万有引力一

万有引力一 一、运用力学规律研究卫星问题的思维基础: mm12G?光年，是长度单位，1光年= 9.46×1012千米 2r，而物体在距星体面高度为h处的重力为mg’=Gm1m2/(r+h)2 在任何星体表面上的物体所受的重力均是mg= M43,,,,VR例5:地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a,要使赤道上的物体“飘”起来,2SR,4,V3?认为星球质量分布均匀，密度，球体体积，表面积 则地球转动的角速度应为原来的( ) 倍 ?地球公转周期是一年(约365天，折合 8760 小时)，自转周期是一天(约24小时)。 ag，ag,ag?月球绕地球运行周期是一个月(约28天，折合672小时;实际是27.3天) gaaaA. B. C. D. ?围绕地球运行飞船内的物体，受重力，但处于完全失重状态。 ?发射卫星时，火箭要克服地球引力做功。地球周围存在稀薄的大气，卫星在运行过程中要受到空气阻力，动能要【审题】依据牛顿第二定律和万有引力定律，以赤道上的物体“飘”起来的动力学本质为‘切入口,’即可求出地球 变小，速率要变小，轨道要降低，即半径变小。 转动的角速度。 同步轨?视天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自万有引力，即,122道 【解析】设地球原来自转的角速度为，用F表示地球对赤道上的物体的万有引力, N表示地面对物体的支持力，Mmv,24,mg,G,ma,m,mr,,mr,m,v向222rrT F,N,mR,,maA 地球 B 1由牛顿第二定律得 ? 应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析。 ?天体质量,、密度ρ的估算: N,G,mg由于物体受到的支持力与物体的重力是一对平衡力,所以有 ? 测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径r和周期,， 3232图4-2 Mm2,2,,4,rM3,rGmrF,mR,,,,,,M,,,22223当赤道上的物体“飘”起来时,只有万有引力提供向心力，设此时地球转动的角速度为，有 2Tr由得:，(当卫星绕天体表面运GTVGTR,, ? 动时，ρ=3π/GT2) ?发射同步通讯卫星一般都要采用变轨道发射的方法:点火，卫星进入停泊轨道(圆形轨道，高度200—300km)，当,g，a2,卫星穿过赤道平面时，点火，卫星进入转移轨道(椭圆轨道)，当卫星达到远地点时，点火，进入静止轨道(同步轨,a1联立?、?、?三式可得，所以正确为B选项。 道)。如图4-2所示。 【总结】当赤道上的物体“飘”起来时,是一种物体、地球之间接触与脱离的临界状态，地球对物体的支持力为零，?明确三个宇宙速度: 只有万有引力完全提供向心力，只要正确运用牛顿第二定律和万有引力定律列式求解即可。 第一宇宙速度(环绕速度):v=7.9千米,秒;(地球卫星的最小发射速度) 三、必须区别天体系统中‘中心天体’与‘环绕天体’的不同 第二宇宙速度(脱离速度):v=11.2千米,秒;(卫星挣脱地球束缚的最小发射速度) 对于天体质量的测量，常常是运用万有引力定律并通过观测天体的运行周期T和轨道半径r(必须明确天体的运行周第三宇宙速度(逃逸速度):v=16.7千米,秒。(卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度) 期T和轨道半径r是研究卫星问题中的两个关键物理量)，把天体或卫星的椭圆轨道运动近似视为匀速圆周运动，然人造卫星在圆轨道上的运行速度是随着高度的增大而减小的，但是发射高度大的卫星克服地球的引力做功多，所以 后求解。但是必须区别天体系统中‘中心天体’与‘环绕天体’的不同。 将卫星发射到离地球远的轨道，在地面上的发射速度就越大。 所谓‘中心天体’是指位于圆周轨道中心的天体，一般是质量相对较大的天体;如，恒星、行星等等。所谓‘环绕二、必须区别地面物体的万有引力与重力以及向心力的不同 天体’是指绕着‘中心天体’做圆周运动的天体或者卫星以及人造卫星，一般是质量相对较小的天体或卫星。此种mm12G方法只能用来测定‘中心天体’的质量，而无法用来测定‘环绕天体’的质量。这是解题时必须注意的。 2r(1)地球对地面物体的万有引力:地面上的物体所受地球引力的大小均由万有引力定律的公式F=决定，其(1)根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的 质量，其公式推证过程是: 方向总是指向地心。 (2)地面物体所受的重力: 2RgMm,M处在地面上的物体所受的重力是因地球的吸引而产生的，其大小为mg，方向竖直向下(绝不可以说为“垂直向下”2GR由mg=G 得 .(式中M、g、R分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径() 和“指向地心”)。 (2)根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量 地面上同一物体在地球上不同纬度处的的重力是不同的。在地球的两极上最大，在地球赤道上最小，随着位置从赤 卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得 道到两极的移动而逐渐增大-----这种现象不是‘超重’，应该与‘超重’现象严格区别开来。 以地球赤道上的物体为例，如图4-4所示，质量为m的物体受到的引力为F=GMm/R2 ，因此物体与地球一起转动，即22Mmv4,2,,,Gmmrmr以地心为圆心，以地球半径为半径做匀速圆周运动，角速度即与地球的自转角速度相同，所需要的向心力为 F向=m,22rrT ωR2 =mR4π2/T2.因地球自转周期较大，F向必然很小，通常可忽略，故物体在地球两极M或N上时其重力等于受到 ,若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度或线速度v，可求得中心天体的质量为的万有引力。 一般说来，同一物体的重力随所在纬度的变化而发生的变化很小， 22323rvrr4,,M,,,2mmGG12GT G2r有时可以近似认为重力等于万有引力，即mg=。 例7:已知引力常量G和以下各组数据，能够计算出地球质量的是: A地球绕太阳运行的周期和地球与太阳间的距离 B月球绕地球运行的周期和月球与地球间的距离 若重力提供向心力， 则有 mg= ma向 C人造地球卫星在地面附近处绕行的速度与周期D若不考虑地球的自转，已知地球的半径与地面的重力加速度 若万有引力等于重力， 则有 GMm/r2 =mg 【审题】此题中的目的是求解‘地球’的质量，其关键在于题中所给四个情景中“地球”是否是一个‘中心天体’(若以上三式不仅表现形式有异，而且其物理意义更是各有不同，必须注意区别辨析。同时因向心加速度a向又具有多地球是一个‘中心天体’，则可在题中所给的四个情景中找到以地球为‘中心天体’、以‘月球’或‘卫星’为运‘环种不同的形式，如a向 =v2/r =ω2r= 4π2 r/T2 ……则可以得以下几组公式: 绕天体’的系统，再运用万有引力定律和匀速圆周运动的规律联合求解。此外，还要注意到每一个选项中给定的两(1)由 GMm/r2 =ma向 得 个物理量能否用得上，只有做好这样的分析判断之后，解题才能事半功倍。解此题关键是要把式中各字母的含义弄GMrr清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径( ?v?,/ GMm/r2 ,ma向?a向,GM/r2?a向?,,r2。 GMm/r2 =m v2/r?v =【解析】 对A选项。此选项之中“地球绕太阳运转”，给定的条件是”地球绕太阳的运转周期”和”地球与太阳之间3GMr的距离”。显然此处的”中心天体”是太阳而非地球，地球是一个”环绕天体”， 而已知的是地球绕太阳运行的周期和333rrrGMGMm/r2 =mω2r?ω=?ω?,/ GMm/r2=m4πT 2 r/T2?T=2π ?T? 地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，因此无法计算出地球的质量。故A选项错误. 对于以上各式，“中心天体”(如地球)一定，则其质量M是一定的。因此“环绕天体”(卫星)绕其做匀速圆周运动对B选项。在此选项中，月球绕地球运转，月球是“环绕天体”，而地球是“中心天体”，且已知月球绕地球的运转 的向心加速度a向、运行速度v、运行角速度ω、运行周期T仅与距离r有关。即以上各量仅由距离r即可得出，故2GMm4,,mr以上各式可称之为 “决定式”。这组决定式适应于用 “G、M、r”表示待求物理量的题目。 22rT，故有地球质量周期T和月球与地球之间的距离r，由万有引力定律与匀速圆周运动的规律可得(2)由 mg= ma向可得 23gr4,rrmg= ma向?a向,g mg= m v2/r?v=?v? 2GT为M= ，显然，式中的各量均为已知量，即地球质量由此式可计算出来。故B选项正确。 rg对C选项。在此项中人造地球卫星是“环绕天体“，而地球则是中心天体，又已知人造地球卫星的运行速度v和运动grrrmg= mω2r?ω=?ω?,/ mg= m4π2 r/T2? T=2π?T? 22GMmmvGMm4,,,m以上各式之中，作匀速圆周运动的物体(如卫星)的运行速度v、角速度ω 、周期T由距离r和重力加速度g共同222R，h(R，h)，(Rh)T周期T，由万有引力定律与匀速圆周运动规律可得 和，又因为此人造地球卫决定。其中的“g“也是一个随距离r而变化的变量，而不能认为是一个恒量。这组公式是由GMm/r2 =mg的代换关 系得到的，一般适应于已知“g、r”而不知“G、M”的题目。 2GMmmv,(3)由GMm/r2 =mg 得，对于地面上的物体可由r=Ro (Ro为地球半径)，g=go(go为地球表面的重力加速度)若忽2RR星是”近地“卫星，则h<