参数方程和普通方程的互化

参数方程和普通方程的互化 编辑人:康志新 校对:张进法 审核:李玉蕊 班级学号 姓名 一、学习目标 1(了解参数方程化为普通方程的意义( 2(掌握参数方程化为普通方程的基本方法( 3(能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题( 二、知识梳理 1(参数方程转化为普通方程 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式(一般地，通过消去参数可从参数方程得到普通方程( 2(普通方程转化为参数方程 如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x,f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y,f(t)，那么?x,f(t)，?就是曲线的参数方程(在参数方程与普通方程的y,g(t)? 互化中，必须使x，y的取值范围保持前后一致. 三、例题讲解 要点一 把参数方程化为普通方程 例1 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线: ?x,1,3t， (1)?(t为参数) ?y,4t; ?x,1，4cos t，(2)?(t为参数，0?t?π) ?y,,2，4sin t; 2 ?x,2，sinθ，(3)?(θ为参数) ?y,,1，cos 2θ; ?x,cos α， 跟踪演练1 参数方程?(α为参数)化成普通方程为 y,1，sin α?________( 要点二 把普通方程化成参数方程 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信 自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了! 编辑人:康志新 校对:张进法 审核:李玉蕊 班级学号 姓名 例2 求方程4x2，y2,16的参数方程: (1)设y,4sin θ，θ为参数; (2)若令y,t(t为参数)，如何求曲线的参数方程,若令x,2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程, 跟踪演练2 (2013? 陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆 x2，y2,x,0的参数方程为______( 要点三 参数方程的应用 ?x,1，tcos α， 跟踪演练3 已知直线C1:?(t为参数)， ?y,tsin α?x,cos θ，C2:?(θ为参数)( ?y,sin θ π 3C1与C2的交点坐标; (1)当α, (2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点(当α变化时，求 P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线( 四、课堂小结 ?x,2cos β， 例3 已知动点P，Q都在曲线C:?(β为参数) y,2sin β?上，对应参数分别为β,α与β,2α(0,α,2π)，M为PQ的中点( (1)求M的轨迹的参数方程; (2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点( 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信 自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了! 编辑人:康志新 校对:张进法 审核:李玉蕊 班级学号 姓名 五、课后反思:参数方程与普通方程互化时注意参数的取值范围。 常用的消元法有代入消元法、加减消元法(如果参数方程是分式方程， 在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形(另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α，cos2α,1，(ex， 221,k???2k22x2 e),(e,e),4，?,1等( ，? ?1，k??1，k? ,x ,x 答案 1,x 例1 解 (1)由已知t,3，代入y,4t中，得 4x，3y,4,0，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线( (2)?0?t?π，,1?cos t?1，0?sin t?1. ?,3?x?5，,2?y?2， (x,1)，(y，2),16cost，16sint,16. ?(x,1)2，(y，2)2,16(,3?x?5，,2?y?2)， 它表示的曲线是以(1，,2)为圆心，半径为4的上半圆( (3)由y,,1，cos 2θ可得y,,2sinθ，把sinθ,x,2代入y,,2sin2θ可得y,,2(x,2)，即2x，y,4,0， 又?2?x,2，sin2θ?3， ?所求的方程是2x，y,4,0(2?x?3)，它表示的是一条线段( 规律方法 (1)将参数方程化为普通方程，关键是消去参数， 2 2 2 2 2 2 (2)把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性( 跟踪演练1 答案 x2，(y,1)2,1 ?x,cos α， 解析 ??cos2α，sin2α,1， ?y,1，sin α，?x2，(y,1)2,1. 要点二 把普通方程化成参数方程 16.于是4x2 例2 解 (1)把y,4sinθ代入方程，得到4x2，16sin2θ,,16, 16sin2θ,16cos2θ， ?x,?2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x,2cos θ， 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信 自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了! 编辑人:康志新 校对:张进法 审核:李玉蕊 班级学号 姓名 ?x,2cos θ因此4x，y,16的参数方程是?(θ为参数)( y,4sin θ?22条曲线的参数方程会有不同的形式，有的复杂，有的简单，选 取什么参数好，要根据具体的问题而定，参数可以有具体的实 际意义，也可没有具体意义( (2)将y,t代入椭圆方程4x2，y2,16，得4x2，t2,16， 216,t16,t则x2,4.?x,2 因此，椭圆4x2，y2,16的参数方程是 16,t16,t?x,?x,,，22和?(t为参数) ? 2?x,cosθ，跟踪演练2 答案 ?(θ为参数，θ?R) ?y,cos θ?sin θ?y,t?y,t. 同理将x,2t代入椭圆4x2，y2,16，得椭圆的参数方程为 ?x,2t，?x,2t，?和?(t为参数) ?y,41,t?y,,41,t. 规律方法 (1)将普通方程化为参数方程的一般方法: ?x,f(t)，已知?把F(x，y),0.? ?x,f(t)，φ(t)―?? ?y,φ(t). (2)将曲线的普通方程化为参数方程时，选取的参数不同，同一代入F(x，y),0x,f(t)――?y,11解析 由题意，得圆的方程为(x,22，y2,(22，所以圆的1半径r,2. ?OP,2r?cos θ,cos θ，?x,OP?cos θ,cos2θ，y,OP?sin θ ,cos θ?sin θ. 2?x,cosθ，所以圆的参数方程为?(θ为参数，θ? R) ?y,cos θ?sin θ，要点三 参数方程的应用 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但 有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了! 编辑人:康志新 校对:张进法 审核:李玉蕊 班级学号 姓名 例3 解 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α，cos 2α，sin α，sin 2α)(M的轨迹的 ?x,cos α，cos 2α，参数方程为?(α为参数，0,α,2π)( ?y,sin α，sin 2α. (2)M点到坐标顶点的距离 d,x，y,2，2cos α(0,α,2π)( 当α,π时，d,0，故M的轨迹过坐标原点( 规律方法 考查参数方程与普通方程的互化能力，考查利用 参数表示动点轨迹方程的运算能力( π跟踪演练3 解 (1)当α,3时，C1的普通方程为 y,3(x,1)，C2的普通方程为x2，y2,1. ?y,3(x,1)，联立方程组?22 ?x，y,1， ?13?解得C1与C2的交点为(1，0)，?. 2??2 (2)C1的普通方程为xsin α,ycos α,sin α,0. A点坐标为(sin2α，,cos αsin α)， 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 12x,??2sinα，(α为参数)( ?1??y,,2sin αcos α?1?221P点轨迹的普通方程为?x,4?，y,16. ??1?1?故P点轨迹是圆心为?40?，半径为4 ?? 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位 想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!