概率论与数理统计作业课后习题解答(浙大第四版)```

概率论与数理统计作业课后习题解答(浙大第四版)``` 概率论与数理统计作业习题解答(浙大第四版) 第一章 概率的基本概念 习题解析 第 1、2 题 随机试验、样本空间、随机事件 ------------------------------------------------------------------------------- 1(写出下列随机试验的样本空间: (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。 (2)生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数。 (3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续 查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解 (1)高该小班有 n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为 0，1，2，…，100，n 0 1 100n 个人分数这和的可能取值为 0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为 , ,..., , 则 n n n 样本空间为 ，k , k , 0,1, 2, ,100n, S= , ,n , (2)样本空间 S={10，11，…}，S 中含有可数无限多个样本点。 (3)设 1 示正品，0 有示次品，则样本空间为 S={(0，0)，(1，0，0)，(0，1，0，0)，(0，1，0，1)，(0，1，1，0)，(1，1， 0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，1，1)，(0，1，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1， 1，0)，(1，1，1，1)} 例如(1，1，0，0)表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。 (4)设任取一点的坐标为(x，y)，则样本空间为 2 2 S=(, , ， ,xy1 ,y )x ------------------------------------------------------------------------------- 2(设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。 (1)A 发生，B 与 C 不发生; (2)A 与 B 都发生，而 C 不发生; (3)A，B，C 中至少有一个发生; (4)A，B，C 都发生; (5)A，B，C 都不发生; (6)A，B，C 中不多于一个发生; (7)A，B，C 中不多于两个发生; (8)A，B，C 中至少有两个发生。 此题关键词:“与，”“而”，“都”表示事件的“交”;“至少”表示事件的“并”;“不多 解 于”表示“交”和“并”的联合运算。 (1) ABC 。 (2)ABC 或 AB—C。 (3)A B C。 (4)ABC。 (5) ABC 。 ( 6 ) A ， B ， C 中不多于一个发生为仅有一个发生或都不发生，即 A BC ABC ABC ABC ，A，B，C 中不多于一个发生，也表明 A, B,C 中至少有两 个发生，即 AB BC AC ABC 。 (7)A，B，C 中不多于两个发生，为仅有两个发生或仅有一个发生，或都不发生，即表示 为 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 而 ABC 表示三个事件都发生，其对立事件为不多于两个事件发生，因此又可以表示为 ABC = A B C 。 (8)A，B，C 中至少有两个发生为 A，B，C 中仅有两个发生或都发生，即为 ABC ABC ABC ABC 也可以表示为 AB BC AC。 第 3.(1 、6、8、9、10 题 概率的定义、概率的性质、古典概型 )、 ------------------------------------------------------------------------------- 1 1 3((1)设 A，B，C 是三件，且 P(A) , P(B) , P(C ) , , P(AB) , P(BC ) , 0, P(AC ) , , 4 8 求 A，B，C 至少有一个生的概率。 利用概率的加法公式 解 3 1 5 P(A B C ) , P(A) ， P(A) ， P(C ) P(AB) P(BC ) P(AC ) ， P(ABC ) , , 4 8 8 其中由 P(AB) , P(BC ) , 0, 而 ABC AB 得 P(ABC ) , 0 。 ------------------------------------------------------------------------------- 6(在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任选 3 人记录其纪念章的号码。 求 (1)最小号码为 5 的概率; (2)最大号码为 5 的概率。 3 解 利用组合法计数基本事件数。从 10 人中任取 3 人组合数为 C10 ，即样本空间 3S=,10C ,个基本事件 。 ,120 (1)令事件 A={最小号码为 5}。最小号码为 5，意味着其余号码是从 6，7，8，9，10 的 5 2 2 个号码中取出的，有5 C种取法，故A= 5C10 个基本事件，所求概率为 , ,, 5! 2 C 10 1 5 2!3! P(A) , , , , 3 10! C 120 12 10 3!7! (2)令事件 B={最大号码为 5}，最大号码为 5，其余两个号码是从 1，2，3，4 的 4 个号码 2 2 中取出的，4 C种取法，即B= 4C个基本事件, ，则, 有 4! 2 C4 2!2! 6 1 P(B) , , , , 3 10! 120 20 C10 3!7! ------------------------------------------------------------------------------- 8(在 1 500 个产品中有 400 个次品，1 100 个正品。从中任取 200 个。求 (1)恰有 90 个次品的概率; (2)至少有 2 个次品的概率。 解 (1)利用组合法计数基本事件数。令事件 A={恰有 90 个次品}，则 90 110 C C400 1100 P(A) , 200 C1500 (2)利用概率的性质。令事件 B={至少有 2 个次品}， A， , {恰有i 个次品}，则 B , A2 A3 A200 , AiAi , ，i , j ， 所求概率为 200 A , A P(B) , P(A2 3 200), P(Ai ) i, 2 显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件 B ={恰有 0 个次品或恰有 1 个次品}，即 B , A0 A1 ，而 200 1 199 C C C1100 P(B) , P(A0 A1) , P(A0 ) ， P(A1 ) , 200 ， 4002001100 C1500 C1500 故 200 1 199 C C C1100 400 1100 P(B) , 1 P(B) , 1 200 200 C1500 C1500 ------------------------------------------------------------------------------- 9(从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少, 解 令事件 A={4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}。用 3 种方法求 P(A)。 ?A 的对立事件 A ={4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}，从 5 又鞋中任取 4 只，即 4 4 从 10 只鞋中任取 4 只，所有可能组合数为C10 ，样本空间 S={C10 个基本事件}，现考虑有 4 4 利于 A 的基本事件数。从 5 双鞋中任取 4 双，再从每双中任取一只，有C5 2 种取法，即 A ={C54 24 个基本事件}，则 4 5 , 2 13 C54 24 P(A) , 1 P(A) , 1 , 1 , 210 21 C104 4 4 ?4 只鞋是不放回的一只接一只的取出，所有可能的排列数为 A10 ，即样本空间 S={ A10 个基本事件}。现考虑有利于 A 的基本事件，从 10 只鞋中任取一只，与它配成双的一只不 取，从其余 8 只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，依此类推，则 A ={10×8×6×4 个基本事件}。于是 10 , 8 , 6 , 4 10 , 8 , 6 , 4 8 13 P(A) , 1 P(A ,) 1 , 1 , 1 , 4 A10 10 , 9 , 8 , 7 21 21 ?利用组合法计数基本事件数。考虑有利于事件 A 的基本事件数，任取的 4 只鞋配成 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 CC C CC C 一双的取法有C5 2 4 2 种，能配成两双的取法有C5 2 种，于是 A={(C5 2 4 2 +C5 2 ) 个基本事件}，则 1 2 2 2 2 130 13 C5C2C4 2 ， C5C2 P(A) , , , 4 210 21 C10 此题的第 1 种方法和第 2 种方法是利用概率性质: P(A) + P(A) =1 首先求 P(A) ，然后求 P(A) 。第 3 种方法是直接求 P(A) 。读者还可以用更多方法求 P(A) 。 ------------------------------------------------------------------------------- 10(在 11 张卡片上分别写上 Probability 这 11 个字母，从中任意连抽 7 张，求其排列结果为 ability 的概率。 解 令事件 A={排列结果为 ability}，利用排列法计数基本事件数。不放回的从中一次抽 1 7张的连抽 7 张，要排成单词，因此用排列法。样本空间={ A11 个基本事件}。排列结果 1 为 ability，实际收入字母 b 的卡片有两张，写字母 i 的卡片有两张，取 b 有C2 种取法， 1 1 1 C 取 i 有C2 种取法，其余字母都只有 1 种取法，故 A , {C2 2个基本事件} ，于是 1 C 4 C2 21 P(A) , 7 , , 0 , 0000024 11,10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 A11 这是个小概率事件。 第 14.(2 、15、19、18 题 条件概率、概率的加法公式和乘法公式 )、 ------------------------------------------------------------------------------- 1 1 1 14((2)已知 P(A) , ，P(B A) , , P(A B) , ,求P(A B) 。 4 3 2 利用概率加法公式和概率乘法公式。 解 P(A B) , P(A) ， P(B) P(AB) 解此题的关键是求 P(B)和P(AB) 。由概率乘法公式，得 1 1 1 P(AB) , P(A)P(B A) , , , 4 3 12 又 P(AB) , P(B)P(A B) ，解得 1 P(AB) 1 12 P(B) , , , P(A B) 1 6 2 于是所求概率为 1 1 1 1 P(A B) , ， , 4 6 12 3 此 题 的 关 键 是 利 用 P(A)P(B A) , P(B)P(A B) ， 求 出 P(AB) 和 P(B) ， 再 求 P(A B) 就迎刃而解了。 ------------------------------------------------------------------------------- 15(掷两颗骰子，已知两颗骰子点数和为 7，求其中有一颗为 1 点的概率(用两种方法)。 解 令事件 A={两颗骰子点数之和为 7}，B={有一颗为 1 点}。此题是求条件概率 P(B A) 。 两种方法如下: ?考虑整个样本空间。随机试验:掷两颗骰子，每颗骰子可能出现的点数都是 6 个， 2 即样本空间 S={ 6 个基本事件}。事件 AB={两颗骰子点数之间和为 7，且有一颗为 1 点}， 两颗骰子点数之和为 7 的可能结果为 6 个，即 A={(1，6)，(2，5)，(3，4)，(6，1)，(5，2)，(4，3)} 而 AB= {(1，6)，(6，1)}。由条件概率公式，得 2 P(AB) 2 1 36 P(B A) , , , , P(A) 6 6 3 36 ?已知事件 A 发生后，将 A 作为样本空间，其中有两个结果(1，6)和(6，1)只有 一颗骰子出现 1 点，则在缩减的样本空间中求事件 B 发生的条件概率为 2 1 P(B A) , , 6 3 ------------------------------------------------------------------------------- 18(某人忘记了电话号码的最后一个数，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所 需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少, 利用概率性质(有限可加性)和概率乘法公式。 解 “ A 令事件 Ai , {第 i 次拨通电话}， 到第 i 次拨通电话”这个事件为 A1 2 Ai 1Ai(i=1， 2，3)。事件 B={不超过三次而拨通电话}，则 B= A1 A1A 2 A1 A2 A3 该事件表示第一次拨通电话，或者第一次未拨通，第二拨通电话(到第二次拨通电话)，或 者第一、二次未拨通，第三次拨通电话(到第三次拨通电话)。右端是互不相容事件的并事 件，所以用有限可加性计算，得 P(B) , P(A1 A1A 2 A1 A2 A3 ) , P(A1 ) ， P(A1A 2 ) ， P(A1 A2 A3 ) , P(A1 ) ， P(A1 )P(A2 A1 ) ， P(A1 )P(A2 A1 )P(A3 A1 A2 ) 1 9 1 9 8 1 3 , ， , ， , , , 10 10 9 10 9 8 10 1 拨号是从 0，1，2，…，9 的 10 个数字中任取一个，有 10 种取法，第一次拨通的概率是 ; 10 9 第一次未拨通的概率为 ，第二次拨号时，是从其余 9 个数字中任取一个，所以拨通的概 10 1 9 1 1 1 率为 ，到第二次拨通的概率为 ， ，依此类推，到第 n 次拨通电话的概率都是 , , 10 9 10 9 10 与顺序无关。 已知最后一个数字是奇数时，令事件 C={拨号不超过三次而接通电话}。拨号是从 1， 1 ，到第二次拨通 3，5，7，9 的五个数字中任取一个，有 5 种取法，第一次拨通的概率为 5 4 1 1 4 3 1 1 的概率为 ，与上述分析方法和用的概率公 , , ，到第三次拨通的概率为 , , , 5 4 5 5 4 3 5 式相同，所以 1 4 1 4 3 1 3 P(C ) , ， , ， , , , 5 5 4 5 4 3 5 第 21、22、35、38 题 全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性 ------------------------------------------------------------------------------- 21(已知男人中有 5 0 0 是色盲患者，女人中有 0.25 0 0 是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少, 解 令事件 A={随机地选一人是女性}，对立事件 A ={随机地选一人是男性}。因为人群中 1 ，且 A， A 是样本空间的一个划分。事件 C={随机 男女人数相等，所以 P(A) , P(A) , 2 地挑选一人恰好是色盲}。已知 0.25 5 P(C A) , , P(C A) , 100 100 由全概率公式，得 P(C ) , P(A)P(C A) ， P(A)P(C A) 1 0.25 1 5 , , ， , , 0.02625 2 100 2 100 由贝叶斯公式，得 1 5 , P(A)P(C A) P(AC ) 2 100 , 0.9524 P(A C ) , , , P(C ) P(C ) 0.02625 ------------------------------------------------------------------------------- 22(一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为 P，若第一次及格则第二次 及格的概率也为 P;若第一次不及格则第二次及格的概率为 p 2 。(1)若至少有一次及格则 ( 他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。 2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及 格的概率。 令事件 Ai={一学生第 i 次考试及格}(i=1，2)，已知 解 P P(A1 ) , P, P(A1) , 1 P, P(A2 A1 )P(A2 A1 ) , 2 (1)由概率加法公式，得 P(A1 A2 ) , P(A1) ， P(A2 ) P(A1A2 ) , P(A1 ) ， P(A2 ) P(A1 )P(A2 A1 ) 利用对立事件求概率 P(A1 A2 ) , 1 P(A1 A2 ) , 1 P(A1 A2 ) , 1 P(A1 )P(A2 A1 ) , 1 P(A1 )[1 P(A2 A1 )] P 3 1 2 ) , P P , 1 (1 P)(1 2 2 2 显然用后者求解简单。 (2)利用条件概率公式。 P(A1A2 ) P(A )P(A2 A ) 1 1 , P(A2 A1) , P(A2 ) P(A2 ) P 2 2P , , P 2 ， P(1 P) P ， 1 2 ------------------------------------------------------------------------------- 35(如果一危险情况 C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联 以改善可靠性，在 C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发 出。如果两个这样的开关联联接，它们每个具有 0.96 的可靠性(即在情况 C 发生时闭合的 概率)，问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)，是多少,如果需要有一个可靠性至少为 0.9999 的系统,则至少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的。 利用事件的独立性。 解 ?令事件 A ={第 i 只开关闭合}。已知 P(A1 ) , P(A2 ) , 0.96 。令事件 B={电路闭合}。 i 两只开关并联联接，则 B , A1 A2 ，即至少有一只开关闭合，电路就闭合。而 A1与A2 相互 独立，所以电路闭合的概率为 P(B) , P(A1 A2 ) , P(A1 ) ， P(A2 ) P(A1A2 ) , P(A1 ) ， P(A2 ) P(A1 )P(A2 ) , 0.96 ， 0.96 (0.96)2 , 0.9984 这种解题思路是读者容易想到的.另一种解法是利用对立事件,计算此较简单. P(B) , P(A1 A2 ) , 1 P(A1 A2 ) , 1 P(A1 A2 ) , 1 P(A1)P(A2 ) , 1 0.042 , 0.9984 ?设需要 n 只开关并联,才保证系统可靠性为 0.9999。令事件 A ={第 i 只开关闭合(i=1， i } 2，…，)。令事件 C={电路闭合}，则C , A1 A2 An 。如果用概率加法公式表示 P , (C ) n 将是相当麻烦的，不妨表示为 P(C ) , P(A1 A2 An ) n n , P(Ai ) P(A Aj ) ， P(A AAK ) ， ， ( 1)n 1P(: A ) i i j i i ,1 1,i j ,n 1,i j k ,n i,1 n 1 2 2 (0.96) ， C , 0.96n Cn n 3(0.96)3 ， ， ( 1) (0.96)n 已知 P(C ) , 0.9999 ，解 n 实际上是很难办到的。 如果用对立事件表示 P(C ) ，显然比较简单，即 P(C ) , 1 P(A1 A2 An ) , 1 P(A1 A2 An ) , 1 P(A1 )P(A2 ) P(An ) , 1 (0.04)n n n 已 知 1 0.04 , 0.9999 ， 即 1 0.04 , 0.0001 ， 两 边 取 以 e 为 底 的 对 数 ， 得 n1n (0.04) , 1n (0.0001) ，则 9.2103 1n (0.0001) n , , , 2.86 3.2189 1n (0.04) 故至少需要 3 只开关并联联接。 此题表明对立事件及德?莫根律对解决实际问题有多么重要。 ------------------------------------------------------------------------------- 36(三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1 5,1 3,1 4 。问三人中至 少有一人能将此密码译出的概率是多少, 1 1 1 ， 解 ?令事件 Ai ={第 i 人能译出密码}(i=1，2，3)，且 P(A1) , ，P(A2 ) , ，P(A3 ) , 5 3 4 B={三人中至少有一人能译出密码}与事件“密码被译出”是相等事件。又 A1, A2A3 相互独 立。 利用概率的加法公式和事件的独立性。 P(B) , P(A1 A2 A3 ) , P(A1 ) ， P(A2 ) ， P(A3 ) P(A1A2 ) P(A1A3 ) P(A2 A3 ) ， P(A A2A3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ， ， , , , ， , , , 0.6 5 3 4 5 3 5 4 3 4 5 3 4 ?利用对立事件和事件的独立性。 P(B) , P(A1 A2 A3 ) , 1 P(A1 A2 A3 ) , 1 P(A1 A2 A3 ) , 1 P(A1)P(A2 )P(A3 ) 1 1 1 3 , 1 (1 ) , (1 ) , (1 ) , , 0.6 5 3 4 5 ------------------------------------------------------------------------------- 38(袋中装 m 只正品硬币、n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)。在袋中任取一只， 将它投掷 r 次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少, 解 令 事 件 A={ 任 取 一 只 硬 币 是 正 品 }, 对 立 事 件 A ={ 任 取 一 只 硬 币 是 次 品 }, 且 m n P(A) , , P(A) , ，B={把硬币投掷 r 次，每次都得到国徽面}，令事件 Bi ={把 m ， n m ， n 硬币投掷 i 次，有 i 次得到国徽}(i=1，2，…，r)。如果硬币是正品，则投掷一次出现任何 1 一面的概率都是 ;如果硬币是次品，则投掷一次出现国徽面的概率是 1。于是 2 P(B1 ) , P(A)P(B1 A) ， P(A)P(B1 A) m 1 n , , ， ,1 m ， n 2 m ， n P(B2 ) , P(A)P(B2 A) ， P(A)P(B2 A) m 1 1 n , , , ， ,1,1 m ， n 2 2 m ， n m 1 n P(Bi ) , , i ， ,1i m ， n 2 m ， n 则 m 1 n P(B) , P(Br ) , , r ， ,1r m ， n 2 m ， n m 1 n , , r ， m ， n 2 m ， n 所求概率为 P(A)P(B A) P(AB) P(A B) , , P(A) P(B) m 1 , r m m ， n 2 , , m 1 n m ， 2r n , r ， m ， n 2 m ， n 第二章 随机变量及其分布 习题解析 第 2.(1 、3、6、7、12、17 题 离散型随机变量的分布律 )、 ------------------------------------------------------------------------------- 2((1)一袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5。在袋中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码，现实性出随机变量 X 的分布律。 随机变量 X 的所有可能取值为 3，4，5，求取各个值的概率用古典概型。解 1 1 C22 P{X , 3} , , , 3 5! 10 C5 3!2! 3! 2 3 C3 2!1! P{X , 4} , , , 3 5! 10 C5 3!2! 4! 2 3 C4 2!2! P{X , 5} , , , 3 5! 5 C5 3!2! 则随机变量 X 的分布律为 X 3 4 5 1 3 3 Pk 10 10 5 如果用概率函数表示，则为 Ck2 1 P{X , k} , (k , 3, 4,5) C53 ------------------------------------------------------------------------------- 3(设在 15 只同类型的零件中有 2 只是次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样。 以 X 表示取出的次品的只数。(1)求 X 的分布律;(2)画出分布律的图型。 随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，求取各个值的概率用古典概型。 解 (1)X 取各个值的概率分别为 13! 0 22 CC 3 2 13 3!10! P{X , 0} , , , 3 15! 35 C15 3!12! 13! 1 2 , C 12 C2 132 2!11! P{X , 1} , , , 3 15! 35 C15 3!12! 2 1 C 13 1 C2 13 P{X , 2} , 3 , , 15! 35 C15 3!12! 则 X 的分布律为 X 0 1 2 22 12 1 Pk 35 35 35 ,所以只要求出 P{X , 0}, P{X , 1} 则 P{X , 2} , 1 P{X , 0} P{X , 1} 。因为 P ,1 k X 的分布律用概率函数表示为 k C C2 133 k P{X , k} , (k , 0,1, 2) C153 ------------------------------------------------------------------------------- 6(一大楼装有 5 个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻 t 每个设备被使用的概率为 0.1， 问在同一时刻 (1)恰有 2 个设备被使用的概率是多少, (2)至少有 3 个设备被使用的概率是多少, (3)至多有 3 个设备被使用的概率是多少, (4)至多有 1 个设备被使用的概率是多少, 个同类型的供水设备，在任一时刻是否被使用相互独立，而在同一时刻被使用的个 5 解 数 X 服从二项分布 b(5，0，1)，故用二项分布求解 X 取各个值，或在某个范围内取值的概 率。 (1)因为 X 服从二项分布 b(5，0，1)，分布律为 k (k=0，1，2，3，4，5) P{X , k} , Ck (0.1) (0.9)5 k 于是 2 P{X , 2} , C52 (0.1) (0.9)5 2 , 10 , 0.01, 0.729 , 0.0729 (2) 5 k P{X , 3} , C5k (0.1) (0.9)5 k k ,3 3 3 4 4 5 4 5 (0.1) (0.9) ， C , C (0.1) (0.9)5 3 ， C5 55 (0.5) (0.9)5 5 5 , 10 , 0.001, 0.81 ， 5 , 0.0001, 0.9 ， 0.00001 , 0.00856 (3) 3 k P{X , 3} , C5k (0.1) (0.9)5 k k ,0 0 0 1 4 2 2 3 3 , C (0.1) (0.9)5 ， C5 (0.1)(0.9) ， C5 (0.1) (0.9) ， C5 (0.1) (0.9)2 5 , 0.59049 ， 032805 ， 0.0729 ， 0.0081 , 0.99954 或用对立事件求解。 P{X , 3} , 1 P{X, 3} , 1 P{X , 4} 5 k , 1 C5k (0.1) (0.9)5 k k ,4 4 4 5 5 0 , 1 [C5 (0.1) (0.9) ， C5 (0.1) (0.9) ] 5 , 1 [5 , 0.14 , 0.9 ， 0.1 ] , 1 [0.00045 ， 0.0001] , 0.99954 后者计算比前者简单。 5 k k 5 k ，显然计算过程比较麻烦，但用对立事件求解相当 (0.1) (0.9)(4) P{X , 1} , C 5 k ,1 简单。 P{X , 1} , 1 P{X , 1} , 1 P{X , 0} 0 , 1 C50 (0.1) (0.9)5 , 1 0.95 , 1 0.59049 , 0.40951 ------------------------------------------------------------------------------- 7(设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号。 (1)进行了 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率;(2)进行了 7 次重复独立试验， 求指示灯发出信号的概率。 (1)事件 A 次重复独立试验中发生的次数 X 服从二项分布 b(n，0.3),分布律为 解 k (k=0,1,2,…,n) P{X , k}Cnk (0.3) (0.7)n k 当事件{X , 3} 发生时,指示灯发出信号。当 n=5 时，则 5 k P{X , 3} , C5k (0.3) (0.7)5 k k ,3 3 3 4 , C (0.3) (0.7)2 ， C54 (0.3) (0.7) ， C55 (0.3)5 5 , 10 , 0.027 , 0.49 ， 5 , 0.0081, 0.7 ， 0.00243 , 0.16308 (2)事件 A 在 7 次重复独立试验中发生的次数 Y 服从二项分布 b(7，0，3)，则 P{Y , 3} , 1 P{Y 3} , 1 P{Y , 2} 0 2 5 , 1 [C70 (0.3) (0.7)7 ， C71 (0.3)(0.7)6 ， C72 (0.3) (0.7) ] 5 , 1 [0.77 ， 7 , 0.3 , 0.76 ， 21, 0.32 , 0.7 ] , 0.353 ------------------------------------------------------------------------------- 12(一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为 4 的泊松分布。求(1)某一分钟恰有 8 次呼唤的概率;(2)某一分钟的呼唤次数大于 3 的概率。 解 一电话交换台某一分钟收到呼唤的次数 X 服从泊松分布 (4) ，其分布律为 e 4 4k (k=0，1，2，…) P{X , k} , k ! 8 e 4 4 1200.33371 (1) P{X , 8} , , , 0.02977 8! 40320 3 e 4 4k e 4 4k , 0.5665 (2) P{X , 3} , P{X , 4} , , 1 k ! k ! k ,4 k ,0 ------------------------------------------------------------------------------- k 1 K , k , 0 ，1，求 X 的 17((1)设 X 服从(0-1)分布，其分布律为 P{X , k} , P (1 P) 分布函数，并作出其图形; (2)求第 1 题中的随机变量的分布函数。 解 (1)X 的分布函数为 F (x) , P{X , x} , Pk (1 P)1 K k ,x x 0 ，0, 0 , x 1 , , ,1 P x , ,1, , (2)第 1 题中随机变量 X 的分布律为 X 3 4 5 1 3 3 Pk 10 10 5 X 的分布函数为 F (x) , P{X , x} ，求法如下。 当 x 3 时，则 F (x) , P{X , x} , 0 当 3 , x 4 时，则 F (x) , P{X , x} , P{X , 3} , 0.1 当 4 , x 5 时，则 F (x) , P{X , x} , P{X , 3} ， P{X , 4} , 0.1 ， 0.3 , 0.4 当 x , 5 时，则 F (x) , P{X , x} , P{X , 3} ， P{X , 4} ， P{X , 5} , 1 综合表示为 ，0, , 1 , x 3 , ,,10 3 , x 4 F (x) , , 1 3 4 ， , 4 , x 5 ,10 10 10 , , x , 5 3 3 , 1 ， ， , 1, ,,10 10 5 第 19、21、27、34、35、36 题 随机变量的分布函数、连续型随机变量的概率密度 ------------------------------------------------------------------------------- 19(以 X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间(以分计)，X 的分 布函数是 ，1 e0.4 x, x, 0 Fx(x) , , x 0 ,0, 求下述概率: (1)P{至多 3 分钟};(2)P{至少 4 分钟};(3)P{3 分钟至 4 分钟之间};(4)P{至多 3 分 钟或至少 4 分钟};(5)P{恰好 2.5 分钟}。 0.4,3 解 , 1 e 1.2 , 0.6988 (1) P{X , 3} , Px (3) , 1 e 0.4,4 , 0.2019 (2) P{X , 4} , 1 P{X 4} , 1 FX (4) , e (3) P{3 , X , 4} , P{X , 4} P{X , 3} , FX (4) FX (3) , 1 e 0.4,4 (1 e 0.4,3 ) , 0.0993 (4) P{X , 3} ， P{X , 4} , 1 e 0.4,3 ， (1 e 0.4,4 ) , 0.6988 ， 0.2019 , 0.9007 (5) P{X , 0.25} , 0 。 ------------------------------------------------------------------------------- 21(设随机变量 X 的概率密度为 1 , x , 2 ，2(1 1 x 2 ), (1) f (x , ), 其它 ,0, ，x, 0 , x , 1 , 1 , x , 2 (2) f (x , ),2 x, ,0, 其它, 求 X 的分布函数 F (x) ，并画出(2)中的 f (x) 及 F (x) 的图形。 解 (1)当 x , 1时，F(x)=0;当1 , x , 2 时，则 x 1 x 1 )dt 1 2 t x 1 1 x 1 2 1 2 , 2x ， 4 x 当 x , 2 时，F(x)=1。综合表示为 ，0, x , 1 , 2 1 , x , 2 x x , 2 ,,1, (2)当 x , 0 时，F(x)=0;当 0 , x , 1时，则 x 0 x 1 2 x 2 0 当1 , x , 2 时，则 x f (t)dt 0 1 x 0 1 1 x 0 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 当 x , 2 时，F(x)=1。综合表示为 ，0, x , 0 , x 2 , 0 , x , 1 , 2 1 , x , 2 , 2 x , 2 ,1, ------------------------------------------------------------------------------- 27(某地区 18 岁女青年的血压(收缩压，以 mmHg 计)服从 N(110，122 )。在该地区任选 一 18 岁的女青年，测量她的血压 X。 (1)求 P{X , 105}, P{100 , X , 120} ; 0dt ， F (x ,) ， f (t )dt ,， ， 2(1 )dt ,2(t ， ) , 2， (1 t t , F (x) , ,2x ， 4, , 0dt ， F (x ,) ， f (t )dt ,， ， tdt , F (x ,) ， 0dt ， tdt ， , ， ， ， (2 t )dt 1 1 tdt ， , ， ， (2 t )dt , ， (2t t 2 ) 1x 2 2 , ， 2x x 2 ， , x 2 ， 2x 1 , 1 F (x) , , , 1 x 2 ， 2x 1 , (2)确定最小的 x，使 P{X , x} , 0.05 。 2 解 设女青年的血压为 X，则 X, N (110,12 ) ，由此得 X 110 , N (0,1) 12 (1)? X 110 105 110 P{X , 105} , P{ } , 12 12 5 5 , ,( ) , 1 ,( ) 12 12 , 1 ,(0.4167) , 1 0.6628 , 0.3372 ? 100 110 X 110 120 110 } P{100 , X , 120} , P{ , , 12 12 12 5 X 110 5 , P( , , ) 6 12 6 5 5 5 , ,( ) ,( ) , 2,( ) 1 6 6 6 , 2,(0.833) 1 , 2 , 0.7967 1 , 0.5934 (2) P{X , x} , 0.05 ，用对立事件得 1 P{X , x} , 0.05, P{X , x} , 0.95 X 110 x 110 } , 0.95 P{ , 12 12 x 110 查表得 , 1.645 ，解出 x , 129.74 ，则 x 的最小值为 129.74。 12 第 33、题 随机变量的函数分布 ------------------------------------------------------------------------------- 33(设随机变量 X 的分布律为 X -2 -1 0 1 3 1 1 1 1 11 Pk 5 6 5 15 30 求Y , X 2 的分布律。 解 Y , X 2 的所有可能取值为 0，1，4，9，取各个值的概率分别为 1 P{Y , 0} , P{X 2 , 0} , P{X , 0} , 5 2 P{Y , 1} , P{X , 1} , P{X , 1} ， P{X , 1} 1 1 7 , ， , 6 15 30 P{Y , 4} , P{X 2 , 4} , P{X , 2} ， P{X , 1} 1 , P{X , 2} , 5 P{Y , 9} , P{X 2 , 9} , P{X , 3} ， P{X , 3} 11 , P{X , 3} , 30 于是 Y 的分布律为 Y 0 1 4 9 1 7 1 11 Pk 5 30 5 30 此题 Y 与 X 不一一对应，X 取值为-1，1 对应 Y 取值为 1，这时 P{Y , 1} 等于 P{X , 1}与P{X , 1} 之和。 用表格表示 Y 在的分布律时，通常 Y 取值从小到大排序，看起来比较整齐。 ------------------------------------------------------------------------------- 34( 设随机变量 X 在(0，1)上服人均匀分布。 (1)求Y , e X 的概率密度; (2)求Y , 21nX 的概率密度。 解 X 的概率密度为 ，1, , x , 1 0 f X (x) , 其它 ,0, 首先求 Y 的分布函数，然后求 Y 的概率密度。(1)设 FY (y) 为 Y 的分布函数， FY (y) 为 Y 的概率密度。 当 y , 1时， FY (y) =0;当1 , y , e 时，则 1ny dx , 1nyFY (y) , P{Y , y} , {e X , y} , P{X , 1ny} , ， 0 当 y , e 时， FY (y) =1。综合表示为 ，0, y , 1 , 1 , y , e FY (y) , ,ln y, ,1, y , e , 于是 Y 的概率密度为 ， 1 1 , y , e , , dFY (y) fY (y) , , , y 其它 dy ,0, , (2)当 y 0 时， FY (y) =0;当 y , 0 时，则 FY (y) , P{Y , y} , P{ 21nX , y} y , P{X , e 2 } y 1 , ， 2y dx , 1 e 2 e 综合表示为 y , 0 ，,0, FY (y) , , y y , 0 ,,1 e 2 于是 Y 的概率密度为 ， 1 2y y , 0 dFY (y) , e , fY (y) , , , 2 y , 0 d,0, , y 1 的指数分布。 由此可见，Y 服从参数为 2 直接求 Y 的概率密度 FY (y) 。 (1)因为Y , e X 对应的函数 y , ex 是严格单调增加函数，可以应用中的定理求解。 dx 1 , y , ex 的反函数为 x , 1ny ，又 ，当1 , y , e 时，则 dy y dx 1 , fY (y) , f X (1ny) dy y 综合表示为 ， 1 1 , y , e fY (y) , , y -5, , , 其它 ,0, 随机变量 Y 的取值范围根据 X 的取值范围( 0 , x , 1)和函数 y , ex 来确定。当 a , y , , ， 则 a , min{e0 ,e} , 1, , , max{e0 ,e} , e 。 y 2 ，又 (2)因为Y , 21nX 对应的函数 y , 21nx 是严格单调减少函数，其反函数 x , e 1 y , e 2 ，则 dx dy 2 ， 1 y 1 1 y fY (y) , , 2 y , 0 , e 2 , , e 2 , y 2 y , 0 , ,0, ( ( ------------------------------------------------------------------------------- 35(设 X,N(0，1)。 )求Y , e X 的概率密度; 2)求Y , 2X 2 ， 1的概率密度; 3)Y , X 的概率密度。 x 解 X 的概率密度为 2 1 ( , x , ， ) e 2 fY (y) , 2 首先求 Y 的分布函数 FY (y) ，然后求 Y 的概率密度 fY (y) 。 (1)当 y , 0 时， FY (y) , 0 ;当 y, 0 时，则 x FY (y) , P{Y , y} , P{ex , y} e dx , P{X , 1ny} , ， 2 1ny 1 2 2 于是 Y 的概率密度为 dFY (y) fY (y) , , , 2 y e ， 1 (1ny )2 y , 0 ,0, , 2 y , 0 dy , (2)当 y , 1时， FY (y) =0;当 y, 1时，则 FY (y) , P{Y , y} , P{2X 2 ， 1 , y} } , P{ X , y 1 y 1 , P{X 2 , } x x 2 2 e dx , ， e dx , 2， 2 2 y 1 y 1 1 1 2 2 2 2 y 1 0 2 2 2 于是 Y 的概率密度为 y 1 ， 1 e 4 , y , 1 , dFY (y) fY (y) , , , 2 (y 1) y , 1 dy ,0, , (3)当 y 0 时， FY (y) , 0 ;当 y , 0 时，则 FY (y) , P{Y , y} , P{ X , y} 2 x x y 1 y 1 2 e 2 dx , ， e 2 dx , 2， y 0 2 2 于是 Y 的概率密度为 2 ， 2 y y , 0 , e 2 , dFY (y) fY (y) , , , ydy , 0 ,0, , 直接求 Y 的概率密度 fY (y) 。 dx 1 ，则 (1)Y , e X 对应的函数 y , ex 是严格单调增加函数，其反函数为 x , 1ny ，又 , dy y Y 的概率密度为 2 (1ny ) ， 1 2 y , 0 , e , fY (y) , , 2 y y , 0 , ,0, (2)Y , 2X 2 ， 1对应的函数 y , 2x 2 ， 1 是非单调函数，分成两个单调区间，当 x 0 时， y 1 y 1 则 x , 。于是当 y , 1时，有 ，当 x , 0 时， x , 2 2 y 1 y 1 dx fY (y) , [ f X ( ) ， f X ( )] 2 2 dy y 1 y 1 1 1 1 1 e 4 ] , [ e 4 ， , 2 2 y 1 2 2 y 1 1 e 4 , 2 (y 1) 当 y , 1时， fY (y) =0。综合表示为 y 1 ， 1 e 4 , y , 1 , fY (y) , , 2 (y 1) y , 1,0, , (3) Y , X 对应的函数 y , x 是非单调函数 ,分成两个单调区间 ,其反函数 x , , y ,又 dx , ,1，当 y , 0 时， fY (y) , 0 ;当 y, 0 时，则 dy y 2 y 2 2 2 2 2 ,1 , e e fY (y , ) 2 综合表示为 2 ， 2 y y , 0 , e 2 , fY (y) , , y , 0 ,0, , ------------------------------------------------------------------------------- 36((1)设随机变量 X 的概率密谋为 f (x) ， x 。求Y , X 3 的概率密度。 (2)设随机变量 X 的概率密度为 ，e x , , 0 x f (x) , , 其他 ,0, 求Y , X 2 的概率密度。 解 设 Y 的分布函数为 FY (y) ，概率密度为 fY (y) 。 首先求 FY (y) ，然后求 fY (y) 。 (1) FY (y) , P{Y , y} , P{X 3 , y} 3 y} ,( y , ， ) , P{ X , 3 y f (x)dx , ， 则 Y 的概率密度为 dF (y) 1 23 (y , 0) , f ( 3 y ) y fY (y) , dy 3 (2)当 y , 0 时， FY (y) =0;当 y , 0 时，则 y} FY (y) , P{Y , y} , P{X 2 , y} , P{0 , X , y y y x , 1 e e dx , ( e x ) , ，0 0 综合表示为 y , 0 ，,0, FY (y) , , y y , 0 ,,1 e 于是 Y 的概率密度为 ， 1 e y , y , 0 , FY (y) , , 2 y y , 0 ,0, , 直接求 Y 的概率密度 fY (y) 。 dx 1 23 3 (1)Y , X 3 对应的函数 y , x3 是严格单调增加函数，其反函数 x , y ，又 y ， , dy 3 则 1 2 (y , 0) fY (y) , f ( 3 y ) y 3 3 (2)Y , X 3 对应的函数 y , x 2 是非单调函数，便当 x , 0 时，y , x 2 是严格单调增加函数， dx 1 其反函数 x y ，又 , ，当 y , 0 时， fY (y) =0;当 y , 0 时，则 dy 2 y 1 1 y e , fY (y) , f ( y ) 2 y 2 y 综合表示为 ， 1 e y , y , 0 , fY (y) , , 2 y y , 0 ,0, , 第三章 多维随机变量及其分布 习题解析 第 1、2.(1 、3、7、8、9、10、13、18、22 题 二维随机变量(X，Y)的联合分布、边缘 )、 分布、随机变量的独立性 ------------------------------------------------------------------------------- 1(在一箱子中装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种 试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样。我们定义随机变量 X，Y 如下: ，0,若第一次取出的是正品 X , , ,1,若第一次取出的是次品 ，0,若第二次取出的是正品 Y , , ,1,若第二次取出的是次品 试分别就(1)、(2)两种情况，写出 X 和 Y 的联合分布律。 10 2 解 (1)放回抽样。X 的分布律为 P{X , 0} , ，而两次试验的结果互不 , P{X , 1} , 12 12 10 2 影响，所以 Y 的分布律为 P{Y , 0} , 。二维随机变量(X，Y)的所有可 , P{Y , 1} , 12 12 能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)。(X，Y)取各个值的概率用古典概型计算， 得 2 10 25 P{X , 0,Y , 0} , 2 , 12 36 10 , 2 5 , 0,Y , 1} , , P{X 2 12 36 2 ,10 5 P{X , 1,Y , 0} , , 2 12 36 2 , 2 1 P{X , 1,Y , 1} , , 2 12 36 求二维离散型随机变量(X，Y)的颁布律就是求积事件发生的概率。如{X , 0,Y , 0}是表 示{(X , 0): (Y , 1)}，为简单起见，将符号“: ”用“，”代替，是表示事件{X , 0}与{Y , 0} 同时发生。因为是放回抽样，所以事件{X , i}与{Y , j}(i, j , 0,1) ，是相互独立的，故也 可以利用事件的独立性计算。如 10 10 25 P{X , 0,Y , 0} , P{X , 0}P{Y , 0} , , , 12 12 36 其他类似。于是二维随机变量(X，Y)的分布律为 X Y 1 0 0 25 5 36 36 5 1 1 36 36 (2)不放回抽样。用古典概型计算，则得 10 , 9 45 P102 P{X , 0,Y , 0} , , , 2 12 ,11 66 P12 1 10 , 2 10 P P10 21 P{X , 0,Y , 1} , , , 2 12 ,11 66 P12 1 2 ,10 10 P P2 101 P{X , 1,Y , 0} , , , 2 12 ,11 66 P12 2 2 1 P2 P{X , 1,Y , 1} , , , 2 12 ,11 66 P12 因为是不放回抽样，第一次试验结果影响第二度验结果发生的概率。也可以用概率的乘法公 式，则得 10 9 45 P{X , 0,Y , 0} , P{X , 0}P{Y , 0 X , 0} , , , 12 11 66 其他类似，于是(X，Y)的分布律为 X Y 1 0 0 45 10 66 66 10 1 1 66 66 ------------------------------------------------------------------------------- 2((1)盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球。以 X 表示取到黑球 的只数，以 Y 表示取到红球的只数。求 X 和 Y 的联合分布律。 解 用古典概型。则(X，Y)的分布律为 C3iC2jC24 (i ， j ) P{X , i,Y , j} , C74 (i , 0,1, 2,3; j , 0,1, 2; 2 , i ， j , 4) 其中 P{X , 0,Y , 0} , 0 P{X , 0,Y , 1} , 0 0 2 1 CC C3 2 22 P{X , 0,Y , 2} , , 4 35 C7 C31C20C23 P{X , 1,Y , 0} , , 0 C74 1 1 6 CC C3 2 22 P{X , 1,Y , 1} , 4 , 35 C7 1 2 6 CC C3 2 21 P{X , 1,Y , 2} , , 4 35 C7 2 0 3 CC C3 2 21 P{X , 2,Y , 0} , , 4 35 C7 2 1 12 CC C3 2 21 P{X , 2,Y , 1} , , 4 35 C7 3 C32C22C20 P{X , 2,Y , 2} , , 4 35 C7 3 0 2 CC C3 2 21 P{X , 3,Y , 0} , , 4 35 C7 3 1 2 CC C3 2 20 P{X , 3,Y , 1} , , 4 35 C7 P{X , 3,Y , 3} , 0 二维随机变量(X，Y)的分布律为 X Y 1 2 3 0 0 3 2 0 0 35 35 1 6 12 2 0 35 35 35 2 1 6 3 0 35 35 35 ------------------------------------------------------------------------------- 3(设随机变量(X，Y)的概率密度为 ，k (6 x y), 0 , x , 2, 2 , y , 4 fY (x, y , ), 其他,0, (1)确定常数 k; (2)求 P{X , 1,Y , 3}; (3)求 P{X , 1.5}; (4)求 P{X ，Y , 4} 。 ， ， 解 (1)利用概率密度性质; f (x, y)dxdy , 1。有 ， ， 2 4 ， dx， k (6 x y)dy , 1 0 2 等式左端为 2 4 2 2 1 2 4 k (6 x y)dy , k ， dx， ， (6y xy y ) 2 dx , k ， (6 2x)dx 0 2 0 0 2 1 , k (6x 2 , x 2 02 ) 2 , 8k 1 由 8k=1，得常数 k= 。 8 (2) 1 1 3 (6 x y)dy dx P{X 1,Y 3} , ， ， 8 0 2 1 1 2 3 1 7 (6y xy y ) 2 dx , , ， ， ( x)dx 1 1 8 2 8 2 0 0 , ( x x 2 ) 10 , , , 1 7 1 1 6 3 8 2 2 8 2 8 (3) P{X 1.5} , ， ， 1.5 1 4 (6 x y)dy dx 1 1 27 8 0 2 , ， (6 2x)dx , , 6.75 , 1.5 8 8 32 0 (4)可知，积分域为三角域，所求概率为 P{X , 1,Y , 4} , ， ， 8 2 4 x 1 (6 x y)dy dx 0 2 , ， (6y xy 1 2 1 2 4 x y ) 2 dx 8 0 2 , ， (6 4x ， x 2 )dx , (6x 4 , x 2 ， 8 2 8 2 6 1 2 1 1 1 1 3 2 x ) 0 0 , , (12 8 ， ) , 1 8 2 8 6 3 ------------------------------------------------------------------------------- 7(设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ，4.8y(2 x), 0 , x , 1, 0 , y , x f (x, y , ), 其他 ,0, 求边缘概率概率密度。 解 当 0 , x , 1时，关于 X 的边缘概率密度为 x fY (x) , ， 4.8y(2 x)dy 0 x , 4.8(2 x)， ydy 0 1 x , 4.8(2 x)( y 2 ) 0 2 2 , 2.4x (2 x) 综合表示为 , x , 1 0，2.4x 2 (2 x), f (x, y , ), 其他 ,0, 当 0 , y , 1时，关于 Y 的边缘概率密度为 1 1 4.8y(2 x)dx , 4.8y fY (x) , ， ， (2 x)dx y y 1 2 1 3 , 4.8y(2 xy ) x ) y , 4.8y( 2y ， 1 2 2 2 2 , 2.4y(3 4y ， y 2 ) 综合表示为 , y , 1 0，2.4y(3 4y ， y 2 ), f (x, y , ), 其他 ,0, 求关于 X，Y 的边缘概率密度时，首先画出(X，Y)的概率密度 f (x, y) , 0 的区域，以便 帮助正确确定积分上、下限。 ------------------------------------------------------------------------------- 8(设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ，e y , , x , y 0 f (x, y , ), 其他 ,0, 求边缘概率密度。 解 当 x, 0 时，关于 X 的边缘概率密度为 ， y f X (x) , ， e dx , e x x 综合表示为 ，e x , , 0 x f X (x) , , x,0, , 0 当 y , 0 时，关于 Y 的边缘概率密度为 y y fY (y) , ， e dx , ye y 0 综合表示为 , 0 y，ye x , fY (y) , , y , 0 ,0, ------------------------------------------------------------------------------- 9(设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ，cx 2 y , 2 , y , y xf (x, y , ), 其他 ,0, (1)试确定常数 C; (2)求边缘概率密度。 解 (1)利用概率密度 f (x, y) 的性质确定常数 C。即 1 1 2 ， dx， 2 cx ydy , 1 x 1 计算等式端积分得 1 1 1 1 c 1 2 4 2 x (1 x )dx ， dx， 2 cx ydy , c， x 2 ( y 2 ) 1x 2 dx , 1 x 1 2 ， 1 2 1 4 c c 1 2 6 1 1 , c x dx 2 ( ， ， x dx) , c( ) , 0 0 21 2 2 3 7 4 21 同 。 , 1得， c , 21 4 (2)当 1 , x , 1时，关于 X 的边缘概率密度为 1 21 2 21 2 4 x ydy , x (1 x ) f X (x) , ， 2 x 4 8 综合表示为 ， 21 2 4 , 1 , x , 1 x (1 x ), f X (x) , , 2 其他 ,,0, 当 0 y 1时，关于 Y 的边缘概率密度为 y y 21 221 2 x ydx , x dx , y 5 2 fY (y) , ， y， y y 7 4 4 2 综合表示为 ， 7 y5 2 , y 0 , y , 1 , fY (y) , , 2 其他 ,,0, ------------------------------------------------------------------------------- 10(将某一医药公司 9 月份和 8 月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为 X 和 Y。据以往 积累的资料知 X 和 Y 联合分布律为 Y X 51 52 53 54 55 51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.01 52 0.07 0.05 0.01 0.01 0.01 53 0.05 0.10 0.10 0.05 0.05 54 0.05 0.05 0.02 0.01 0.03 55 0.05 0.06 0.05 0.01 0.03 (1)求边缘分布律 (2)求 8 月份的订单数 51 时,9 月份的订单数的条件分布律. 解 (1)关于 X 的边缘分布律为 X 51 52 53 54 55 0.28 0.28 0.22 0.12 0.20 Pk 其中 P{X , 51} , 0.06 ， 0.05 ， 0.05 ， 0.01 ， 0.01 , 0.18 (按行相加),其他类似. 关于 Y 的边缘分布律为 X 51 52 53 54 55 0.28 0.28 0.22 0.09 0.13 Pk 其中 P{Y , 51} , 0.06 ， 0.07 ， 0.05 ， 0.05 ， 0.05 , 0.28 (按行相加),其他类似。 (2)求条件分布律其中 P{X , k Y , 51},k , 51,52,53,54,55 。 P{X , 51,Y , 51} 0.06 6 P{X , 51 Y , 51} , , , P{Y , 51} 0.28 28 , 52,Y , 51} 0.07 7 P{XP{X , 52 Y , 51} , , , P{Y , 51} 0.28 28 P{X , 53,Y , 51} 0.05 5 P{X , 53 Y , 51} , , , P{Y , 51} 0.28 28 P{X , 54,Y , 51} 0.06 6 P{X , 54 Y , 51} , , , P{Y , 51} 0.28 28 P{X , 55,Y , 51} 0.05 5 P{X , 55 Y , 51} , , , P{Y , 51} 0.28 28 条件分布律为 X 51 52 53 54 55 6 7 5 5 5 P{X , k Y , 51} 28 28 28 28 28 ------------------------------------------------------------------------------- 1 时 X 的条件概率 13(在第 9 题中(1)求条件概率概率密度 f x y (x y) ，特别，写出当Y , 2 1 1 时 Y 的条件概率密 密度。(2)求条件概率密度 f y x (y x) ，特别，分别写出当 X , , X , 3 2 1 1 3 1 X , }, P{Y , X , }。 度。(3)求条件概率 P{Y , 4 2 4 2 解 关于 X 和 Y 的边缘概率密度分别为 ， 21 2 4 x (1 x ), f X (x) , , 2 1 , x , 1 -8, 其他 ,,0, ， 7 5 2 fY (y) , , 2 0 , y , 1 -8, y , 其他 ,,0, (1)当 0 , y , 1时 2 3 2 2 , 7 f X Y (x y) , , , y ， 21 2 , 2 , 4 x y , , x y , f (x, y) y , x , y 52 3 fY (y) 其他 ,0, ， 2 2 1 3 2 2 , 3 2x , , x , f X Y (x ) , , 3 2 由此得 ,,0, 1 1 1 , x ( ) 2 2 2 其他 (2)当 1 x 1时，则 , 21 fY X (y x) , , , ， 21 2 , 8 x y , 2y 4 , , , x 2 y 1 f (x, y) 1 x 4 x 2 (1 x 4 ) 其他 f X (x) ,0, , y , 1 由此得 fY X (y ) , ,1 ( ) , ， 2y 81 , y, 1 1 ,, 1 4 40 9 3 3 其他,,0, ，32 , y, 1 15 4 22 2 y 其他 1 , , 1 4 , , 0 , (3) 1 P{Y , 4 2 4 2 1 1 y ) 1 4 15 15 2 4 16 16 1 2 , 15 15 4 1 P{Y , 4 2 4 2 1 1 y ) 3 4 15 15 2 4 16 16 3 2 7 , 15 15 4 15 ------------------------------------------------------------------------------- 18(设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为 , e y , 0 , y , 0 ,,0, (1)求 X 和 Y 的联合概率密度; (2)设含有 a 的二次方程为 a 2 ， 2Xa ，Y , 0 ，试求 a 有实根的概率。 解 X 概率密度为 ，1, , x , 1 0 其他 ,0, (1)因为 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，所以 X 和 Y 的联合概率密度为 , e ,,0, 0 , x , 1, y , 0 , 其他 (2)方程 a 2 ， 2Xa ，Y , 0 有实根的充要条件为 4X 2 4Y , 0 ，即 X 2 Y , 0 ，所求概率 为 , y , 1 fY X (y ) , ,1 ( ) , 1 1 X , } , ，1 fY X (y )dy 1 32 32 1 2 ydy , ( , , ，1 , ( ) , 1 3 1 X , } , ，3 fY X (y )dy 1 32 32 1 2 ydy , ( , , ，3 , ( ) , ， 1 y 2 fY (y) , , 2 f X (x) , , ， 1 y 2 f (x, y ,) f X (x) Yf (y) , , 2 1 y 2 P{X 2 Y , 0} , ， ， , ， ( e y 2 ) 0 0 1 2 x2 1 2 x 2 (1 e x 2 )dx , 1dx , ， ， ， e dx 0 0 0 1 x 2 2 , 1 ， e dx 0 其中 1 2 1 x 2 1 x 2 2 e dx , 2 [,(1) ,(0)] ， e dx , 2 ， 0 0 2 , 2 (0.8413 0.5) , 0.3413 2 , 0.8555 则得 P{X 2 Y , 0} , 1 0.8555 , 0.1445 1 x 2 2 此题求积分 dx 的 技 巧 是 将 被 积 函 数 配 成 标 准 正 态 概 率 密 度 ， 即 ， e 0 1 e x2 2 ，然后查正态分布表得积分值。 , (x) , 2 ------------------------------------------------------------------------------- 22(设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 , x , 1 0，1, f X (x) , , 其他 ,0, ，e y , y , 0 fY (y) , , 其他 ,0, 求随机变量 Z=X+Y 的概率密度。 解 由于 X 和 Y 相互独立，因此 X 和 Y 的联合概率密度为 ，e y , , x , 1, y , 0 0f (x, y , ), 其他 ,0, 设 FZ (z) 和 fZ (z) 分别表示 Z 的分布函数和概率密谋。 首先求 Z=X+Y 的分布函数，然后求 Z=X+Y 的概率密度，这是基础方法。 当 z , 0 时， FZ (z) , 0;0 , z 1 时，则 y e dxdy FZ (z) , P{Z , z} , P{X ，Y , z} , ，， x， y,z z z z x z x y dx dx , ， ， e dy , ， ( e y ) 0 0 0 0 y x z z z [(1 e ( z x ))]dx , 1dx , ， ， ， e e dx 0 0 0 , z e (e 1) , z 1 ， e z x z 当 z , 1时，则 y FZ (z) , e dy ，， e dxdy , ， ， 0 0 x， y,z z , ， [(1 e ( z x ))]dx , 1 e z (e 1) 0 综合表示为 ，0, z , 0 , 0 , z , 1 FZ (z) , ,z 1 ， e z , ,1 e z (e 1), z , 1 , 则 Z=X+Y 的概率密度为 ，1 e z , 0 , z , 1 , dFZ (z) z , 1 fZ (z) , , ,e z (e 1), dz ,0 其他 , 直接求 Z=X+Y 的概率密度为 ， f X (x) fY (z x)dx fZ (z) , ， 当 0 , z , 1时，由 0 , x , 1, z x , 0(y , 0) ，使被积函数不等于零，得 0 , x , 1和 x , z 的 交集为 0 , x , z ，则 z ( z x ) fZ (z) , ， e dx , 1 e z 0 当 z , 1时， 0 , x , 1和 x , z 的交集为 0 , x , 1，则 z ( z x ) fZ (z) , ， e dx , e z (e 1) 0 其他， fZ (z) , 0 。综合表示为 ，1 e z , 0 , z , 1 , z , 1 fZ (z) , ,e z (e 1), 其他 ,0 , 用雅可比变换法。 令 Z , X ，Y ,U , X 其反变换为Y , Z U , X , U ，变换的雅可比行列式为 x x 1 0 u z J , , , 1 1 1 y y u z 则(U，Z)的概率密度为 g (u, z) , f (u, z u) J , u , 1, z , 0 0，e ( z u ) , , , 其他 ,0, 求 Z=X+Y 的概率密度，等价求关于 Z 的边缘概率密度。即 ， ， ( zu ) du fZ (z) , ， g (u, z)du , ， e 当 0 , z , 1时，由 0 , u , 1和u , z ，得交集 0 , u , z ，于是 z ( zu ) z du , 1 e fZ (z) , ， e 0 当 x , 1时，由 0 , u , 1和u , z ，得交集 0 , u , 1，于是 1 ( z u ) z du , e (e 1) fZ (z) , ， e 0 其他， fZ (z) , 0 。综合表示为 z ，1 e , 0 , z , 1 ,, z z , 1 fZ (z) , ,e (e 1), 其他 ,0, ,, 经常用到的是前两种求解方法。 第四章 随机变量的数字特征 习题解析 第 2、5、6.(1)、7、12、13、15、21、23、29、31、题 随机变量的数学期望和方差 ------------------------------------------------------------------------------- 2(某产品的次品率为 0.1,检验员每检验 4 次.每次随机地取 10 件产品进行检验,如发现其 中的次品数多于 1,就去调整设备.以 X 表示一天中调整设备的次数,试求 E(X)。(设诸产品是 否为次品是相互独立的。) 解 每天检验 4 次，一天中调整设备次数 X 服从二项分布b(4, p) ，p 表示每次检验需调整 的概率。从一批产品中随机地取 10 件，近似放回抽样，即 10 件中次品的个数 Y 服从二项 分布b(10, 0.1) ，其分布律为 (k , 0,1, 2, ,10) P{Y , k} , C10K (0.1)10 k 而 p , P{Y , 1} , 1 P(Y , 1) , 1 P{Y , 0} P{Y , 1} , 1 (0.9)10 C101 (0.1) , (0.9)9 , 1 (0.9)10 (0.9)9 , 1 0.736 , 0.264 于是 X, b(4, 0.264) ，其分布律为 i (i , 0,1, 2,3, 4)P{Y , i} , C4i (0.264) (0.763)4 i 所求数学期望为 E(X ) , np , 4 , 0.264 , 1.056 ------------------------------------------------------------------------------- 5(设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间 X(以分计)是一个随机 变量，其概率密度为 ， 1 ,15002 x, 0 , x , 1500 , , 1 f (x) , , (x 3000), 1500 , x , 3000 15002 , 其他 ,0, , , 求 E(X)。 解 所求数学期望为 1500 3000 1 1 x x[ (x 3000)]dx E(X ) , ， xdx ， ， 2 0 1500 1500 15002 1500 3000 3000 1 1 2 2 , 3000xdx x dx x dx ， 2 ， 2 ， 1 2 ，0 1500 1500 1500 1500 1500 1 1 3 1500 1 3 3000 2 3000 , ( x ) ， (1500x ) 2 [( x ) 0 1500 1500 ] 1500 3 3 3 1 1500 30003 15003 2 , [ ， 1500x(30002 1500 )] 2 1500 3 3 3 1 2 ,1500 30003 2 , [ ， 1500 , 30002 1500 ] 2 1500 3 3 3 1500 3000 30002 , 2 ， 3 3,1500 1500 , 500 4000 ， 6000 , 1500 ------------------------------------------------------------------------------- 6((1)设随机变量 X 的分布律为 X -2 0 2 0.3 0.3 pk 0.4 求 E(X ), E(X 2 ), E(3X 2 ， 5) 。 3 解 ? E(X ) , pk , ( 2) , 0.4 ， 0 , 0.3 ， 2 , 0.3 , 0.2 x k k ,1 ?求 E(X 2 ) 有两种方法。一种方法是先求Y , X 2 R 分布律，然后利用 Y 的分布律求 Y 的数学期望。Y 的分布律为 X 0 4 0.3 0.7pk 则 E(Y ) , E(X 2 ) , 0 , 0.3 ， 4 , 0.7 , 2.8 另一种方法是直接利用 X 的分布律求 Y 的数学期望。 3 E(X 2 ) , xk2 pk , ( 2)2 , 0.4 ， 0 , 0.3 ， 22 , 0.3 k ,1 , 4 , 0.4 ， 4 , 0.3 , 2.8 ?与?类似.一种方法是先求 Z , 3X 2 ， 5 的分布律,然后求数学期望。Z 的分律为 X 5 17 0.3 0.7 pk 则 E(Z ) , E(3X 2 ， 5) , 5 , 0.3 ， 17 , 0.7 , 13.4 另一种方法是直接利用 X 的分布律求 Z 的数学期望。 E(Z ) , E(3X 2 ， 5) , [3, ( 2)2 ， 5], 0.4 ， (3, 0 ， 5) , 0.3 ， (3 , 22 ， 5) , 0.3 , 13.4 ------------------------------------------------------------------------------- 7(设随机变量 X 的概率密度为 ，e x , , 0 x f (x) , , x,0, , 0 求(1)Y , 2X ;(2)Y , e 2 x 的数学期望。 解 (1)首先求Y , 2X 的概率密度，然后求数学期望。因为Y , 2X 对应的函数 y , 2x y dx 1 ，又 ，则 Y 的概率密度为 是严格单调函数，其反函数 x , , dy 2 2 ， 1 y 2 y , 0 , e , y 1 , , 2 fY (y) , f ( ) 2 2 y , 0 ,,0, 所求数学期望为 ， 1 y 2 y e dy E(Y ) , E(2X ) , ， 0 2 ， y 2 ， y 2 ) , ( ye 0 ， ， e dy 0 y 2 ， , ( 2e , 2 ) 0 利用 X 的概率密度直接求数学期望。 ， x E(Y ) , E(2X ) , ， 2xe dx , 2 0 2 x 的概率密度，然后求数学期望。 (2)首先求Y , e 1 dx 1 ， Y , e 2 x 对应的函数Y , e 2 x 是严格单调减少函数，其反函数为 x , 1ny ，又 , 2 dy 2y 则 Y 的概率密度为 ， 1 , 0 , y , 1 1 1 , fY (y) , f ( 1ny) , , 2 y 其他 2 ,0, , 2y 所求数学期望为 ， 1 1 1 12 dy , y y dy E(Y ,) E(e 2 x ) , ， 0 2 ，0 2 y 1 2 32 1 , ( y ) 10 , 2 3 3 利用 X 的概率密度，直接求数学期望。 ， 2 x x E(Y ) , E(e 2 x ) , ， e e dx 0 ， 1 1 ， 3x , , ， e dx , ( e 3x ) 0 0 3 3 ------------------------------------------------------------------------------- 12(某车间生产的圆盘其直径在区间(a，b)上服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。 解 设圆盘直径为 X，其概率密度为 ， 1 a , x , b , , f (x) , ,b a 其他 ,,0, X 2 X 2 ，则得 设圆盘面积为 Y，而Y , ( ) , 2 4 b dx , E(Y ,) ， a 4 b a b b 2 ( x3 ) , x dx , a a 4(b a) ， 4(b a) 3 (b2 ， ab ， a 2 ) , 12 ------------------------------------------------------------------------------- 13(设电压(以 V 计) X, N (0, 9) 。将电压施加于一检波器，其输出电压为，求输出的电 压 Y 的均值。 解 由 X, N (0, 9) ，得 X 的概率密度为 2 x 1 ( , x , ， ) f (x , )e 18 3 2 求电压 Y 的均值，即是求数学期望 E(Y ) 。 2 x2 x ， ， 110 2 2 2 18 18 xe dx E(Y ) , E(5X ) , ， 5x e dx , ， 0 3 2 3 2 2 ， 1 x 10 t 令t , ，0 18te 18 2 t dt 18 3 2 3 1 1 90 ， 90 ， 90 3 t t 2 2 , t e dt , t e dt , ,( ) 0 0 2 3 1 1 1 ，代入 E(Y)，得 其中 ,( ) , ,( ) , 2 2 2 2 90 1 , 45V E(Y ) , , 2 另一方法。由 E(X 2 ) , D(X ) ， [E(X )]2 ，得 E(Y ) , 5E(X 2 ) , 5(9 ， 0) , 45V ------------------------------------------------------------------------------- 15(将 n 只球(1 n 号)随机地放进 n 只盒子(1 n 号)中去，一只盒子只装一只求。若 一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。记 X 为总的配对数，求 E(X ) 。 解 引进随机变量 ，1, 第i号球放进第i号盒子 (i , 1, 2, ,n) X i , , 第i号球未放进第i号盒子 ,0, n 则 X , 。因为将 n 只球随机地放进 n 只盒子，看做把 n 只球进行全排列，有 n!排列 X i i ,1 数。第 i 号盒子，剩余的(n-1)只球进行全排列，有(n-1)～种排列数。由此得 X i 的分布 律为 (n 1)! 1 P{X i , 1} , , n! n 1 P{X i , 0} , 1 n 1 1 1 。由数学期望性质得 ， 0 , (1 ) , 所以 E(X i ) , 1, n n n n n 1 , 1 E(X ) , E( X i ) , E(X i ) ,n , n i,1 i,1 ------------------------------------------------------------------------------- 21(设长方形的高(以 m 计) X, U (0, 2) ，已知长方开的周长(以 m 计)为 20，求长方形 面积 A 的数学期望和方差。 解 设长方形的长为 Y，有 20=2Y+2X，由 10=Y+X，得 Y=10-X，则长方形面积 A=(10-X)X， X 的概率密度为 ， 1 0 , x , 2 , , f (x) , , 2 其他 ,,0, 所求数学期望为 2 1 E(A) , E[(10 X )X ] , ， (10 x)x dx 0 2 2 1 1 1 , 5( x2 ) 02 ( x3 ) 2 2 3 0 3 26 , 10 , , 8.667 4 3 又 2 1 2 dx E(A2 ) , E[((10 X )X )) ] , ， (10 x)2 x 2 0 2 所求方差为 D(A) , E(A2 ) [E(A)]2 , 96.533 (8.667)2 , 21.42 ------------------------------------------------------------------------------- 23(五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以 kg 计)分别为 X1 ，X 2 ，X 3 ， X 4 , X 5 。 已 知 X1, N (200, 225) ， X 2, N (240, 240), X 3, N (180, 225) ， X 4, N (260, 265) ， X 5, N (327, 270) ， X1 ， X 2 ， X 3 ， X 4 ， X 5 相互独立。 (1)求五家商店两周的总销售量均值和方差; (2)商店每隔两周进贷一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于 0.99，问 商店的仓库应至少储存多少公斤该产品, 解 (1)与第 21 题类似。利用服从正态分布的独立变量的线性组合仍然服从正态分布这 5 5 一重要结论。设 X i 表示 5 家商店两周的总销售量，则有 X i 服从正态分布，且 i,1 i,1 5 n E( X i ) , E(X i ) ,200 ， 240 ， 180 ， 260 ， 320 , 1200 i,1 i ,1 5 n D( X) i i , ) ,D(225X ， 240 ， 225 ， 265 ， 270 , 1225 i,1 i,1 5 故 5 家商店两周的总销售量 的均值为 1200，方差为 1225。 X i i,1 5 (2)设 Y= ，S 表示仓库存量，根据题意得 X i i,1 P{Y , S} , 0.99 由(1)知Y, N (1200,1225) ，所以 Y 1200 S 1200 S 1200 , } , 0.99, ,( ) , 0.99 P{ 35 35 35 S 1200 查表得 ,( ) , 2.33 ，解出 S , 2.33, 35 ， 1200 , 1281.55 ，因此商店的仓库应至少 35 储存 1282kg 该产品。 ------------------------------------------------------------------------------- 29(设随机变量(X，Y)的分布律为 X Y 0 1 -1 1 1 1 -1 8 8 8 1 1 0 0 8 8 1 1 1 1 8 8 8 验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的。 证明 第 24 题是二维连续型随机变量，此题是二维离散型随机变量，但它们都有相同的结 果。 关于 X 的边缘分布律为 X -1 0 1 3 2 3 P{X , X i} 8 8 8 关于 Y 的边缘分布律为 Y -1 0 1 3 2 3 P{Y , y j } 8 8 8 2 2 因为 P{X , 0,Y , 0} , 0, 而 P{X , 0} , , P{Y , 0} , , 8 8 故 P{X , 0,Y , 0} , P{X , 0}P{Y , 0} ，所以 X 和 Y 不相互独立。 下面求 X，Y 的数字特征。 3 2 3 E(X ) , ( 1) , ， 0 , ， 1, , 0 8 8 8 3 2 3 E(Y ) , ( 1) , ， 0 , ， 1, , 0 8 8 8 3 2 3 3 D(X ) , D(X 2 ) , ( 1)2 , ， 0 , ， 1, , 8 8 8 4 3 2 3 3 D(Y ) , D(Y 2 ) , ( 1)2 , ， 0 , ， 1, , 8 8 8 4 关于 XY 的分布律为 XY -1 0 1 2 4 2 Pk 8 8 8 其中 P{XY , 1} , P{X , 1,Y , 1} ， P{X , 1,Y , 1} 1 1 2 , ， , 8 8 8 P{XY , 1} , P{X , 1,Y , 1} ， P{X , 1,Y , 1} 1 1 2 , ， , 8 8 8 P{XY , 0} , 1 P{XY , 1} ， P{XY , 1} 2 2 4 , 1 , 8 8 8 由此得 2 4 2 E(XY ) , ( 1) , ， 0 , ， 1, , 0 8 8 8 则 X 和 Y 的相关系数为 E(X )E(Y ) E(XY )COV (X ,Y ) ， XY , , , 0 D(X ) D(Y ) D(X ) D(Y ) 故 X 和 Y 不相关。 ------------------------------------------------------------------------------- 31(设随机变量(X，Y)具有概率密度 , x, 0 , x , 1 y，1, f (x, y , ), ,0, 其他 求 E(X ), E(Y ),COV (X ,Y ) 。 解 下面是直接利用二维随机量(X，Y)的概率密度求随机变量的数字特征。 12 2 dx xdy , 2 E(X ) , ， ， ， x dx , x0 x 0 3 1 1 x E(Y ) , ， ， ydy , 0 dx 0 x 1 x 1 x , dx xydyE(XY ) , ， ， ， ， ydy , 0 xdx 0 x 0 x 则 X 和 Y 的协方差为 COV (X ,Y ) , E(XY ) E(X )E(Y ) , 0 第五章 大数定律及中心极限定理 习题解析 ------------------------------------------------------------------------------- 1(据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布。现随机地取 16 只， 设它们的寿命是相互独立的。求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率。 解 利用独立同分布中心极限定理。设 X 表示电器元件的寿命，则 X 的概率密度为 ，x 1 , e 100 , x , 0 f (x) , ,100 x , 0 , ,0, 随机取出 16 只元件，其寿命分别用 X1, X 2 , , X16 表示，且它们相互独立，同服从均值为 16 X ， 100 的指数分布，则 16 只元件的寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为Y , i i,1 其 中 ， 由 此 得 E(X i ) , 100, D(X i ) , 1002 16 16 E(Y ) , E(X i ) , 16 ,100 , 1600, D(Y ) , D(X i ) , 16 ,1002 。由独立同分布中心极限 i ,1 i,1 2 定理知，Y 近似服从正态分布 N (1600,16 ,100 ) ，于是 P{Y , 1920} , 1 P{Y , 1920} Y 1600 1920 1600 , , 1 P{ } 2 16 ,100 16 ,1002 Y 1600 320 , , 1 P{ } 16 ,1002 400 , 1 ,(0.8) , 1 0.7881 , 0.2119 其中 ,( ) 表示标准正态分布函数。 ------------------------------------------------------------------------------- 4(设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 0.5kg， 均方差为 0.1kg,问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 概率是多少? 解 利用独立同分布中心极限定理.设 X i 表示第 i 只零件的重量 (i=1,2,…,5000),且 5000 。 设 总 重 量 为 ， 则 有 Y , X i E(X i ) , 0.5, D(X i ) , 0.12 i,1 E(Y ) , 5000 , 0.5 , 2500, DY , 5000 , 0.12 , 50 。由独立同分布中心极限定理知 Y 近似服 Y 2500 近似服从标准正态分布 N(0，1)所求概率为 从正态分布 N (2500,50) ，而 50 Y 2500 2510 2500 } P{Y , 2510} , P{ , 50 50 Y 2500 , 1.4142} , P{ 50 , 1 ,(1.4142) , 1 0.9207 , 0.0793 ------------------------------------------------------------------------------- 第六章 样本及抽样分布 习题解析 2 1.在总体 N (52, 6.3 ) 中随机抽一容量为 36 的样本，求样本均值 X 落在 50.8 到 53.8 之间的 概率。 X 52 2 解 , N (0,1) 。所求概率为 样本均值 X 服从正态分布 N (52, 6.3 ) ，由此得 6.3 6 50.8 52 X 52 P{50.8 , X , 53.8} , P{ } , 6.3 6 6.3 6 , ,(1.714) ,( 1.143) , 0.9564 (1 0.8729) , 0.8293 其中 ,( ) 表示标准正态分布函数。 ------------------------------------------------------------------------------- 3.在总体 N (20,3) 的容量分别为 10，15 的两独立样本均值差的绝对值大于 0.3 的概率。 解 设 X 11, X 12 , X 1,10 与 X 21, X 22 , , X 2 ,15 是从总体 N (20,3) 中抽取的两个独立样本， 10 1 1 15 X1 , X 1i , X 2 , 15 ,i 1 X 2i 分 别 表 示 两 个 样 本 均 值 ， 因 为 X 1 与 X 2 独 立 ， 所 以 10 i,1 1 3 3 ) ，即 X 1 X 2, N (0, ) 。所求概率为 (X 1 X 2 ) 服从正态分布 N (0, ， 2 10 15 X 1 X 2 0.3 } P{ X 1 X 2 , 0.3} , {P , 12 12 X 1 X 2 , 1 P{ , 0.3 1 2} 12 , 2 2,(0.424) , 2 2 , 0.6628 , 0.6744 ------------------------------------------------------------------------------- 6(设总体 X, b(1, p), X1, X 2 , , X n 是来自 X 的样本。 (1)求 (X 1, X 2 , , X n ) 的分布律; n 的分布律; (2)求 X i i,1 (3)求 E(X ), D(X ), E(S 2 ) 。 解 (1)由 X1, X 2 , , X n 相互独立及与总体同分布，得 (X 1, X 2 , , X n ) 的分布律为 n n n n xi xi i,1 (xi ,0,1;i ,1,2, ,n ) xi 1 xi , p i,1 (1 p) , x p(x1 2 , , xn ) , p (1 p) i,1 (2)样本 X1, X 2 , , X n 来自伯努得分布总体，可以理解为将伯努利试验重复独立地做 n 次，令随机变量 ，1, 第i次试验事件A发生 X i , , ,0, 第i次试验事件A发生 n ，则 X 服从二项分布b(n, p) ，其分布律为 而 n 次试验中事件 A 发生的次数为 X , X i i ,1 x , 0,1, 2, ,n)P{X , x} , Cnx p x (1 p)n 1 (3) n n 1 1 1 n E(X ) , E( X i ) , n ,i 1 (X i ) , n ,i 1 p , p,而 n i,1 n n 1 1 D(X ) , D( D(X ) i X i ) , n2 n i ,1 i,1 n 1 p(1 p) , p(1 p) , n2 n i,1 2 为了求 E(S 2 ) ，首先将 S 整理为 n 1 S 2 , ,i 1 (X i X )2 n 1 n 1 2 , 2 (X i iX X ， (X ) )2 n 1 i,1 n n n 1 2 2 , [ X i 2X ，i X ( X ) ] n 1 i,1 i ,1 i ,1 n 1 2 , [ X i2 2n(X )2 ， n(X ) ] n 1 i,1 n 1 2 , [ X i2 n(X ) ] n 1 i,1 则得 n 1 2 E(S 2 ) , [ E(X i2 )2 nE((X ) )] n 1 i,1 n p(1 p) 1 , ， p 2 )] [ ( p(1 p) ， 2 )p n( n 1 i,1 n 1 , [np(1 p) ， np 2 p(1 p) np 2 ] n 1 1 , (n 1) p(1 p) , p(1 p) n 1 第(3)小题求解过程中，主要用到样本的独立性及与总体同分布性，即 E(X i ) , E(X ) , p, D(X i ) , D(X ) , p(1 p)(i , 1, 2, , n); 又用到数学期望和方差的性 n n n n 质，即 E( X ) , E(X ), D( X ) , D(X ) 。实际上，此题是验证了重要的结论: i i i i i ,1 i ,1 i,1 i,1 样本均值的数学期望等于总体的数学期望;样本均值的方差等于总体方差除以样本容量;样 D(X ) 本方差的数学期望等于总体方差。即 E(X ) , E(X ), D(X ) , 2 ) , D(X ) 。 , E(S n ------------------------------------------------------------------------------- 2 , X , , X 7(设总体 X, x (n), X 1 2 10 是来自 X 的样本，求 E(X ), D(X ), E(S 2 ) 。 解 首先求总体 X 的数学期望和方差，再利用第 6 题的重要结果。总体 X 的概率密度为 n x 1 ， 1 2 x e 2 , , n , x , 0 n f (x) , , ,( )2 2 x , 0 , 2 ,,0, X 的数字特征求解如下: n x ， 1 1 2 2 x x e dx E(X ) , ， n 0 n ,( )2 2 2 ， 2 x n， 1 dx 1 2 , x e 2 n ，0 n 2 ,( )2 2 n， 2 n ， 2 ,( )2 2 ， 2 x n， 1 1 2 2 2 , x e dx n n，0 ， 2 n n ， 2 2 2 ,( )2 ( )2, 2 2 n， 2 n n ,( )2 2 , 2 2 n n ,( )2 2 2 其中积分 n， 2 x ， 1 1 2 2 x e dx ， n， 2 0 n ， 2 ,( )2 2 2 中的被积函数是服从自由度为 (n ， 2) 的 X 2 分布的概率密度，因此积分值是 1。同理得 n x ， 1 1 x 2 e 2dx x E(X 2 ) , ， n 0 n ,( )2 2 2 n， 4 x 1 dx 1 ， 2 , x e 2 n ，0 n ,( )2 2 2 n，4 n ， 4 ,( )2 2 ， n， 4 x 1 1 2 2 2 , x e dx n n， 4 ，0 n n ， 4 2 2 ,( )2 ( ,)2 2 2 n，4 n ， 4 ,( )2 2 2 , n n ,( )2 2 2 n， 4 n ， 2 n n ,( )2 2 2 2 2 , , n(n ， 2) n n ,( )2 2 2 D(X ) , E(X 2 ) [E (X )]2 , n(n ， 2) n2 , 2n 由此可见， X 2 分布的数学期望等于自由度，方差等于 2 倍的自由度。于是 E(X ) , E(X ) , n D(X ) 2n n D(X ) , , , n 10 5 2 E(S ) , D(X ) , 2n ------------------------------------------------------------------------------- 9(设在总体 N (, ,, 2 ) 中抽取一容量为 16 的样本。这里 , ,, 2 均为未知。 (1)求 P{S 2 , 2 , 2.041}，其中 S 2 为样本方差; 2 (2)求 D( S )。 15S 2 (n 1)S 2 解 (1)由 , X 2 (15) 。所求概率为 , X 2 (n 1) ，得 , 2 , 2 S 2 15S 2 P{ , 15 , 2.041} , 2.041} , P{ 2 2 15S , 1 P{ 2 , 30.615} , 1 0.01 , 0.99 2 根据自由度 15 和上侧分位点 30.615(表中为 30.578)查 X 分布表得概率为 0.01. 15S 2 (2)由 , X 2 有 2 15S 2 15S 2 D(S 2 ) , 30 D( ) , 2 ,15 , 30, 2 4 由此得 30, 4 2 2 , 4 D(S ) , , 2 15 15 ------------------------------------------------------------------------------- 第七章 参数估计 习题解析 求参数点估计的方法和估计量评选的标准 第 1,13 题 ------------------------------------------------------------------------------- 1(随机地取 8 只活塞环，测得它们的直径为(以 mm 计)74.001 74.005 74.003 74.001 2 74.000 73.998 74.006 74.002 试求总体均值, 及方差 , 的矩估计值,并求样本方差 S 。 解 不论总体 X 服从任何分布，只要 X 的数学期望和方差存在，则总体均值 E(X ) , , 和方 差 D(X ) , , 2 的 矩 估 计 值 分 别 为 样 本 均 值 和 样 本 二 阶 中 心 矩 ， 即 , 1 n 2 , , x, ,, B2 , n ,i 1 (xi x)2 。 根据已知数据，经计算得 1 8 x , xi , 74.002 8 i,1 1 8 B2 , (xi x)2 , 6 ,10 6 8 i ,1 , 2 2 , 6 ,10 6 。样本方差为 于是, 和 , 的矩估计值分别为, , 74.002,, n 1 1 8 2 2 s , ,i 1 (xi x) , 7 ,i 1 (xi x)2 , 6.86 ,10 6 n 1 2 计算 x, B2 , s 都比较麻烦，借助计算器，在统计状态下，按相应的键就可以得到所需要的 结果。 ------------------------------------------------------------------------------- 2(设 X 1, X 2 , , X n 为总体的一个样本， x1, x2 , , xn 为一相应的样本值。求下述各总体的 密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值。 , x , c ，,c x (, ，1) , (1) f (x , , )其他 ,0, 其中 c , 0 为已知参数，, , 1,, 不未知参数。 , 1 0 , x , 1 , ，, , x (2) f (x) , , 其他 ,,0, 其中, , 1,, 不未知参数。 m m x x (3) P{X , x} , ( ) p (1 p) (x , 0,1, 2, ),m, 其中 0 , p , 1， p 为未知参数。 x 解 求一个未知参数的矩估计量，首先求总体 X 的数学期望，然后令总体数学期望等于样 本均值，解此方程，得未知参数的矩估计量。 (1) ， ， , (, ，1) x dx E(X ) , ， x,c x dx , ,c, ， c c 1 , ,c, ( x (, ，1) ) c， 1 , c1 , ,c , ,c, ( ) , 1 , , 1 对样本的一组观察值 x1, x2 , , xn ，得样本均值为 x 。 , , , x x X ,c 令 为, 的 , x ，解得, , ，则, , 为, 的矩估计值，相就的, , xx c c , 1 X c 1 n 矩估计量。其中 X , X i 是随机变量，表示对样本的不同观察值，它取值不同，所以 n i,1 , X 是随机变量。 X c (2) 1 1 , , 1 E(X ) , ， x , x dx , , ， x dx , 0 0 1 ， , , , x , x ，得, 的矩估计值为, , ( )2 ， , 的 对样本的一组观察值 x1, x2 , , xn ，令 1 x 1 ， , , X )2 。 矩估计值为, , ( 1 X (3)总体 X 服从二项分布b(m, p) ，由此得 E(X ) , mp ，对样本的一组观察值 x1, x2 , , xn ， , , x X 。 令 mp , x ，得 p 的矩估计值为 p , ，p 的矩估计量为 p , m m ------------------------------------------------------------------------------- 4((1)设总体 X 具有分布律 X 1 2 3 , 2 2, (1 , ) (1 , )2 Pk 其中, (0 , , , 1) 为未知参数。已知取得了样本值 x1 , 1, x2 , 2, x3 , 1 。试求, 的矩估计值 和最大似然估计量。 (2)设 X 1, X 2 , , X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，试求 ， 的最大似然估计 量及矩估计量。 (1) E(X ) , 1,, 2 ， 2 , 2, (1 , ) ， 3, (1 , )2 , 3 2, 。 解 , 1 ， 2 ， 1 4 5 。 样本均值 x , , ，令 3 2, ，得, 的矩估计值为, , 6 3 3 似然函数为 L(, ) , , 4 2, (1 , ) , 2, 5 (1 , ) 对数似然函数为 1nL(, ) , 1n2 ， 51nl, ， 1n(1 , ) 似然方程为 d1nL(, ) 5 1 , , 0 d, , 1 , , 5 。 得, 的最大似然估计值为, , 6 (2)总体 X 服从泊松分布，其分布律为 e ， ， x P{X , x} , ( x , 0,1, 2, ) x! , 而 E(X ) , ， ，令 ， , X ，得 ， 的矩估计量为 ， , X 。 似然函数为 n n n e ， ， xi 1 )， xi L(， ) , , e n， ( xi ! i ,1 xi ! i,1 i ,1 对数似然函数为 n n 1nL(， ) , n， 1nxi !， xi1n， i,1 i ,1 似然方程为 n xi d1nL(， ) , n ， i,1 , 0 d ， ， , , 1 n 得 ， 的最大似然估计值为 ， , ,i 1 xi , x ， ， 的最大似然估计值为 ， , X 。 ， 的矩估计量 n 和最大似然估计量相等。 16(设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间(以小时计)分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 2 设干燥时间总体服从正态分布 N (,,, ) 。求 , 的置信水平为 0.95 的置信区间。 (1)若由以往经验知, , 0.6(小时); (2)若, 为未知。 解 (1)若 , 为已知，求 , 的置信区间，选取服从标准正态分布的随机变量(样本的函 数)。具体步骤如下: X , ?随机变量 Z , , N (0,1) 。 , n ?给定置信水平1 a , 0.95 ，使 X , P{ , z0.025} , 0.95 , n 查标准正态分布表得分位点为 z0.025 =0.96。等价于 , , P{X ,1.96} , 0.95 ,1.96 , , , X ， n n ? , 的置信水平为 0.95 的置信区间为 , , (X ,1.96, X ， ,1.96) n n ?由样本数据，经计算得样本均值为 x , 6 ，已知, , 0.6,n , 9 ，于是 , 的置信水平为 0.95 的置信区间为 0.6 0.6 (6 ,1.96, 6 ， ,1.96) , (5.608, 6.392) 3 3 实际上这是 , 的一个确定的置信区间。 (2)若, 未知，求 , 的置信区间，先取服从 t 分布的随机变量，具体步骤如下: X , ?随机变量(样本的函数)为t , , t (n 1) 。S n X , ?给定置信水平1 a , 0.95 ，使 P{ , t0.025 (8)} , 0.95 S n 查 t 分布表得分位点为t0.025 (8) , 2.3060 。等价于 S S P{X , 2.3060 , , , X ， , 2.3060} , 0.95 n n ? , 的置信水平为 0.95 的置信区间为 S S (X , 2.3060, X ， , 2.3060) n n ?由样本数据,经计算得样本均值为 x , 6 ,样本标准差为 s , 0.5745 .于是 , 的置信水平为 0.95 的置信区间为 0.5745 0.5745 (6 , 2.3060, 6 ， , 2.3060) , (5.558, 6.442) 3 3 不论标准正态分布,还是 t 分布,查分位点时,都与任何未知参数无关。选取的样本的函数， 含有待估的参数 , ，不含其他的未知参数。 ------------------------------------------------------------------------------- 18(随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差 s , 11m s 。设炮口速度服从 正态分布。求这种炮口速度的标准差, 的置信水平为 0.95 的置信区间。 求标准差 , 的置信区间时，首先求方差 , 2 的置信区间。选取的随机变量(样本的函 解 数)为 (n 1)S 2 X 2 , , X 2 (n 1) , 2 给定置信水平1 a , 0.95 ，使 (n 1)S 2 2 2 P{X 0.975 (8) , , X 0.025 (8)} , 0.95 2 2 2 查 X 2 分布表得分位点为 X 0.975 (8) , 2.180, X 0.025 (8) , 17.535 。等价于 (n 1)S 2 (n 1)S 2 P{ } , 0.95 , , , 17.535 2.180 2 于是, 的置信水平为 0.95 的置信区间为 (n 1)S 2 (n 1)S 2 ( , ) 17.535 2.180 2将 n , 9, s , 11代入，得, 的置信水平为 0.95 的置信区间为 2 8 ,11 8 ,112 ( , ) , (55.2, 444.0) 17.535 2.180 由此得, 的置信水平为 0.95 的置信区间为 ( 55.2, 444.0) , (7.43, 21.07) ------------------------------------------------------------------------------- 23(设两位化验员 A，B 独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作 10 次测定，其测定值 2 2 2 的样本方差依次为 sA , 0.5419, sB , 0.6065 。设, A ,, B 分别为 A，B 所测定的测定值总体 2 2 的方差，设总体均为正态的，且两样本独立。求方差比, A , B 的置信水平为 0.95 的置信区 间。 解 选取随机变量(样本的函数)服从 F 分布，即 S A2 F , , F (n1 1,n2 1) 2 2 , A S B 给定置信水平1 a , 0.95 ，使 S A2 P , {F0.975 (9, 9) , , F0.975 (9,9)) , 0.95 2 2 , A S B 查 F 分布表得分位点为 F0.025 (9, 9) , 4.03 。等价于 S A2 , 2 , 2 , 0.95 P{ 2 S SBF0.025 (9,9) 1 , A2 。于是 的置信水平为 0.95 的置信区间为 其中 F0.975 (9, 9) , F0.975 (9, 9) , B2 0.5419 0.5419 , 4.03 ( , ) , (0.222,3.601) 4.03 , 0.6065 0.6065 ------------------------------------------------------------------------------- 24(在一批货物的容量为 100 的样本中，经检验发现有 16 只次品，试求这批货物次品率的 置信水平为 0.95 的置信区间。 解 大样本时，求非正态总体未知参数的置信区间，利用中心极限定理。设总体 X 服从(0-1) 分布，其分布律为 P{X , x} , p(1 p)1 x (x , 0,1) 100 表示样本 其中参数 p 未知。从该总体抽取容量为 100 的样本 X 1, X 2 , , X 100 ，设 X i i ,1 100 1 100 中的次品数，X , X i 表示样本的次品率，由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理知 X i 100 i ,1 i ,1 100 X i 100 p i,1 近似服从标准正态分布。 近似服从正态分布 N (100 p,100 p(1 p)) ，而 Z , 100 p (1 p) 给定置信水平1 a , 0.95 ，使 100 X i 100 p i ,1 P , { , z0.025} , 0.95 100 p(1 p) 也可以写为 p XP , { , z0.025} , 0.95 p(1 p) 100 X p 解绝对值不等式 , z0.025 ，等价于解 p(1 p) 100 2 2 2 (100 ， z0.025 ) p (2 ,100X ， z0.025 ) p ， 100(X 2) , 0 则得 2 2 2 2 200X ， z0.025 (200X ， z0.025 ) 400(100 ， z0.025 )(X )2 p1 , 2 2(100 ， z0.025 ) 2 2 2 2 200X ， z0.025 ， (200X ， z0.025 ) 400(100 ， z0.025 )(X )2 p2 , 2 2(100 ， z0.025 ) 于是 p 的近似置信水平为 0.95 的置信区间为 ( p1, p2 ) 16 查标准正态分布表得分位点为 z0.025 , 1.96 ，将样本均值 x , , 0.16 代入 p1, p2 的表达 100 式，得 2 2 200 , 0.16 ， 1.962 (200 , 0.16 ， 1.96 )2 400(100 ， 1.96 ) , 0.162 p1 , 2 2 , (100 ， 1.96 ) , 0.102 2 2 200 , 0.16 ， 1.962 ， (200 , 0.16 ， 1.96 )2 400(100 ， 1.96 ) , 0.162 p2 , 2 2 , (100 ， 1.96 ) , 0.244 由此得 p 的近似置信水平为 0.95 的置信区间为 (0.102, 0.244) 另一种方法。p 的近似置信水平为 0.95 的置信区间为 X (1 X ) X (1 X ) (X ,1.96, X ， ,1.96) 100 100 将 x , 0.16 代入，得 p 的近似置信水平为 0.95 的置信区间为 0.16 , 0.84 0.16 , 0.84 (016 ,1.96, 016 ， ,1.96) , (0.088, 0.232) 100 100 前种方法，p 的近似置信区间的长度 L , 0.142 ;后种方法，p 的近似置信区间的长度 p(1 p) 中的 L , 0.144 。由此可见，前种方法比后种方法精度高。后种方法是把 D(X ) , n p 用无偏估计量 X 代入，因此增加了误差。 第八章 假设检验 习题解析 正态总体均值的假设检验 ------------------------------------------------------------------------------- 1(某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定这(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 没测定值总体服从正态分布,但参数均未知。问在 a , 0.01下能否接受假设:这批矿吵的镍 含量的均值为 3.25。 测定值 X, N (, ,, 2 ), , ,, 2 未知，关于均值 , 的假设检验，用 t 检验法。检验过 解 程如下: ?提出原假设和备择假设 H 0 : , , 3.25 H1 : , , 3.25 ?选取检验统计量 当原假设为真时，检验统计量为 X 3.25 t , , t (n 1) S n 2 因为总体方差, 未知，故选取服从 t 分布的检验统计量。 ?确定拒绝原假设的域 给定显著性水平 a , 0.01，使 P, t , t0.005 (4), , 0.01 查 t 分布表得临界值为t0.005 (4) , 4.6041，则拒绝域为 ( , 4.6041]或[4.6041,+ ) ?计算检验统计量的观察值 1 5 根据给定的样本观察值，经计算得样本均值为 x , xi , 3.252 ， 样 本 标 准 差 为 5 i,1 1 5 s , ,i 1 (xi x)2 , 0.013。则 t 的观察值为 4 3.252 3.25 0.002 , 5 t , , , 0.344 0.013 5 0.013 ?作推断 国为 t , 0.344 , 4.6041，即 t 的观察值不落在拒绝域中，所以接受原假设，或说不拒 绝原假设。可以认为这批矿砂的镍含量的均值为 3.25。 检验统计量 t 是样本的函数，当原假设为真时，不含任何未知参数。今后说确定拒绝域， 就是指确定拒绝原假设的域。对于样本的一组观察值 x1, x2 , , xn , (x1, x2 , , xn ) 是 n 维空间 的一个点，也冰是一次试验的结果。此题 t , 0.344 , 4.6041 ，说明根据一次试验结果 x , 3.252 ，未导致小概率事件发生，所以接受原假设。 ------------------------------------------------------------------------------- 3.要求一种元件平均使用寿命不得低于 1000 小时，生产者从一批这种元件中随机抽取 25 件，测得其寿命的平均值为 950 小时。已知该种元件寿命服从标准差为, , 100 小时的正态 分布。试在显著性水平, , 0.05 下确定这批元件是否合格,设总体均值为 , ， , 未知。即 需检验假设 H 0 : , , 1000, H1 : , , 1000 2 2 解 元件寿命 X, N (, ,100 ) ，总体方差, 已知，关于总体均值 , 的假设检验，用正态 检查验法。 ?检验假设 H 0 : , , 1000, H1 : , , 1000 (是单边检验问题) ?选取检验统计量 当原假设为真时，检验统计量为 X 1000 , N (0,1) Z , , n 2因为总体方差, 已知，故选取服从标准正态分布的检验统计量。 ?确定拒绝域 X 1000 显然， Z , , N (0,1) 偏小到一定程度，有可能拒绝原假设，给定显著性水平 , n a , 0.05 ，使 P{Z , z0.05} , 0.05 (z0.05 , 0) 查标准正态分布表得临界值为 z0.05 , 1.645 ，则拒绝域为 ( , 1.645] ?计算检验统计量的观察值 950 1000 5 , ( 50) z , , , 2.5 100 25 100 ?作推断 由于 z 的值落在拒绝域中，所以拒绝原假设。可以认为这批元件不合格。 当假设检验是单边检验时，其拒绝域方向的确定是沿着备择假设的不等号方向。 此题原假设 H 0 : , , 1000 ，全部 , 都比 H1 中的要大。当 H1 为真时，X 观察值 x 往往偏小， 对于某一正常驻机构数 c，拒绝域为 x , c ，则 P{拒绝H0 H0为真} , P {X , c} , H0 X 1000 c 1000 } , , P, ,1000{ , n , n c 1000 X , , } , P, ,1000{ , n , n 因为 , , 1000 ，所以 X 1000 c 1000 c 1000 X , { , } { , } , n , n , n , n 故上式不等式成立。要控制 P{拒绝H0 H0为真} , a 只需令 c 1000 X , , } , a P, ,1000{ n , n c 1000 X , , 由于 , N (0,1) ， 临 界 值 , za (za , 0) ， 解 得 c , 1000 za ， 即n , n , n , x , 1000 za ，拒绝域为 n x 1000 z , , za , n x 1000 给 定 a , 0.05 ， 则 拒 绝 域 为 z , , z0.05 。 由 此 得 检 验 假 设 , n H 0 : , , 1000, H1 : , , 1000 与检验假设 H 0 : , , 1000, H1 : , , 1000 的拒绝域相同。 一般地，单边假设检验为 H 0 : , , ,0 , H1 : , , ,0 (,0为已知常数) 与单边假设检验为 H 0 : , , ,0 , H1 : , , ,0 类似。拒绝域为 x ,0 z , , za , n 单边假设检验为 H 0 : , , ,0 , H1 : , , ,0 与单边假设检验为 H 0 : , , ,0 , H1 : , , ,0 类似。拒绝域为 x ,0 z , , za , n ------------------------------------------------------------------------------- 4 ( 下 面 列 出 的 是 某 工 厂 随 机 选 取 的 20 只 部 件 的 装 配 时 间 ( min ): 9.8,10.4,10.6,9.6,9.7,9.9,10.9,11.1,9.6,10.2,10.3,9.6,9.9,11.2,10.6,9.8,10.5,10 .1,10.5,9.7。 设装配时间的总体服从正态分布 N (, ,, 2 ), , ,, 2 均未知。是否可以认为装配时间的均值显 著地大于 10(取 a , 0.05 ), 设装配时间 X 服从下态分布 N (, ,, 2 ), , ,, 2 均未知，关于 , 的假设检验，用 t 检验法。 解 检验假设 H 0 : , , 10, H1 : , , 10 与第 3 题分析类似。当原假设为真时，选取检验统计量为 X 10 t , , t (n 1) S n 给定显著性水平 a , 0.05 ，使 P{t , t0.05 (19)} , 0.05 查 t 分布表得临界值为t0.05 (19) , 1.7291，则得拒绝域为 [1.7291, ， ) 根据样本观察值，经计算得样本均值为 x , 10.2 ，样本标准差为 s , 0.5099 ，则 t 的观察 值为 10.2 10 0.2 , 20 t , , , 1.754 0.5099 20 0.5099 由于t , 1.754 , 1.7291，即 t 的观察值落在拒绝域中，所以拒绝原假设，可以认为装配时 间的均值显著地大于 10。 正态总体方差的假设检验 ------------------------------------------------------------------------------- 12(某种导线，要求其电阻的标准差不得超过 0.005(欧姆)。今在生产的一批导线中取样 品 9 跟，测得 s , 0.007 (欧姆)，设总体为正态分布，参数均未知。问在水平 a , 0.05 下 能否认为这批导线的标准差显著地偏大, 解 关于正态总体方差的假设检验。检验假设 H 0 : , , , 0 , 0.005, H1 : , , , 0 , 0.005 因为样本提供的信息为 s , 0.007 ，强有力的支持备择假设，它的对立是原假设。用 X 2 检 验法。 当原假设为真时，选取检验统计量服从 X 2 分布，即 (n 1)S 2 2 , X 2 (n 1) X , 2 0 该统计时是样本的函数，不含任何未知参数。 给定显著性水平 a , 0.05 ，使 2 P{X 2 , X 0.05 (8)} , 0.05 2 查 X 2 分布表得临界值为 X 0.05 (8) , 15.507 ，则拒绝域为 [15.507, ， ) 根据样本标准差 s , 0.007, n , 9 ，得 X 2 的观察值为 2 8 , 0.007 2 X , , 15.68 0.0052 2由于 X , 15.68 落在拒绝域中，所以拒绝原假设，可以认为这批导线的标准显著偏大。 2 关于总体标准差的假设检验，转化为方差的假设检验，得用 X 分布查表，其结论相同。 2 2 此题原假设 H 0 : , , 0.005 ，说明全部, 都比 H1 中的要小，当 H1 为真时 S 的观察值 s 往 2 往偏大，对于某一常数 c ，拒绝为 s , c ，则 P{拒绝H 0 H 0为真} , P ,0.005{S 2 , c} (n 1)S 2 (n 1)c } , , P, ,0.005{ 2 , 02 0 (n 1)S 2 (n 1)c , } , P, ,0.005{ 2 , 02 为了使 P{拒绝H 0 H 0为真} , a 只需令 (n 1)S 2 (n 1)c , } , a P, ,0.005{ 2 , 02 (n 1)S 2 (n 1)c 而 服 从 X 2 分 布 ， 查 X 2 分 布 表 得 , X a2 (n 1) ， 解 出 2 2 0.005 0.0052 X a2 (n 1) 0.0052 X a2 (n 1) 2 。拒绝域为 c , ，即 S , (n 1) (n 1) (n 1)s 2 X 2 , , X a2 (n 1) 0.0052 (n 1)s 2 2 给定显著性水平 a , 0.05 ，则拒绝域为 , X 0.05 (n 1) 。由此可见，检验假设 2 0.005 H 0 : , , 0.005, H1 : , , 0.005 与检验假设 H 0 : , , 0.005, H1 : , , 0.005 类似，有相同的 拒绝域。 ------------------------------------------------------------------------------- 14(测定某种溶液中的水份，它的 10 个测定值给出 s , 0.037% ，设测定值决体为正态分布， , 2 为总体方差，, 2 未知。试在水平 a , 0.05 下检验假设 H 0 : , , 0.04%, H1 : , , 0.04% 解 检 验 假 设 H 0 : , , 0.04%, H1 : , , 0.04% 是 单 边 假 设 检 验 问 题 ， 并 与 检 验 假 设 H 0 : , , 0.04%, H1 : , , 0.04% 类似。用 X 2 检验法。检验假设 H 0 : , , , 0 , 0.04%, H1 : , , , 0 , 0.04% 当原假设为真时，选取检验统计量为 (n 1)S 2 X 2 , , X 2 (n 1) 2 0 给定显著性水平 a , 0.05 ，使 2 P{X 2 , X 0.95 (9)} , 0.05 2 查 X 2 分布表得临界值为 X 0.95 (9) , 3.325 ，则拒绝域为(0，3.325]。 根据 s , 0.037% ， n , 10 ，计算检验统计量 X 2 的观察值为 9 , (0.037%)2 X 2 , , 7.701 (0.04%)2 2 由于 X , 7.701不落在拒绝域中，所以接受原假设，可以认为, , 0.04% 。 -------------------------------------------------------------------------------