高中数学分类讨论

高中数学分类讨论 题目 高考要求分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧;同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的讨论 ” 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则 1 由概念如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3 由实际意义分类 如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{an}是首项为2，公比为 (1)用Sn表示Sn+1; 12的等比数列，Sn为它的前n项和 (2)是否存在自然数c和k，使得 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式;数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出3 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2 即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得 解 (1)由Sn=4(1–1 2n)，得 ，(n?N) * (2)要使 ，只要 因为 3 ，(k?N) *所以 故只要3 2Sk–2,c,Sk，(k?N*) 因为Sk+1,Sk，(k?N*) ? 所以3 2Sk–2?3 2S1–2=1 又Sk,4，故要使?成立，c只能取2或3 当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c,Sk不成立，从而?不成立 当k?2时，因为 3 ，由Sk,Sk+1(k?N)得 *Sk–2,3 2Sk+1–2 3 2故当k?2时，Sk–2,c，从而?不成立 当c=3时，因为S1=2，S2=3， 所以当k=1，k=2时，c,Sk不成立，从而?不成立因为3 3 ，又32Sk–2,32Sk+1–2 所以当k?3时，Sk–2,c，从而?成立 综上所述，不存在自然数c,k,使 成立 例2给出定点A(a,0)(a,0)和直线l x=–1，B是直线l上的动点，?BOA的角平分线交AB于点C 求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系 命题意图 本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法 综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力 错解分析 本题易错 知识依托 椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点 点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型 技巧与方法 精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式 依题意，记B(–1，b)，(b?R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=–bx 设点C(x,y)，则有0?x,a，由OC平分?AOB，知点C到OA、OB距离相等 根据点到直线的距离公式得,y,= 依题设，点C在直线AB上，故有 ? 由x–a?0，得? 将?式代入?式，得y,(1–a)x2–2ax+(1+a)y2,=0 若y?0，则 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0,x,a) 若y=0则b=0,?AOB=π，点C的坐标为(0，0)满足上式 综上，得点C的轨迹方程为 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0,x,a) (i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0?x,1) ? 此时方程?表示抛物线弧段; (ii)当a?1，轨迹方程化为 ? 所以当0,a,1时，方程?表示椭圆弧段; 当a,1 , 设D是l与x轴的交点，过点C作CE?x轴，E是垂足 (i)当, BD,?0时， 设点C(x,y)，则0,x,a，y?0 由CE?BD，得 ??COA=?COB=?COD–?BOD=π–?COA–?BOD ?2?COA=π–?BOD ? ? x |y| 整理，得 x2? (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0,x,a) (ii)当,BD,=0时，?BOA=π，则点C的坐标为(0,0)，满足上式 综合(i)、 (ii)，得点C的轨迹方程为 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0?x,a) 以下同解法一 设C(x,y)、B(–1,b)， 则BO的方程为y=–bx，直线AB的方程为 ?当b?0时，OC平分?AOB，设?AOC=θ, ?直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是 又tan2θ=–b ?–b=2k b ? ?C点在AB上 ?? 2k 由?、?消去b，得? 又 yx ，代入?，有 y x 2 yx 整理，得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ? 当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式 a a?1时，?式变为 ) 2 ya 222 当0,a,1时，?表示椭圆弧段; 当a,1时，?表示双曲线一支的弧段; 当a=1时，?表示抛物线弧段 例3若函数 13 3 12 ax 2 14 15 在其定义域(1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)求函数f(x) 解 (1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+,–x,+1=f(x)， 此时f(x)为偶函数 当a?0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2,a, f(–a)?f(a),f(–a)?–f(a) 此时函数f(x)既不 是奇函数，也不是偶函数 (2)?当x?a时，函数f(x)=x2–x+a+1=(x–若a? 12 12 )2+a+ 34 (–?,a,上单调递减 ，则函数f(x)在 从而函数f(x)在(–?,a]上的最小值为f(a)=a2+1 若a,且f( 1212 ，则函数f(x)在(–?,a]上的最小值为f( 12 )= 34 +a， )?f(a) ?当x?a时，函数f(x)=x2+x–a+1=(x+若a?–且f(– 1212 12 )2–a+ 34 12 ，则函数f(x)在,a,+?,上的最小值为f(–)= 34 –a， )?f(a); 12 若a,–，则函数f(x)在,a,+?)单调递增 从而函数f(x)在,a,+?,上的最小值为f(a)=a2 综上，当a?–当– 12 12 时，函数f(x)的最小值为 34 –a; ,a? 12 12 时，函数f(x)的最小值是a2+1; 3 当a,时，函数f(x)的最小值是a+ 4 1 已知lim n nnn 其中a?R，则a的取值范围是( ) A a,0 a,2或a?–2 –2,a,2 a,–2或a,2 2 四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( ) A 150种 147种 C 144种 D 141种 3 已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α 4已知集合A={x,x2–3x+2=0},B={x,x2–ax+(a–1)=0}，C={x,x2–mx+2=0}，且A?B=A，A?C=C，则a的值为，m 5 已知集合A={x,x2+px+q=0}，B={x,qx2+px+1=0},A,B ?? 2} 求p、q的值 A?B={– 6 已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与,MQ,的比等于常数λ(λ,0) 求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 7 已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线 当n?y? n+1(n=0,1,2,„)时，该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b?1)，设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,„)定义 (1)求x1、x2和xn的表达式; (2)计算limxn; (3)求f(x)的表达式，并写出其定义域 8 已知a,0时，函数f(x)=ax–bx2 (1)当b,0时，若对任意x?R都有f(x)?1，证明a?2b; (2)当b,1时，证明 对任意x?,0,1,,,f(x),?1的充要条件是b–1?a?2b; (3)当0,b?1时，讨论对任意x?,0,1,,,f(x),?1的充要条件 参考答案 1 分a=2、,a,,2和,a,,2 答案 C 2 任取4个点共C10=210种取法 四点共面的有三类 4 (1)每个面上有6个点，则有4×C6=60种取共面的取法;(2)相比 较的4个中点共3种;(3)一条棱上的3点与对棱的中点共6种 答案 C 3 分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决 答案 1或2 4 A={1,2},B={x,(x–1)(x–1+a)=0}, 由A?B=A可得1–a=1或1–a=2; 由A?C=C，可知C={1}或 答案 2或3 3或(–22，22) 5 解 设x0?A，x0是x02+px0+q=0的根 若x0=0，则A={–2,0}，从而p=2,q=0,B={– 此时与已知矛盾，故x0?0 将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得 12} q(1