【doc】推导平板介质光波导传播模式条件的分子光学方法

【doc】推导平板介质光波导传播模式条件的分子光学方法 推导平板介质光波导传播模式条件的分子 光学方法 1989年第1,2期 瀹州大学(自然科学版). JOURNALOFYUZHOUUNIvI~RSITY总第91O勰 推导平板介质光波导传播模式条件 的分子光学方法 黄藏源 渝州大学物理系 l麓要】本文从分子光学即介质极化理论出发,导出了平板介质光波导 传播模式条件——自洽条件. 光波在平扳介质波导内传播的理论对于集成光学,光纤通讯及传感有着实际的指导 意义.在此之前研究此问有两种理论:一是几何光学理论.它是建立在全内反射的原理 之上…,优点是直观,缺点是自洽条件作为已知引入,还不能得到波导内场的分布. 二是用麦克士威唯象理论解麦氏方程t.优点是能导出自洽条件,亦能说明波导内场 的分布,但没有直观性,不能确定传播波旧摄幅.采用分子光学的方法可兼以上二法的 优点.不仅如此,此法还能够与分子结构联系解决色散,散射,晶体光学等问题.这是 前二法无能为力的. 玻恩?沃尔夫在光学原理一书中曾写到,原则上此方法可处理麦克士威理 论中的一切问题,且将比它更具成效.由于解微分积分方程存在着相当大自数学固 难,所至今应用此法解决问题尚步.本文采取附录中给出的,由索宁一盖根堡积分公 式导出的积分公式,精确地求解了平板介质波导的导波模式条件,与麦氏理论所得 到的 一 致. 1电磁波从一种介质^射到另一种介质上所满足的微分积分方程 玻恩?沃尔夫t'已给出了,电磁波从真空中入射到一个介质上时所满足的微分积 分方程组.我们可以很容易地把该方程组推广到电磺渡由一种介质入射到另一种 介质上 去的情况中去设入射波所处的介质的折射率为lIi,则可得到下捌方程组, ,(t)一n.,(r.t)-FS~xVx{N')av,【), 本文收到日期1989年2月27日 22 I (,t).赢(,t)+毛L×( 式中 N(t一罢)d, R N是分子数密度a 是与频率u有关的分于极亿率.对于线性均匀介质,是常数,监滴足洛伦营一罗 伦茨公式, = 警N 对于喾线性均匀介质,是空闻坐标的函数. R;1一一rrI (3) (3) E(r,t)和H(r,t)是介质m中的电场和磁场关于E(r,t) 和H(r,t)的意义是 在介质内部,表示有效场与宏观场的关系为- ,(t).(t)+N,(,一t)(4) 在介质外,E(r,t),H(r,t)就是宏观场., , 一…一iut 拳入射波是单色平面波E(r,t)=E.(re时,满足潸光定理. n()一××Jj.【(,G' l其中? Ge.R(K.: 詈)(6) s誊体积V的界面,景表对界面s的外法线求微商? 下面根据(1),(5)求解电磁波在平板介质波导中传播的情况. 3电磁波在平暇介质波导中传撬的导渡模式条件. 设波导由折射率分别为-n,I1a和n:自质组成,如图l所示.介质I1是包层,毕无? 限.介质1'1是导波层,厚度为5.介质n.是衬底,半无限. 设一单色平面波渡E.(r,t)从介质n中射到介质n上.根据分子光学观点,介 质I"1将被极化而产生偶扳子.儡极子发出次波,一部分进入n内写入射波叠加形成折射 波E.(r,t)在rl-中传播.一部分反刳回介质1"1中,叠加形成反射波E:(r,t). 28 囝l 此反射渡卫射判介质ns上,使舟质n极化面产生偶扳子.偶扳孚发出次波,一部分进入 n?中与Et(r,t)叠I口!戈行射波E.(墟介质n;中传播,一部分反射回介质 nt中,叠加形成反射波i(,t)?葛(一r,t)与毫:(,t)叠加形成在 中传播的波.此过程重复进t2;T,于是电磁波就在波导最中延续传播下去.但不是任 意电磁波都能在波导层中传蔷,衙是瀛层—定条件的波才髓在波导层中传播这个 务件 正是我们下面要求解的条件. 求解I 设入射波为单色平面波,形式为. 一 , 一 ,pik'r—i?t(7)E o(r,t)一,D,' 常矢量 . ();e.(.?cos9) 在入射波为单色平面波的情况可设折射波,反射波为下列形式, (,t).()e-1 ()e出4(..l... , KJ一n1sinOlKl=OKl;=nlk.cosOl .(,t)()e . ()e.《..3...? (I) (9) (10) (11) (12) (13' ' K'一11々k.8in03K,. OKa.~nik0cosOs , (,t):.()e7+(一r)e一 一一Din0(—xsind2l+ZCO$O~I) EiJ(r)一eilc .Ki1一nik0Sin8iIKI1r—OKi1一~jkacosO= J一一Din,k?(x8inO2I+ZCOSOt,) Ei.(r>一ei2 Ki2;n2k8in02:Kl2一oKiI一n4k,co$Otl (14' (15) '1e) (1T) (18) (10) :e".(...?. . 一 1V一赚筹. .一intk.(--XSinosO4J)l n:c-Ie 击XTxVx曩)z,x<一6 撮据?有 (cos)? , ().e"tk口'."..." (21) (21) 表一XtmOc一Gz, (O<x<一6)(22) 一dintk.(xsin0ti+zcosOt) EIi(r)一el, 日一 赢一躲謦G毕z, 寐鼻(2O)式 ..蕉!:!;一基f芏:'——一一一dx (0<x<--8)(23) 25 夸 .,InIksin..ei.(.诅(h+zs... (21) 筹=():下eik0R) 一一 【,一堡】e.R(:s) R一?x--X)+(y—y)'+(z—z - L一(@GGdy,dz'.' z=0 把(")和(25)代入(26)得 - L=T,in1kn?je.kR ?z昌O 一 :x一i X=0 RIei"IkI.sin0,d ,jdz, ik.RIinocos0, ,ee, 秉一~,T. 令(Z--Z)=pcos~(y—y)=psinqp 猁RlffiJ干ayaz=pdpd~ ldz, (.7) 代入(7)式得.. ?一 : 一 e,in,kosin.ei,n, kozc~s0』孚"e_nIk.c.sc.se1ddnp.r五. 一 K:(p十x)/K.(pt+It) 眭意到整阶贝塞尔函数的积分表示,\ 2 Jm(z)一fe,ZCOS(PCOSm 代入(28)式得 t2in|k.8in.t~.tnLko... 26, ?0 (28) .0 0 k n e X . — 一 d p d p 0 S? S O k — e 开02f ) p b ( T, ?.???,J :xe"I..(bp一 ko(p2 i】 . eiko./ pdp b—ntk口cosOl(29) 再利用半整数阶贝塞尔函数公式. J . (Z)=?告曲szJ(z)-告sInz.J.(),/}曲szJ(z)-音一 及递推公式?. J…(z)+凡+.<z).拿凡(z). 可把(29)式化为t'..一 . k. 3/2.in..ei埘. . 辉: .o J.(bp . :(k!!:j.!?!:!dp (pI+工)t . 一3/2in】k.zcosO' +2xelk0x J…/(k.?一i./:(?.rF) 利用附录(7),(8)式可得 L=--2x(1+星 SlnaK (p.-I-x.)0/4 i(k0xsinOk】+nlk.zcosO) p4p(3O) '31) 代入(2O)式 nieiHzk.(互s.+zcos=…1×× l 4吐; ;—— (+})(—砉×—i.×)'ks.KI+"Ik?.... :sinO,+Z— onc0s0)(32) ;..一Z.为x方问和z方问单位矢量. . 要使(?2)式成立必定有 Sin%l;niSinOnlCOSOl=n2c~osO 如此有, (ss) b ( TJ ?.J__J =n(xosin.c..0) (.s-i0+....0) 子是(32)式变为一 }(1十坠n~sinO/,,\:x×) =一+)((一(言,.言)1 (s') (:') (361) (361) 设.分解为垂直入射面和平每于入射面静两凸c与e: 堤.z也分解为垂直于入射面和平行于入射面的两个分量;e }与e: 展开(36t)可得l' : ? . ,};2nisinOn.'.. , .. s....—in—O—+—n~, e- l 一 2' e :' 如此)的解可写为 立?一而丽2n~+sn in .s Oin日een(XsihOI+zcosO~) Eln:s 2 in nzs l+ in n 9 而:e"1k.(IslnOs+zcosO0 同理可求解(21),(22)和(23)式.要注意的是? 对(21)式,R盎?干丽(x十6)<o 对(22)式R?一6<x<O 对(23)式R宣~/o<(x十6)<6 '结果殉于下面? . ,立}一堡le?eintk.t—xsinO+zcosO)一而而I. … 立;==::e:eln2k.:一..十..s.) E?:业=皇!1.!!ink.6sinB.'' nlsinO+rtlSinO1nlsinO+nasinOa'. . ein3k.(一xsinOl+zcosOs) 鸯:!!i=!1.!里einlk.6sino:,. n1sinO十nlsinOln3S伽0十n2sinOa (17) (3s) (39) (4o) (4】) (42) ('3) .ein3k.(一sinO3+zcosO3) 窖嚣斋.:薹器en2k+Ssc? .ein2k.(xsin0+zcos0) E::;in"1-nin?n ,S口,SH_ I22Sin0一ntsin0 n3SinO+n4SinO., i2nsin. c: ' . ein=k.(xsinO+ZcosO) 其中 nicoseJjn2cos0-----~nacos0. 0??01I=0 讨论c ,即以上诸渡的垂直分量对于E I,考虑TE渡 当i n0nS 堕efnO'I2SinOnSinOe毗6s'ne宣1一 n28+iI2+3. E?;deintk~(..+zcos.) 此式说明入射波在波导内经x:O和x=一6两次反射后仍保持原状. 内传播. 当<49)式成立必定有tnsin0t与n.SinO,同时为虚数. ..-I2SinOl—n~/ -._cos%>l即c0s.>=cosO: cos0-~x=0介面全反射临界角的余弦 同理,要求cosO4>1 即cosO>n~=cosO. n2 CosO是x一一6介面垒反射临界角的余弦.. 若n2>nl>nl 皿!I同时满足(51)和(52)式的条件可写为I cos0>n'4cosO. 一 nz 此情况说明在两个界面都发生全反射,鄄垒内反射? 如此,(49)式可写为 i(2nIk46sin0—2机一2)1t <") (45) (46) ('7) (48) ,则 (49)时 (so) 即无损失地在波导 () (52) (旦3) 2口 那2nikD5sin0—2札一2一2m 其中tm为整数 tg._一一tg= (51) nisin0一n:(55) (5g)煎C4)为臻定导渡柱式的条件l襄横式的阶敷与Tt幕尔由几侮毙 学理论得的—致.若令 P—n2k.cOsO(56) hn2kin0一nik5一B(57) q一 ,(58) 一(59) 则(54)式可变为 2h6—2一2一2m?(6O) tgc一}(61) tg.;}(62) (6O)式也可写为; tgh5=tg(m+c+) 咄(?);' ?鱼.- h(1一器)(8) 与雅里夫aJ从麦氏理论所得相同. 场分布;波导内传播的波的空间部分可写为 E(x,.)E.(x,z)+定?.(x,z)- 把(41)和(45)代入此式得 Ekx,z)=一 n~s — inO-n + ,sin01e一". = koxsinO+ei"l..".l.ee SO .c ' .: .e?e缸 e一ntk.XslnO+enIk?".】 (8?) 代入(57),(58)和(59)褥. ' 矗?一(hh+--|qiqe+e)ee(65) RE一t:2h'ec .sh一一:sinhx)(6s) 与雅里j从麦氏翌论所得一致曩蛊羔躁理论中仍鐾有一待定常数束确定.此理论 没有该问题. 同理可得: ?一e一 呲一[c0sna+-~sinh5]ex<一s? 2考虑TM渡,即以上诸波的平行分量按照TE波的方法可得t 导波条件t ?s0> n2 2n2k5sin0-2~-26—2mj, n??愚.{n?ni一nltgo一——————'tgo一——…———— (n2sin0)nj(n.sine) 或一tg(?),t旦t兰! h—pq ,nl p=,P n; 一ni q…一q n{ 场分布t' 对TM波,场分布应出E(x)和E(x)两-i'量决定 .Ei(z)=一E!I(x)cos0一,i(x)~O80 =一ehx+eihx] 眦.【 , (69) (70) (71) (72) (73) (74) 31 , 一 卜 h El(x)=一竞(x)sin0+Ei,(x)sin0 呲h EI(x)=一E!(x)cosO RE,(x)—一2h…e kon{h+q E(x)=E{)sin0 c0shx+nhx】(75),q. 一 6<x<O — qx x>0(Z6) R_E】如) khq e x>0(77)Dn{+L77J E,(x)=一E(x)cos0 R.E.(x):一旦 k口nh+q E,(x)=一E(x)8in0, R.E.(): k.n{ 关于磁场可由下式求出 32 ×() 青()=V ep(+6) (78) (so) , ,6 五 一旦b + 6出 0 + X e6 卟x h=q + 6 ? 一 一二卜 2一b 参考文献 , [Ij,[5]T?Tamir?IntegratedOptics . 1979I15~21 [2,,[6]A?Yariv'IntroductiontoOptic n1E1ectr0ncs. 1976=355~365 [3) [4] 玻恩?沃耳夫?光学原理.135 ' 沃耳夫?光学原理.节2,4,l TheMolecularOpticalMethodIndutedGuided ModesoftheDielectricSlabWaveguide HuangSh~ngyuan Ab;iract I4thispape~guidedmodesofthedielectricslab wavegu-de haveir~ucedWithFLOlecuIaroptica1method ,i..p.larized, , theory. 33 \一