【精品】数学分析是师院数学专业的主修必修课程38

【精品】数学是师院数学专业的主修必修课程38 前 言 《数学分析》是师院数学专业的主修必修课程，它既是学生学习现代数学的重要基础课程，也是培养学生数学能力的主要数学课程，这门课程横跨第一、第二、第三个学期，占用312课时，位列各门课程之首，这门课程的教学质量，对于学生整体专业水平，占有举足轻重的地位。 为了搞好本课程的建设，深入开展教学改革，为考核和评估提供依据，不断提高教学质量，我们编写了这份材料，其中包括“《数学分析》对学生专业能力的培养目标”，“《数学分析》教学目标分类表”以及“《数学分析》教学目标细目”。 这份材料客观而充分地反映了本科院校数学专业《数学分析》对学生知识和能力两方面的要求，详细列出本课程的知识点及能力培养要求，这对于教师组织教学工作，编制试，分析教学质量，都是一个重要的依据。 参加这份材料编写工作的有陈克军、钱明忠、张爱武、何新龙、韩诚、姜海波、李高林、李万斌等老师，采取分类编制，集体讨论定稿，并得到了数学科学学院领导的大力支持和其他课程组老师的协助。 1 《数学分析》对学生专业能力的培养目标 师院教学专业学生的专业能力，主要是应用数学知识分析和解决问题的能力，具体地说，就是逻辑思维能力，运算能力以及空间想象能力，为了实现学生从高中生到中学数学教师的转变，从专业上讲，不仅应向学生传授一定量的数学知识，而目更应加强学生专业能力的培养。 《数学分析》是师院数学专业的主干课程，横跨三个学期，占用三百多课时，居各门课程之首。该课程以它的系统性、简洁性、实践性而著称，它既是现代数学的重要基础，又和应用科学联系密切，包含了极其丰富，极其重要的数学知识，数学方法和数学思想。因此，在该课程中明确对学生专业能力的培养目标，用以指导教学实践，无疑是十分必要的。 下面先就三个专业能力作一些说明，然后再结合大纲，教材，列出三个专业能力的能力点。 一、逻辑思维能力 整个数学体系，是严格地按照形式逻辑的规则建立起来的，高等数学是如此，初等数学也是如此，作为一个合格的中学数学教师，逻辑思维能力是最重要的专业能力，而这也是师院学生最弱的专业能力。 教学中应加强逻辑思维能力的训练，逐步向学生渗透形式逻辑的基本知识，迅速使学生养成合乎逻辑的思维习惯，切实让学生掌握数学中常用的逻辑推理方法，教导学生自觉地按照逻辑思维规律去汲取知识，发现知识。教学中要向学生讲清概念的来龙去脉，分析命题的条件，结论及其逻辑联系，给出严格的证明，并通过适当的证明题作业，使学生掌握数学归纳法等直接证明方法，以及反证法，同一法，归谬法等间接证明方法，让学生经常运用演绎、归纳、分析、综合、类比、假说等一系列逻辑思维方法，同时，也应逐步向学生介绍函数论中十分精彩的举反例方法，变量代换方法，辅助函数方法，提高学生分析和解决证明题的能力。 二、运算能力 运算能力对于一个合格的中学数学教师是十分重要的，它包括运算速度和准确性两个方法，教学中许多老师均感到不少学生运算能力较差，考试中在运算方面失分较多，必须加强对学生进行运算能力的训练，教学中应适当增加运算的复杂性和运算量，逐步向学生介绍提高运算速度以及保证运算正确性的各种技巧，巩固学生在中学学到的各种运算方法，加强学生的恒等变形能力。《数学分析》中包含了各种常用的运算方法及许多计算技巧。 2 三、空间想象能力 空间想象能力的培养也是不可忽视的。教学中应通过有关概念、命题的几何意 义，几何应用，通过函数与图形的联系，通过空间实物，模型的演示，逐步增强学 生的空间形体观念，不断提高学生的空间想象能力。 以下我们分别列出以上三种能力的能力点，以资教学中参考。 I 逻辑思维能力能力点 一、概念(定义) l、函数概念 2、极限概念 、一致连续性概念 3 4、导数概念 5、定积分概念 6、级数的一致收敛性概念 二、判断(命题) 1、反函数存在性条件 、数列极限的等价定义 2 3、数列的收敛性与有界性的关系 4、实数连续性的公理 5、数列收敛的柯西准则 6、海涅定理的逆命题 7、实数连续性的几个等价的关系 8、连续性与一致连续性的关系 9、连续性与可导性的关系 10、可导与可微的关系 11、三个微分中值定理之间的关系 12、单调性条件 13、连续性与可积性的关系 14、级数收敛必要条件的运用 15、级数的收敛与绝对收敛的关系 16、函数项级数的收敛性与一致收敛性的关系 17、多元函数可偏导与可微的关系 18、曲线积分与路径无关的条件 3 三、推理与证明 1、反函数存在性定理 2、极限理论 3、函数的连续性 4、微分中值定理 、实数连续性基本理论 5 6、闭区间上连续函数的基本性质 7、函数的可积性理论 8、微积分学基本定理 、函数项级数一致收敛理论 9 10、函数项级数和函数的分析性质 11、隐函数存在性定理 12、闭回路曲线积分理论 13、含参变量广义积分的一致收敛理论 14、一元理论向多元理论的类比推理 ? 运算能力能力点 1、函数值的计算 2、函数定义域的计算 3、求数列或函数的极限 4、求函数的导数或偏导数 5、求函数的极值或条件极值 6、求函数的不定积分，定积分，重积分或曲线、曲面积分 7、求函数级数的收敛域，和函数求函数的泰勒级数，傅里叶级数 8、求曲线的切线，法线及弧长 9、求曲面的切平面，法线及面积 10、求立体的体积及侧面积 11、求物体运动的速度，加速度及质量 12、求变力作功 13、求液体压力 14、求物体的重心 ? 空间想象能力能力点 1、函数与图形的结合 4 2、导数与切线斜率 3、函数单调性，凹凸性的研究 4、定积分与曲边梯形的面积 5、偏导数与空间曲面的切平面 6、重积分与空间立体的体积 、相贯体上三重积分的计算 7 8、柱面、球面坐标的直观演示 最后，我们申明两点: 1、《数学分析》中充满了辩证法，教学中应注意渗透辩证法的变化，发展以及 联系的观点，让学生学会辨证思维方法( 2、学生专业能力的培养，是一项长期而又艰巨的工作，光靠一门课程，一个教师的工作是不够的，需要全体任课教师通力协作，一丝不苟的努力( 5 《数学分析》教学目标分类表 类别 代号 分类目标说明 这是本目标分类中的最低层次～应达到以下的要求: 识记 A ,1,对所授知识以原有形式存入大脑～并能准确地再现, ,2,能应用所记知识进行直接的判断～填空和计算( 在已达识记目标的基础上～应达到以下的要求 ,1,理解所授知识的含义～与已接受知识建立联系～使 之系统化, 理解 B ,2,了解知识的来龙去脉～弄懂知识形成的思维方法和 逻辑推演过程( 《数学分析》知识极其丰富～学生对知识系统和逻辑结构 的掌握～是至关重要的～这是教学工作的主要目标( 在已理解目标的基础上～应达到以下的要求: ,1,能应用掌握的知识～熟练地解答一般难度的计算题 和应用题, 简单,2,能应用掌握的知识～进行简单的、合乎逻辑的推理 C 应用 论证( 《数学分析》知识的掌握程度～总是以解题的形式来检查 的～因此～在教学工作中～应保证学生有足够多的解题实 践( 这是本目标分类中的最高层次～应达到以下的要求: ,1,能应用所授知识～解答综合性较强的习题, ,2,能将所授知识应用于生产实际～解决实际问题, 综合 D ,3,能应用所授知识去获取新知识～建立新知识( 应用 《数学分析》是一门比较成熟～应用性较强的学科～后继 课程很多～教学工作中～注意深、广度上引导学生有余力 的学生( 6 《数学分析》教学目标细目 章目节序标知识点 知识点细目 名号等 称级 第一章 函数 ?1.1 函数概念 R 1 函数概念 设为实数集，如按照对应关系ARA,,,,,,,xA, A，与对应，则称对应关系是定义在数集f，,1yRfx C A上的函数，称为函数的定义域，fAfxxA(){()},, 称为的值域，记成( ffAR:, g2 函数的四则运算 设，，，则，的fAR:,gBR:,fAB,,, 和、差、积、商分别由以下各式定义: ()()(),fgfxgxxAB，,，,, B ()()(),fgfxgxxAB,,,,, ()()(),fgfxgxxAB,,,,, (/)()/(),fgfxgxxAB,,, 3 函数的三种表示方解析法;(2)法;(3) 图像法 A 法 ?1.2 几种特殊的函数 A 4 有界函数 设函数在数集上有定义，如果有 f，,,,MxA0,, A(?)，则称f在上有界; fxM(), C A(?)fxM(),，则称f在上有上界; A(?)，则称在上有下界( fxM(),,f AA 5 三种有界性之间 函数f在数集上有界当且仅当f在上既有上界，又 B 的关系 有下界( A,,,xxAxx,,, 6 单调函数 设函数f在数集上有定义，如果1212 有 Afxfx()(),f(?)，则称在上单调增加; 12C Afxfx()(),(?)f，则称在上单调增加; 12 Afxfx()(),(?)，则称f在上严格增加; 12 Afxfx()(),f(?)，则称在上严格减少( 12 7 AA 7 奇、偶函数 设为一个数集，，有，在数集上f,,xA,,xA 有定义，如果， ,,xA B A(?)，则称在数集上是奇函数; fxfx()(),,,f A(?), 则称在数集上是偶函数( fxfx()(),,f AL 8 周期函数 设为一个数集，为一非零常数， 若 ,,xA,有 A设在数集上有定义，且有xLA，,,f,,xA, B AL，则称在上是周期函数，称为fxLfx()()，,ff 的一个周期( ?1.3 复合函数与反函数 AB 9 复合函数的概念 设的定义域为，的定义域为，且yx,,()zfy,() ，则对满足xGzR,，,,,GxAxB,,,,,{()}, C ，从而在上定义了一个函数，称之为函数zfx,(()),G 与的复合函数( zfy,()yx,,() 10 反函数的概念 设由函数，如果满足yfxxA,,(),,,，,yfAxA(), 则在上定义了一个函数，称之为函数fxy(),,fA() C yfxxA,,(),的反函数，记成 ,1,1xfyyfA,,(),()或yfxxfA,,(),()( A 11 反函数的存在条件 若函数yfx,()在上严格增加(减少)，则yfx,()存 B ,1xfy,()在反函数，且在上也严格增加(减少)( fA() 12 初等函数的概念 由常值函数与基本初等函数(幂函数，指数函数，对数函 数，三角函数，反三角函数)，经过有限次四则运算以及A 有限次复合运算所得的函数统称为初等函数( 第二章 极限 ?2.1数列界限概念 13 定义 ,,N若则称,,，,,,,,,0,N,,NnNaa当时，总有n D {}alim()aaaan,,,,或数列收敛于a，记成( nnn,,n 14 用定义证明数列极(1) 直接由,解出; N B 限式 (2) 利用不等式放大，又由,找出( N ?2.2 收敛数列的基本性质 {}a 15 收敛数列极限的唯若数列收敛，则它的极限唯一( nC 一性 8 {}a{}a 16 收敛数列的有界性 若数列收敛，则有界( C nn (1)若 lim,lim,,N,aabbabN,,,，,则 17 收敛数列的保号性 nn,,,,nn 当时恒有naN,,，,当时，nn,,,,nn 有,则aaNabc时，当时，恒有nnn (?)limlim,limaclbl,,,则( nnn,,,,,,nnn 21 单调有界法则 单调有界数列必收敛(取作公理)( C 1n 22 重要极限? ，,elim(1)C ,,nn {}a,,,，,,,0,N,,NmnN当时， 23 柯西准则 数列收敛 nC (证明待后)( 恒有aa,,,mn ?2.4 函数极限的概念 lim()fxA,f在[,)a，,上有定义，: (1)设函数定义 ,,X 24 x,，, ,,，,,0,X>0,当x时，X; 恒有fxA(),,, C lim()fxA,(2)设函数f在(,],,a上有定义，: x,,, ,,，,,0,X>0,当x时，0,当x时，X恒有fxA(),,,定义 ,,, 25 (1) 设f在的一个去心邻域内有定义a C lim()fxA,: xa, 9 ; ,,，,,,,,0,>0,0当>时，xa恒有fxA(),,, (2) 设在的一个去心邻域内有定义f(,)aha, ，左极限: lim()fxA,(0)h,,xa, ,,，,,0,>0,当时，a-0,当时，a0,,当时，00,,当时，00,,恒有fxM(),当时，00, 对任意,当时，x,xIxx,,,,1212 C ， 恒有fxfx()(),,,12 则称函数在区间I上一致连续( fx() 一致连续性(Cantor) 113 如果函数fx()在闭区间[,]ab上连续，则称函数fx()定理 C 在闭区间[,]ab上一致连续((证明方法:使用有限覆盖 定理，从,找出通用的) , 第七章 不定积分 ?7.1 概念、公式与法则 设函数fx()在区间上有定义，如果存在函数Fx()，I原函数概念 114 ,使对任何xIFxfx,,,()()，则称Fx()是函数fx()C (在区间)上的一个原函数( I 原函数一般形式 115 Fx()fx()若是函数(在区间I)上的一个原函数，则 B fx()FxC()，的任意原函数可表成( 23 不定积分定义 116 函数的所有原函数，称函数的不fx()FxC()，fx() fxdxFxC()(),，定积分(表为(其中，称为fx()D , 被积函数，称为积分表达式，称为积分常数( fxdx()C d运算法则 117 (1) [f(x)dx],f(x),dx (2) dF(x),F(x)，C, B (3)(k是常数～ k 0) kf(x)dx,kf(x)dx,, [()()]()()fxgxdxfxdxgxdx,,,(4) ,,, 基本积分表 118 (1) (k是常数) kdx,kx，C, 1,,，1xdx,x，C(2) ,,1， 1(3) dx,ln|x|，C,x xax(4) adx,，C,lna (5) cosxdx,sinx，C, C (6) sinxdx,,cosx，C, 12(7) dx,secxdx,tanx，C,,2cosx 12(8) dx,cscxdx,,cotx，C,,2sinx 1(9) dx,arctanx，C,21，x 1dx,arcsinx，C(10) ,21,x ?7.2 两种积分法 分部积分法 119 ,uxvxdx()(),u(x) v(x)及设函数可导，且不定积分 , ,uxvxdx()()均存在，则有 ,C ,,uxvxdxuxvxuxvxdx()()()()()(),, ,,(第一换元积分公式 120 设u,,(x)在[,],,上可导，且，～f(u),,,,,,(),[,]xxabC (凑微分公式) 24 在上有定义并具有原函数～ 则有换元公式 [,]abFu() ,fxxdxFxC[()]()[()],,,,， ( ,, 第二换元积分公式 121 设x ,(t)是在上可导～且,[,],,(代换法) ,，f(x)在上有定义并有原,,,,,,,(),()0tt[,]ab C ,fttdt[()](),,函数F(u)～有原函数， Ft(), 则有换元公式 ,1fxdxFxC()[()],，,( , ?7.3 有理函数积分法 有理函数积分法基本 122 求有理函数不定积分的基本步骤:RxPxQx()()/(), 步骤 (不妨设为既约分式) Rx() 1、 将分解成实系数的一次因式和二次不可约因Qx() 式的积的形式; C 2、 将分解成一个多项式与若干个部分分PxQx()/() 式之和的形式;(待定系数法) 3、 求出各部分分式多项式的不定积分; 4、 合并所得结果，即得到Rx()的不定积分( Adx四类部分分式的积分 123 1、 ,,，Axacln,xa, BdxB1,nxacnINn,,，,,(),,2其中，2、 n,()1xan,, AxBABApxp，,，2223、 dxxpxqc,，，，，ln()arctan2,22xpxq，，244qpqp,, B 240qp,,其中， AxB，240qp,,dx4、其中，，可转n,22n,()xpxq，， dtI,化为我们有递推公式 n22,()ta， 25 tn23,II,，( nn,122212n,2(1)()2(1)antaan,，, ?7.3 简单无理及三角有理式的积分法 124 axb，axb，nnRx(,)Rx(,)的积对于的积分(其中)nadbc,,,2,0cxd，cxd， B n分 只需作代换t=即可将原积分化成有()/()axbcxd，， 理函数的不定积分( 22 125 化成以下三种积运用配方法，可将Rxaxbxc(,)，，Rxaxbxc(,)，， 的积分 分之一: 22Rttdt(,)，, , 22Rttdt(,),, ,B 22Rttdt(,),, , 我们分别作以下三角代换: tatata,,,tan,sec,sin,,,即可化为三角有理式 的积分。 x 126 的积Rxx(sin,cos)我们可做代换，即可将原积分化成有理函数的t,tan2 x分 积分，但使用，一般较繁，在以下几种情形可t,tan2 用其他代换( RxxRxxt=sinx(sin,cos)(sin,cos),,,,用(1); RxxRxxt=x(sin,cos)(sin,cos),cos,,,用(2); B RxxRxxt=x(sin,cos)(sin,cos),tan,,,用(3); nmnmRxxxx(sin,cos)sincos,,(4) t=sinx当n为奇数时，可用; t=xcos当n为偶数时，可用; 当m,n都是偶数时，可用倍角公式化简降幂( 第八章 定积分 ?8.1 基本概念与可积条件 26 设函数f(x)在[a～ b]上有界～ 在[a～ b]中任意插入若干个分定积分定义 127 点 a,x, x, x, , , ,, x, x,b～ 012n,1n 把区间[a～ b]分成n个小区间 [x～ x]～ [x～ x]～ , , ,～ [x～ x] ～ 0112n,1n 各小段区间的长依次为 ,x,x,x～ ,x,x,x～, , ,～ ,x,x,x, 110221n n n,1在每个小区间[x～ x]上任取一个点, (x, , , x)～ 作i,1i ii,1 ii函数值f (,)与小区间长度,x的乘积 ii f (,) ,x (i,1～ 2～, , ,～ n) ～ 并作出和 ii n , S,f(,),x,ii,1i 记, , max{,x～ ,x～, , ,～ ,x}～ 如果不论对[a～ b]怎样分D 12n 法～ 也不论在小区间[x,～ x]上点, 怎样取法～ 只要当i1i i ,,0时～ 和S 总趋于确定的极限I～ 这时我们称这个极 bf(x)dx限I为函数f (x)在区间[a～ b]上的定积分～ 记作～ ,a nb即 , f(x)dx,limf(,),x,ii,a,,0,1i 其中f (x)叫做被积函数～ f (x)dx叫做被积表达式～ x叫做积分变量～ a 叫做积分下限～ b 叫做积分上限～ [a～ b]叫做积分区间,( 如果当时，和不存在极限，则称函数f(x)在区,,0S 间[a～ b]上不可积( 可积条件 如果函数f(x)在区间[a～ b]上可积，则函数f(x)在区间[a～ 128 B b]上有界，其逆不真( 小和与大和(达布和) 设函数f(x)在区间[a～ b]上有定义且有界，对[a～ b]做分割 129 T:a,x, x, x, , , ,, x, x,b，记 012n,1n mfxxxx,,inf{()[,]},kkk,1 ，令 Mfxxxxkn,,,sup{()[,]},1,2,,kkk,1B nn sTmxSTmx(),(),,,,，称sT()和ST(),,kkkk,,11kk 为函数f(x)相对于分法T的小和和大和。(统称为达布和) 达布和的性质 139 (1) 对于分法任意T，有sTST()(),,, B (2) 对于分法任意T，有 27 n sTfxxx()inf{()[,]},,,,,, ,,1kkkkk,1k n STfxxx()sup{()[,]},,,,,; ,,1kkkkk,1k ,T(3) 设T是[a～ b]的一个分法，是T的基础上加 ,,,入新分点构成的，则; sTSTSTST()(),()(),, ,T(4) 对[a～ b]的任两个分法T，，有; sTST()(), sup{()}inf{()}STST,(5) 我们总有( TT 可积准则 函数f(x)在区间[a～ b]上可积的充要条件是 131 B lim[()()]0STsT,,( ,,0 可积函数类 1、 若函数f(x)在区间[a～ b]上连续，则函数f(x)在区间[a～ 132 b]上可积; 2、 若函数f(x)在区间[a～ b]上单调，则函数f(x)在区间[a～ B b]上可积; ,、若函数f(x)在区间[a～ b]上有界，且仅有有限个间断 点，则函数f(x)在区间[a～ b]上可积( ?8.2 定积分的性质 bbb线性性质 133 [()()]()()fxgxdxfxdxgxdx,,,1、 ,,,aaa C bbkfxdxkfxdx()(),2、, ,,aa 积分区间的可加性 134 ,、如果f(x)在区间[a～ b]上可积，而[,][,]cdab,，则 f(x) 在[,]cd上可积( C 如果f(x)在区间[a～ c]，[,]cb上可积，则f(x) 在区间[a～ b] bcbf(x)dx,f(x)dx，f(x)dx上可积且( ,,,aac积分的保号性 5、如果f (x)在区间[a～ b]上可积，且对 f (x),0～ 则 135 bC f(x)dx,0(a,b)( ,a 积分不等式 6、如果f (x),g(x)在区间[a～ b]上可积f (x), g(x) 则 136 bbC f(x)dx,g(x)dx(a,b), ,,aa 28 7、如果f (x)在区间[a～ b]上可积,，则函数在f (x)fx() bb|f(x)dx|,|f(x)|dx上可积，且。 ,,aa 8、如果函数f(x)在闭区间[a～ b]上连续～ 则在积分区间积分中值定理 137 [a～ b]上至少存在一个点, ～ 使下式成立: bf(x)dx,f(,)(b,a) ,( ,a 9、如果函数f(x)， g(x)在闭区间[a～ b]上连续～ g(x)在区C 间[a～ b]上不变号，则在积分区间[a～ b]上至少存在一个 点, ～ 使下式成立: bb ( fxgxdxfgxdx()()()(),,,,aa ?8.3 定积分的计算 如果函数f(x)在区间[a～ b]上连续～ 则函数微积分学基本定理 138 x,(x)在[a～ b]上可导～ 并且,ftdt(),a D xd,,(x)(a,x