双边H_余模余代数的Maschke定理

双边H_余模余代数的Maschke定理 3 双边 定余模余代的数 H 2M a schke 理 边全国 ()伊犁边范学院数学系 , 835000 , 新疆边吾边自治区伊市 宁 摘要 :引入了边双 余模余代念数概 并明了边边双 余模余代的数 定理 Hop f,Hop fM a schke. 关关关 Hop f;; M a schke.: 代数 余模余代数 定理 ( ) 中关分关号 : 文献关关关 : 文章关号 : 22O153. 1001 5337 2009010033 23A04 引言和准1 关[ 2 ]1986 年 , Cohen与 F ishm an边明了下列 M a schke型定理 :边 H 是有限边半边 Hop f代数 , A 是 H 2 模代 数 , 若 V 是左 A #H 2模且作边 A 2模完全可边 , 边 V 作边 A #H 2模也是完全可边 . 大家知道 , H 2模代的数边 偶概念是 H 2余模余代数 , 边于 H 2余模余代数运算的特殊性 ,有边余模余代方数面的边边探边的相边边少 6 ][ 且困 边. 王边国 边明了 H 2余模余代的数 M a schke型定理 ,受此启边 ,本文引入了双边 H 2余模余代数 ,并 边明了边双 H 2余模余代的数 M a schke定理 . ? 文中所有代数 、余代及数 均在固定的数域 k , H Hop f. 上是代数rΔρ( ) 边余代数 D ,边 d = d? d, D 称边右 H 2余模余代数 ,若 D 是右 H 2余模 ,即存在映射 : DD 1 2 D r D ?ρ( ) H ,边 d = ρ d? d 边足条件 :D[ 0 ][ 1 ] ( ???1 dd,ρ dd? d= ρ d[ 0 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 0 ] [ 1 ] 1 [ 1 ] 2 [ 0 ] [ 0 ])ε( ) = d,ρ ddH [ 1 ] [ 0 ( 2 ]且使得 Π d ? D 有εε( ( ) ( 3 dρ d= d [ 1 ]D [ 0 ] D ))1,H ??ρ d? d? d= ρ dddd[ 0 ] 1 [ 0 ] 2 [ 1 ] 1 [ 0 ]2 [ 0 ]1 [ 1 ] 2 [ 1 ] ( 4 .边似地 ,我边可以定边左 H 2余模余代数 . 双关 2余模余2 H 代数 l r ρρ( )()本边 ,我边边假边 C,是左 H 2余模余代数 , D ,是右 H 2余模余代数 ,它边的余模映射分边表示边 CD lρ( ( ) ρc: C ?= cc,H ? C, ( )( ) C - 1 0 C l)crρ( ρ( ) ?dd.= d : D ? H, d [ 0 ][ 1 ] D D r)Dl r ρρ( ()定关 2. 1 边 C,和 D ,分边是左 H 2余模余代数和右 H 2余模余代数 ,定边 C , H 和 D 的边双 CD>><>) d .2. 是余代定理 C H D .数 1.<边 C 和 D 分边是左 H 2余模余代及右数 H 2余模余代数 ,若 k 2空边 M 边足 Π m ?M.( ( )- 10( ) () C1 M 是左 C 2模余模 ,其余模映射边 p ? M , 边 pm = m ? m ,)M M : M[ - 1 ][ 0 ]( ) () p: 2 M 是左 D 2模余模 ,其余模映射D ? M , 边 pm = m ? m ,M M M边< - 1 >< 0 >() p: ? M , 边 pm = m ? m H,M M ( ) 3 M 是左 2模余模 ,其余模映射HM 边( ( < - 1 < 0 > [ - 1 >]< 0 > [ 0 ] - < 0 > [ 0 ] 1 0 ? m? m? mm))( ( ( )) ( )) - 1 [ 0 ] < - 1 >0 < 0 > [ - 1 - 1 0 < 0 > [ 0 (? m? m= m ,1. 1 m? m ]]( ) ( )- 1 0)( )5 [ - 1 ][ 0 ] < - 1 >[ 0 ] < 0 >< 0 > [ - 1 ]< - 1 > < 0 > [ - 1 ]< 0 > [ 0 ]( m? m? m? m? m= m m ,1. 2 [ 0 ][ 1 ]><<)>>( ) C, H, D C H D ><( ) ( ) 边称 M 是左 C, H, D 2模 . 以下 M 和 M 分边表示左 C, H, D 2余模范以畴及HD 2余模<左 C><<>C ( C, H, ) 畴 .D H D 2. 定理 范畴 M 与 M 同构 2 定3 M a sc hke 2typ e 理 本边 ,我边边出将双边 H 2余模余代数的 M a schke 定理 ,并边边与明. 在边边之前 ,我边先边出几个重要 3 λ)(λ引理. 以下边假边 H 是余半边 Hop f代 数 ,此边由文献 [ 1 ]知存在右边分 ?H,使 , = 1.H1( ) 引理 3. 1 边 M 是左 C, H, D 2模 . 边下列等式成 ( ( )( ) ( )( ) ( < - 1 >< 0 > - 1 < 0 > 0 - 1 < 0 < - 1 > - 1 [ 0 < 0 立 :( ? m? m? mm= m m ,1. 3 m>))( - 1 ( 0 ))( < - 1 >< 0 > [ - 1 ][ 0 ] < - 1 > - 1[ - 1 ][ - 1 ][ 0 ] < 0 >< 0 > 0 ()? m? m? m= mS.mm ? m )[ 1 ][ 0 ] 1. 4 (ε关明将 id ? ? id ? id 作用到H ( ( < 0 > [ - 1 ]< - 1 >< 0 > [ 0 ] - 1 < 0 > [ 0 ] 0 等式? m? m? mm))( ) ( ) ( )( ) - 1 [ 0 ] < - 1 >0 < 0 > [ - 1 - 1 0 < 0 > [ 0 ? m? m= m m? m ]]( ( - 1 0 即下面边明因边,. ,可得到第一个等式 第二等式个 的端两 [ 0 ] < - 1 > - 1[ - 1 ][ - 1 ][ 0 ] < 0 >)? mmS?( m m [ 1 ][ 0 ]< 0 > [ - 1 ]< 0 > [ 0 ]< - 1 > < 0 > [ - 1 ] - 1 < 0 > [ - 1 ])(( = mm? m1. 1 Sm ? m [ 1 ][ 0 ] [ 1 ][ 0 ] [ 0 ])< - 1 >< 0 > [ - 1 ] - 1< 0 > [ - 1 ]< 0 > [ - 1 ]< 0 > [ 0 )(= mm S? mm ? m ][ 1 ] 2[ 0 ] 1[ 0 ] < - 1 >< 0 > [ - 1 ]< 0 > [ 0 .= m? m]? m 引理 Π h, g H, 3. 2 边?都 - 1λλ() () ( ) ( 1. 5 ρ , g hh= ρ , gh Sg.有1 2 1 2 <)>>C H D 引理 3. 1边 H 是一个 Hop f代数 . 若 N , M ?M , 且 f: M N 既是左 C 2余模边射 ,又是左 D 2余< 模λλλ() () 定边边N 边射. 如果右边分 边足 , ab= , ba , Π a, b?H, 边 `f: < - > < > < - > < > < 1 0 1 0 0 M() (λ() () ) () ( `f m = , S m f m f m 1. 6 ><>>)ρ是 C H D 2余模边射.< 关明由定理 2. 2 ,只需边明 `f 是 C 2余边性映射 , H —余边性映射以及 D 2余边性映射 ,即 Π m < - 1 > < < 0 > < - 1 >?M 有= m() () () `f m ? `f m ? `f m 0 >( 0 ) ( )- 1 (= m? `f m ( 1 ) - ) ,() () `f m ? `f m 351 第 边全国 :双 边H 2余模余代的数 M a schke定理期[ - 1 ] [ 0 ] [ - 1 ]= m() () () `f m ? `f m ? `f m 首先由件知条 N 是左 2余模 , M 也是 ,故 m HΠ ?M 有< 0 > < - 1 >< 0 > < 0 > < 0 >< 0 > < 0 > < - 1 >??) (f m () () f m f m ρ < 0 > < - 1 >< 0 > < 0 >< 0 > < - 1 >) (( ??1. 7 ,f m21() () = f m f m ρ )< - 1 >< 0 > < 0 > < 0 > < - 1 > < - 1 > < 0 > < - 1 >? m .21 m m m = m m ρ ρ (???1. 8 我边有,因此 < - 1 < 0 > () () `f m ? `f m < - > < > < - > < > < > < - > < > < > < > 1 0 1 0 0 1 0 0 0 ( (λ) () ) () ) ((?1. 6 = ρ, S m f m f m f m , < - > < > < - > < > < - > < > < > 1 0 1 0 1 0 0 )(λ() () ) ) () (?= ρ, S m f m f m f m ,12( 1. 7 > < - 1 < 0 > < - 1 > - 1 < - 1 > < 0 > < 0 >λ(( () )? = , S m ρ 12() ) ( (() f m S S m f m ) ( 1. - < < 1 > < 0 > < - 1 > - 1 < 0 > < 0 >)()(λ) () ) (? f m= ρ,f m , S m m 21>< 0 > < - 1 > < 0 > < 0 > < - 1 > < - 1 > < 0 > < 0 > < 0 >( (λ() () ) ) () ?m m 1. 8 = ρ, S m f f m )< - 1 >< 0 >() ? `f m.= m 即 边`f 是 H 2余边性映射 . 其次 余边性知 Π ,fC 2m 由是左 ( )( ( )( - 1 0 - 1 0 () () () ( ρ f m ? f m = m ? f m.M1. 9 ?)))我边有 - 1 ( ) ( () () `f m ? `f m ( ) ( ) < - 1 > < 0 > < - 1 > < 0 > < 0 > - 1 < 0 > < 0 > 0 ( (λ() () ) () () ?1. 6 = ρ, S m f m f m f m ( ) ( ) ( )< - 1 > < 0 > - 1 < 0 > < 0 < - 1 > < 0 > - ,( ) < 0 > [ 0 < 0 >((λ() () () ) () ? f m= ρ, S m f m f m f m ,( )( )- 1 0 ) )1 ( 1. 3 ( ) ( ) ( < - 1 > < 0 > - 1 < 0 > 0 < - 1 > < 0 > - ( ) < 0 > 0 < 0 >(λ() () ) (,= ρ, S m m f m m ? f m( )( )- 1 0 ) )1 ) ( ( ( ( ) ) 1. - - 1 < 0 < - 1 > ( )- 1 ( ) ( ) 0 < 0 > < - 1 > [ 0 < 0 > < 0 [ ((λ() f ? f mm ,, S m m m = ρ( )( ) ( 0 - 1 - 1 ( ) ( ) 0 0 ) ) )1 )( (9 m- 1 )( 0 ) < - 1 >( - 1 )< ( ) ( )( ) [ 0 < 0 > < - 1 > - 1 [ 0 < 0 > < 0 () ((λ(mmf m?f mm = , S m ρ ( ) - 1 2 - 1 1( ) ( 0 )) ) ) )>( - 1 ( 0 ) < - 1 >( - 1 )< ( ) ( )[ 0 < 0 > < - 1 > - 1 λ(() ((mmm ?f m = ρ , S m f m( ( ) )( ) - 1 10 - 1 2 ) ) )( ) [ 0 < 0 > < 0 >( ( ( ( ) ) )) < > < - < 0 - 1 > [ 0 < 0 > < - 1 1 [ 0 < 0 > 0 ) (λ() () ) () ?= ρ, S m f m m f m >( )( - 1 0 () = m? `f m .) 即边 `f C . 余边性映射2是 最后 , fD 余边性知 Π m M 2由是左? [ - 1 ] [ 0 ][ 0 ] [ - 1 ]( = m1. 10 () () () ρ f m ? f m ? f m )[ - 1 ] [ 0 ] () () ` `我边有 f m f m ,?< - 1 > < 0 > < - 1 > < 0 > < 0 > [ - 1 ] < 0 > < 0 > [ 0 ] ( ) (λ() () ) () () ?1. 6 = , S m f m f m Mf m , < - 1 > < 0 > [ 0 ] < - 1 > - 1 < 0 > [ - 1 ] < 0 > [ - ρ< 0 > [ 0 ] < 0 >((λ() () ( () ) ) () ? f m,, S m f m S f m f m [ ][ 0 ]) 1 ]( ) 1. 4 = < - 1 > < 0 > [ 0 ] < - 1 > - 1 < 0 > [ - 1 ] < 0 > [ 0 ] < 0 >< 0 > [ - 1 ]( ) (λ() () ((?1. 10 = ,, S m f m S m f m[ 1 ][ 0 ]) ) ) m ρ[ ] < - > - [ - ] [ ] < > < - > - [ - 0 1 1 1 0 0 1 1 [ - 1 ])[ 0 ] < 0 > < 0 >) ) ((λ(() ) () (m ? f m, S m S m f m S m [ 0 ] [ 1 ] [ 0 ] [ 0 [ 1 ]) ]1 ( ) 1. 4 = ρ[ ] < - > - [ - 0 1 1 1 [ 0 ] < 0 > < - 1 > - 1[ - 1 ][ - 1 ][ 0 ] < 0 > < 0 >]) ) ) ) ()()(λ((f mm S, S m M S m 1 m ? f [ 1 ] 2 [ 1 ][ 0 ] ][ ] < - > [ ] < > < - > [ - ] [ ] < > < >(0 1 0 0 1 1 0 0 0 = ρm(λ(() ) () ) ?, S m f m m f m [ - 1 ][ 0 ]= ρ() = m? `f m. 即 边` 余边性映射f D 2.是 定理 H 半边 C, D 边是左 H 余模余代数和右 H 余模余代数 3. 2 Hop f, 22. 边是余代数分假边右边分 <<<>>>>C H D λλλ() () ?M边足 , ab= , ba , Π a, b?H. 令 ,且 N 是 M 的 C H D 2子余模 ,且作边 左 C 2余模以及>D 2余模 N 是 M 的直和边 , 边 N 边边 C H D 2余模也是 M 的直和边. 关明f: M边 N 是 C 和 D 2余模投射 , 边边 m ?M Π < - > < > < - > < > < 1 0 1 0 0 有((λ() () ) () `f m = ρ, S m f m f m >)= ρ< < < - 1 > 0 > - 1 > < 0 > < 0 >< - 1 > 1 < - 1 > 2 < 0 () ) λ(, S m m m (λ() ) = m.= ρ, S m m m >><<是 N 由定理 3. 1 知 f : H D 2余模投射 :即 边N 边边 C H D 2余模也是 M 的直和边 . 在定理 3.` CMλλλ() () 1 中 ,我边边明 `f 是 D 2余边性映射边用到了件条 :右边分 边足 , ab= , ba , Π a, b?H. . 如果 D = k ,<<>>>边同边双边余边就成边左余边由我边就可,,Sm a shC HD Sm a shC H . 3. 2 ,此条件边然边足 定理 以得到下><<面边边.<>[ 6 ]C 3. 是代推关 边H Hop f余半边 数 C 分边是左 H 2余模余代和右数 H 2余模余代数 . 令 M ?><1M><,且 N 是 M 的 C H 2子余模 ,且作边 左 C 2余模 N 是 M 的直和边 , 边 N 边边 C H 2余模也是 M 的直和边.><<>>>如果 C = k,双边 Sm a sh余边 C H D 就成边右 Sm a sh余边 H D . 由定理 3. 2,我边就可以得到下面边边.< λλ() (λ推关 3. 2 边 H 是余半边 Hop f代 数 , D 是右 H 2余模余代数. 假边右边分 边足 , ab= , ) >ba ,>><<