对象时选择PI控制器 4218642 110OOO 5432101 552信息与控制40卷 即可满足要求. 参考文献(References) [1】TanN,FarukOO,Mine0M.Robuststabilityanalysisoffrac— tionalorderintervalpolynomials[J].ISATransactions,21)09, 48(2):166—172. 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