【doc】2．我这样推导球体表面积公式（高二、高三）

【doc】2．我这样推导球体表面积公式（高二、高三） 2(我这样推导球体表面积公式(高二、高 三) 《数理天地》高中版2000年第8期 ? 中学生论文? 1.一道数学练习题引发的思考高二,高三 王鑫(哈尔滨市第三中学高二(12)班150001) 题如图1,已知 个 2 .. 2 AB是双曲线一告 口D =1过焦点F的的任意 一 条弦,以AB为直径 的圆被F相应的准线 /,/, 截得MN,求证:M?的 度数为定值. l c f . |一 N D 图1 证明设AB中点 为O,F相应的准线为.作AC上于C,OH上 于H,BD上于D,设双曲线的离心率为e,则由双 曲线的第二定义得 则lAFl+lBFl=P(1ACl+lBD1), 即lABl—e(1ACl+lBD1). . . .四边形ACDB为直角梯形, . . . 中位线lOHl一?(1ACl+lBD1). 于是lABl一2elOH1. . . . e>1,...1ABl=2elOHl>2lOH1. 即lOHl<?lABl, . ' . oO与准线必相交. 连结OM,ON,由垂径定理知MOH— LNOH,设cos=一一? arccos二 e, 20=2arccos e 为定值,即?的度数 为定值. 引发的思考从上述证明过程中,我们得到 这样一个结论:以双曲线的焦点弦为直径的圆与该 焦点对应的准线相交.对于其他圆锥曲线(椭圆,双 曲线),以它们的焦点弦为直径的圆与该焦点对应 的准线是一种什么位置关系呢? f2 (o(Or.1) h C H 一 , DJ B f 一 C一 H , D 图2图3 如图2,图3,同理有lABl一2elOH1. 1.对于椭圆 1 . . '0<P<1,...1OHl>?lAB1. ..oO与相离, 2.对于抛物线 1 . . . P一1,...1OHl一?lABl, . . . oO与相切. 根据以上对三种圆锥曲线的探索,可将原题改 为: 以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆,若该圆与相 应的准线相交,则该圆锥曲线是什么曲线?证明你 的结论. 2.我这样推导球体表面积公式(高二,高三 张钊(西安交通大学附中高一(6)班710049) 球体是我们生活中常见的一种几何体,我们经 常要计算它的表面积,那么如何推导球体表面积公 式呢?我们都知道,圆柱,圆锥,圆台的侧面积公式, 都是通过计算它们的侧展开图的 面积得到的,但球面是半圆绕其直 径旋转而产生的曲面,它不能展开 成平面,因而不能利用展开图求球 的表面积.课本上是用求极限的方 法来推导球体表面积公式的,除此 之外,还有没有别的方法呢? 1.体积法 图1 我们切西瓜时都爱将西瓜切成以西瓜中心为 顶点的形似棱锥的几何体(图1),如果我们将这一 块块西瓜再切小,当它足够小时,我们可以将它们 看作是一个个以西瓜中心为顶 点的小棱锥.同样,如果我们以 球体中心为顶点,向球面作无 数条射线,连结这些射线与球 面的交点,便可以将球分成无 数个棱锥(图2),这些棱锥的 体积和等于球体的体积,棱锥 的高近似等于球体的半径,棱 锥底面积的和近似等于球体的 表面积. 图2 设一共有个棱锥,底面积分别为,:,, … ,,则球体体积一棱锥体积和 ? 47? 《数理天地》高中版2000年第8期 一 号(++…+)R, 由祖咂原理求得球体体积一袱s, 0 . ? . 詈袱一1(+.+…+)R, . ' .S+S+…+S一4袱., 即S一4袱. 2.积分法 将球面视为由许多圆周叠 /一\ 在一起所组成的,如图3,AB 上每一点都对应球面上的一个 /一\ 圆周.若将AB拉直,成为线段 B,过其上每一点,作垂直 于AB且与此点对应的圆周 的长相等的线段,就得到半个 近似的椭圆(图4),其面积就 是球面的面积. 下面用积分法求此图形的 面积. / 图3中,在B上任取一点 P(z,j=r).设圆半径为R,终边 y A ? 日1, c B 图3 图4 过P点的角为0(0?[一号,号]),则P点横坐标 z—Rcos0.尸C—RO. 于是,在图4中,与P对应的点尸的横坐标z 一 2搬一2~rRcosO,纵坐标一PC:RO,所以曲线 C的方程为.),一Rarcco(z?Eo,2袱])? 设此图形的面积为S,则 S一JRarccos0赤如J,'fL 设一,则 du一赤dx,所以dx一2 又z?Fo,2~rR],.'.?Fo,11, ...S=2R?2RIarccosudurl fn =4R(uarccosu =4R. ~/1一] 即S日一4袱. 当然,推导球体表面积公式还有很多方法,但 不外乎将球面看作点,线,平面的组合,或将球体看 成若干几何体的组合. 3.利用物理方法求i五(高二,高三) i==:1 谢文辉(四)ll省德阳中学2001级(1)班618000)指导教师成太华 记S()一1+2+…+一i,阿基米德 在《劈锥曲面与旋转椭圆体》中,给出S()一 1 ?(+1)(2n+1).公元1303年,中国数学家朱 O 世杰在其着作《四元玉鉴》中给出了S.()一 [S()],陈景润等算出?20的S(). 本文借助物理学中质心坐标公式及等效系统 质心的几何算法推导.()及S.(). 1.S2()的推证 设在直角坐标系中,A(1,O),A(2,O),…, (,O)n个点上分别分布质量依次为m,2m,3m, … ,则由质心坐标公式,得 ,m的个质点 1'?m+2?2m+…+?m .一 m+2m+…+m 1+2.+…+:2… 一干一FzL) 现将km(七一1,2,…,)折成质量为m的个 质点,关于z轴对称地分布在直线z一是上,且所有 质点均匀地分布成正三角形点阵,易知,这一质量 分布系统与前一质量分布系统等效,其质心是正三 角的中心,即z,魔心一(一1)+1一, ?48? 由z.一z.,即得sz()一言(+1)(2+1)? 2.S()的推证 设在空间直角坐标系中,A(1,0,O),A(2,0, O),…,(,0,0)n个点上分别分布质量依次为m, 3m,6m,…,m的个质点,则由质心坐标 公式,得. 1.m+2.3m+…+上m z魔心一 m+3m+6m+…+m++6m+…+— 1+2.3+…+(+1) 1+3+…+昙(+1) 1s . ()+1s() i z s()+1s() 现将质点m(七 一 竺?型一 S()+S()' 1,2,…,)折成质量' 为m的个质点,在平面z:上关于z轴