等价无穷小在解题中的应用浅析

等价无穷小在解题中的应用浅析 四川师范大学本科 等价无穷小在解题中的应用浅析 学生姓名 付进义 院系名称 与软件科学学院 专业名称 数学与应用数学 班 级 2008级3班 学 号 2008060307 指导教师 尹忠旗 完成时间 2012年5月11日 等价无穷小在解题中的应用浅析 学生: 付进义 指导老师: 尹忠旗 内容摘要 本文主要介绍了几种极限式的计算中应用等价无穷小替换的充分条件。它们 的提出扩大了的等价无穷小替换的使用范围，使之能够更广泛地应用于求函数极 限之中。用等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法，用 它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题，达到化繁为简，化难为易的目 的。 关键词 极限 等价无穷小 等价无穷小替换 Simple discussion on the application of Equivalent Infinitesimal to solving Problem Abstract: In this paper, we discuss mainly some sufficient conditions for getting the limit of function with the equivalent infinitesimal replacement. The introduction of them expands the range of applying the equivalent infinitesimal replacement, being more widely used in calculating the limit of function. Equivalent Infinitesimal replacement is the calculation of the limits in a common, convenient, effective way. It can seek to solve the related problems more simple and technology than traditional ways to achieve the simplifying goal. Key words: limitation, the equivalent infinitesimal, the equivalent infinitesimal replacement I 目 录 1 引言 .................................................................................................................... 1 2 等价无穷小的定义及相关性质 .......................................................................... 2 3 等价无穷小在解题中的应用 .............................................................................. 3 3.1 等价无穷小在减式、加式中的替换 ..................................................... 3 3.2 等价无穷小在复合函数式中的替换 ..................................................... 6 3.3 等价无穷小在幂指函数式中的替换 ..................................................... 7 4 一些更深入地讨论 ........................................................................................... 12 4.1 差函数的等价无穷小替换 .................................................................. 12 4.2 等价无穷小在求积分上限的函数的极限中的应用 ............................ 13 4.3 等价替换的推广及在重要极限中的应用 ........................................... 15 5 结语 .................................................................................................................. 20 参考文献 ................................................................................................................ 20 II 等价无穷小在解题中的应用浅析 1 引言 关于极限的理论与计算是高等数学的重要内容之一。在高等数学的学习中，极限的计算，特别是在未定式的计算中，无穷小是一个重要的概念。但在刚开始 不少同学对于无穷小的认识比较模糊，有些甚至是错误的，特别对学习的时候， 于等价无穷小在极限运算过程中是否可以替换存在疑惑。本文对等价无穷小在解 [1]题中的应用作了一定程度的探讨。我们从一个例题的分析开始。在教材P62中，有这样一道例题: [1]例1 利用等价无穷小量代换求极限 tansinxx,. lim3x,0sinx[2]教材中P62的“注”说到:“在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意:只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代。” 此例若将分子中的与sinx分别用tanx tansinxxxx,,xx,(0,)其等价无穷小替换，则会出现的错误结limlim0,,33xx,,00sinsinxx 果。其原因在于错误地认为无穷小量的代换可以用于极限的代数和的运算。“等价”的含义是在满足一定前提(或条件)下有等同的效果。在适当的条件下，在极限计算中可以互相替换，但不可以理解为“等于”，即等价无穷小之间一般并不相等。我们将会看到，等价的无穷小的差一般说来是一个较它们本身更高阶的无 [1]穷小。根据带有佩亚诺余项的麦克劳林，可以知道 ()n,,ff(0)(0)2nn,fxffxxxox()(0)(0)(),，，，，，L， 2!!n 将与sinx展开，得到 tanx 133， tan()xxxox,，，3 以及 133， sin()xxxox,,，3! 因而求得 11333xxox，，()xx,tansin133!. ,,limlim33xx,,00xxsin2 sinx由上面的解题过程可见，与相差一个关于的3阶无穷小和一个比tanxx 3x高阶的无穷小。 本文通过对等价无穷小定义及其性质的理解，讨论了部分极限计算式中可以进行等价无穷小替换的条件，并讨论了一些简单的应用。 1 2 等价无穷小的定义及相关性质 本节从等价无穷小的定义开始，尝试用常用的等价无穷小、等价无穷小替换定理，来简化某些极限问题的运算。 off设在某(即的某个去心邻域)内有定义，若，则称Ux()xlim()0fx,00xx,0为当时的无穷小量。 xx,0 o若函数在某(即的某个去心邻域)内有界，则称为当时gUx()gxx,x000的有界量。 ，,类似地定义当，，，以及时的无穷小xx,xx,x,，,x,,,x,,00 量与有界量。 2,2xsinxx,1例如，，与都是当时的无穷小量，是当时1cos,xx,01,x 1sinx的无穷小量，而，，为时的无穷小量。又如是当时的sinxx,,x,,2xx 1有界量，是当时的有界量。特别，任何无穷小量也必都是有界量。 x,0sinx 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质: (1)两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积为无穷小量。 (2)无穷小量与有界量的乘积为无穷小量。 [1],,,定义1 设是自变量变化的同一过程中的两个无穷小，且，若,,0 ,,,,~，则称与是等价的无穷小，记作。 ,lim1, , 在上述定义中，我们在极限中没有给出变量的变化趋势，是一种记号简化，它表示了前面提到的几种无穷小的情况。 根据等价无穷小的定义，可以证明，当时，有下列常用等价无穷小关x,0 12ln(1)~，xx系:sin~xx，，arcsin~xx，，，，tan~xxarctan~xx1cos~,xx2 xx,ex,1~axa,1~ln,,0a,0(且为常数)，，()。 (1)1~，,xx, 显然，当x,0时，为无穷小。在常用等价无穷小中，用任意一个无穷小x ,()x代替，等价关系依然成立。 x [1]0fxgxhx(),(),()Ux()定理1(等价无穷小替换定理) 设函数在(即x00的某个去心邻域)内有定义，且有 . fxgxxx()~()(),0 (1)若，则; lim()()fxhxA,lim()()gxhxA,xx,xx,00 2 hx()hx(),,limB(2)若，则limB. xx,xx,00fx()gx() gx(),,,,,证明:(1)lim()()limlim()()1gxhxfxhxAA. xxxxxx,,,000fx() hxhxfx()()(),,,,, (2)limlimlim1BB. ? xxxxxx,,,000gxfxgx()()() 这个定理表明，在求两个无穷小之积(比)的极限时，乘积因子(分子及分母)均可以用各自的等价无穷小进行替换。在一定程度上，这种等价替换可以简化计算。 3 等价无穷小在解题中的应用 本节探讨等价无穷小量替换定理的延拓，它扩大了等价无穷小替换的使用范围。 3.1 等价无穷小在减式、加式中的替换 ,,,,,,,,,,,,,~定理2 设是同一过程中的无穷小，且,,~，，则 ,,,,,,,,~的充分必要条件是 ,lim1,,k. , ,,,,,,~limlim1,,证明 充分性:因为,,~，，所以.又因为 ,,,, ,,,,,limlimlim1klim1,,k,,,,，， ,,,,,, 所以 ,,,,,k1,,,,,,， limlim1,,,,,,,k1,,,,1,,, ,,,,,,,,~即. ,,,,,,,,,,,,,,,,~lim1,必要性:由，得，也就是，lim10,,,,,,,,,,,,,,,,对其通分可得 3 ,,,,,,,,limlim0,,， ,,,,,,,,,, 所以, ,,,1,1,,,,， limlim0,,,,,,11,,,,,, ,,,00,,,limlim0又由limlim1,,，可得，从而可知，lim1k,,1,,,,,,,,,,11,,,,,, ,,,,,,lim1k，又因为limlim，所以lim1,,k. ? ,,,2,,,,,, 由定理2，我们可以看出，在差形式的极限计算中，如果被减式与减式不是等价无穷小，则在计算极限的过程中能够使用它们各自的等价无穷小进行替换， tanx并且这是一个充分必要条件。再回过头来看例1，正是因为，不满足,lim1x,0sinx定理2的条件，因此分子的与不能用等价无穷小替换。 sinxtanxx 我们知道，减去一个数可以看成加上这个数的相反数。为此，可以从上面的定理可得如下结果: ,,,,,,,,,,,,,~推论1 设是同一过程中的无穷小，且,,~，，则 ,,,,,,,，，~lim的充分必要条件是存在且 , ,lim1,,. , 结合定理1以及推论1，我们得到 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,~,,~推论2 设是同一过程中的无穷小，且，， ,,,,,,,~limlim1,,，并且极限存在，，则有 ,,,, ,,,,,,，，limlim,. ,,, [4],,,,,,,,,,,,,,,,,,,推论3(推广的等价无穷小替换定理) 设是同 ,,,,,,,,,,,,~,~,~,~一过程中的无穷小，且，且 4 A,C,，， lim1,,,plim1,,,qBD,, ABCD,,,其中均为常数，则有 ,,ABAB,,,,，，limlim,. ,,CDCD，，,,,, 这是定理1和推论1的直接结果。 ? 证明 定理2、推论1、推论2、推论3说明，对条件行进了适当地加强，我们便能够在加减法运算中使用等价无穷小替换，从而达到简化计算的目的。 2235xxe,elim例2 求. 22,0xsin2x,sin7x 解 当时， x,0 2232522222xxexexxxxx,,1~3,1~5,sin2~2,sin7~7， 并且 223322xx,,,,lim1,lim1， 22xx,,005577xx 故由定理2有， 222235xx35xxe,e(1)(1)ee,,,lim,lim 2222,,x00xsin2x,sin7xsin2sin7xx, 2223522xxx,,,,limlim. ? 222xx,,002755xxx, 23sin，tanxxlim例3 . x,,4arcsinx 3322解 当时，有，，并且 ,,tan~sin~x,,xxxx 2 244xlim1,,,，， arcsin~x,,33xx,x 故由定理2可知, 2323，sin，tan5xxxxlimlim,=. ? x,,x,,444arcsinxx 例2、例3一方面表明了 “整体地” 将分子或分母作等价无穷小替换在求 5 极限式中的简化运算;另一方面也说明在差(或和)式中对其因子做等价无穷小代换也是有可能的，但须注意定理2(或推论1)的条件是否满足。 3.2 等价无穷小在复合函数式中的替换 以下定理强调了等价无穷小在复合函数式中的替换所须满足的条件。 [10][11],()x,()x定理3 设，为(或)时的两个无穷小，且xx,x,,0 ,,()~()xxfu()fuu()~，而为时的无穷小量，且有，则当(或u,0xx,0 fxfx[()]~[()],,)时，。 x,, 当时，因为，利用等价无穷小的传递性证明xx,lim()lim()0,,xx,,0xxxx,,00 得 fxxxfx[()]~()~()~[()],,,,; 当时，因为，利用等价无穷小的传递性得 lim()lim()0,,xx,,x,,xxxx,,00 fxxxfx[()]~()~()~[()],,,,. ? ln(1sin),(0)，,xx需要注意的是，对无穷小，规范的替换是ln(1sin)~sin，xx(0)x,ln(1sin)~ln(1)，，xx(0)x,，但也可以做这样的替换: 只是因为计算式中定理3的条件一般均满足，这样做在计算结果上是正确的，并且这种替换也可以用等价无穷小的传递性来解释。 ln(1sin)，x例4 求。 limx,0tan(sin)x ln(1)~，xx解 (规范解)当x,0时，有，，所以 tan~xx ln(1sin)~sin，xxtan(sin)~sinxx，， 从而 ln(1sin)sin，xxlimlim1,,. xx,,00sin(sin)sinxx ln(1sin)ln(1)，，xxxlimlimlim1,,,另解 (不规范解). xxx,,,000tan(sin)tanxxx 不规范解从结论上正确的原因是由于 ln(1sin)~sin~~ln(1)，，xxxxtan(sin)~sinxx，， ~~tanxx 故以上第二种解法也是正确的。 ? 6 lncosx例5 求. lim2sinxx,0,21 lncosln(cos11)xx,，解 (规范解) limlim,22xsin,,xx00sinln2x,21, cos1x, ,lim2x,0x,ln2 12,x12. ,,,lim2x,0x,ln22ln2 lncosln(cos11)xx,，另解 (不规范解) limlim,22sinxx,,xx002121,, 1，，2ln1,，x,,2，，,lim 20x,x,ln2 12,x2 ,lim2x,0x,ln2 1. ,,2ln2 不规范解从结论上正确的原因是由于 11，，22ln(cos11)~cos1~xx,，,ln1,,，x， ,x~,,22，， 22sin22xx，故以上结果正确。 ? 21~sinln2~ln2~21,,,,xx 3.3 等价无穷小在幂指函数式中的替换 ,vx()1uxux()0,()1,,形如()的函数称为幂指函数，本节尝试用未定式ux() 00,0型、型和型极限式中的无穷小量替换的两个定理及其相关的推论来计算， 同时也讨论了运用这两个定理和相关推论计算极限的例子。 ,13.2.1 型 1,x1型的未定式的极限，我们常通过“配凑”成或者利用对数恒lim(1)，,xe,x0lnxxe,等式结合洛必达法则求出。 ,,,,,,,~引理1 设是同一过程中的两个无穷小，且，则 ,ln(1)~ln(1)，，,,. 7 ,,ln(1)~~~ln(1)，，,,,,证明 因为， 故 ,ln(1)~ln(1)，，,, . ? [6][12],,,,,,,,,,,,,,,~,~是同一过程中的四个无穷小，且，定理4 设 1,,,lim(1)，,,A若，则 11,,,,lim(1)lim(1)，,，,,,A. 证明 由指数函数的连续性和连续函数的极限性质，知 ,11ln(1)，,ln(1)，,limlim,,,,,,,lim(1)，,,lim(1)，,,,eA，， e ,ln(1)，,所以lim存在或为，又由引理1得 ,,,, ,ln(1)ln(1)，，,,limlim,， ,,, 故 11,,,,lim(1)lim(1)，,，,,,A. ? 由定理4的证明过程易得 ,,,,,,,,,,,,,,,~,~推论4 设是同一过程中的两个无穷小，且，若 ,1,lim,,,,,lim(1)，,,elim存在或为无穷，则. ,, 一般地，我们有 fx()fx()gx()lim推论5 设，是同一过程中的两个无穷小，且存在或为无gx() 穷，则 1()fxlimgxgx()()lim[1()]，,fxe. [12],,,,,lim()rx,,,,~推论6 设是同一过程中的无穷小，且，，若 rx()rxrx()(),,，则. lim(1),Alim(1)lim(1),,A，,，,，, ,,,,,,,~证明 因为是同一过程中的无穷小，且，由定理5有 ,lim()ln(1)rx，,rx()lim()ln(1)()rxrx，,,e. ? lim(1)，,,eAlim(1),,,，, 8 须要我们注意的是，在实际计算极限的问题中，推论4可能会更加实用，它 1x可以绕开重要极限在形式上的“配凑”，进而能够很快求出极限值。 lim(1)，,xe,x0 例6 求下列极限: 32cotxxx(1); (2); (3); lim(1,sinx)lim(1，tanx)lim(1)，x,,,x0x0x014xxsinx(4); (5). lim(x，e)lim[1，ln(1，x)],,xx00 ,1型的未定式极限的计算。 分析:本例5个计算题，均为 11cotxtanxx解 (1). ,lim(1，x),lim(1，x),elim(1)，x,0,0,xxx0333x,lim3x,0xxx(2). lim(1，tanx),，,,lim(1)xee,xx,00 2,,22lim,,x,,x,0,2x,,xx,,,,lim(1)xee(3). lim(1,sinx)x,0,x0 4,,44xlim[(1)]xe，,,,,x,0xxx,,xx,，,，,lim[(1)1]xee(4)，又 lim(x，e)x,0,x0 xlim11,,,， x,0x,,(1)e 所以 44,,,,xxexlim[(1)]lim28，,,,,,， ,,,,,,00xxxx,,,, 48xx,e. lim(x，e),x011sinxx(5). ? lim[1，ln(1，x)],lim(1，x),e,,0x0x 21x例7 求. lim(cos),,xx 211,,cos12sin,,解 因为 ， ,,xx2,, 2211,,,,sin~当时，有，所以 x,,,,,,22xx,,,, 2x1,,21lim2,,,x,,,12,,21x,,4x,,2xee,,,,,lim12. ? lim(cos),,2,,x,,xx4,,x 00,03.2.2 型、型 00,0本节主要探讨了型和的未定式中的等价无穷小替换的一些结果的计算 9 问题。 00对于型的未定式，我们一般的做法是利用对数恒等式将它转化为型，0,, 0,进而转化为型或型，再使用洛必达法则。先来看一个典型的例子: 0, x例8 求. lim1x,，,0x lim(ln)xx，xx,0limxe,解 因为， ，,x0 1 lnxx， ,,,lim(ln)limlim0xx，，，xxx,,,00011,2xx 所以 x0. lim1xe,,，,x0 x此例可以作如下推广:，这里只须注意到 lim1x,,0x yx,,1,1xxy,,，， . ? lim()lim()lim()1,,,,,xxy,,，，，000xxy,,, [6][12],,,,,,,,,定理5 设是同一过程中的四个无穷小，且满足 ,,,,,lim,,,,,~,~，又存在且不为0，则 ,,,,limlim,,,. 证明 由指数函数的连续性和连续函数的极限性质，知 ,,,,,lim(ln),lim(ln),,,,,,lim,,elim,,e，， ,,lim(ln)lim(ln),,,,,,,即证. ,,,,,,,lim,lim(ln),,lim(ln),,,,,,,又由存在且不为0，知，从而存在。事实上， ,,,,,, lim(ln)limln,,,,,,,,,,,,, ，，,,,, limlnln,,，,,,,,,,,,，， ,,,,， limlnlimln,,，,,,,，，,,,,, 其中 10 ,,,,,,,,,,,,，所以 limlnlimlimlnlimlnlimlimln10,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,, lim(ln)lim(ln),,,,. ? ,,, 从定理5的证明过程中，我们知道 [6],,,,,,,,,推论7 设是同一过程中的四个无穷小，且满足 ,,,,,,,,~,~limln,,，又存在，则 ,,limlnlimln,,,,,. 例9 求下列函数的极限 ,,xsinxsinx2lim(cos)x(1); (2); (3); limxlim(tanx),，，,,x0x0,x,2 12x,,tanxlim(tanx)(4); (5). lim(),，,x0,xx,2 00解 (1)此为型未定式，故 ,,,x,x,y22lim(cos)x,,,lim[sin()]lim(sin)xy ,,，0y,,,2x,x,22 ,y =1，其中. y,,x,limy，,0y2 00(2)此为型未定式，故 sinxxsinx. limx,limx,limx,1，，，,x,0x,0x0 00(3)此为型未定式，故 xsinx. lim(tanx),limx,1，，,x,0x0 0,(4)此为型未定式，故 1tanx,,tan1xxlim(). ,,,limlim()1xx，，，,x0xx,,00x 0,(5)此为型未定式，故 ,,222yyy,,,,lim(cot)lim(tan)lim1yyy原式y,,x(其中). ? ，，，yxx,,,0002,001,0综上，型、型、型、这三类幂指型未定式的极限，在满足一定条件 11 的前提下，在底数以及指数部分上的无穷小均可以进行替换，为此我们来看一些更一般的结果。 [5]fx(),()xfx()0,定理6 设在的某个去心领域内，与连续，，xx,0 fx()1,,,()~()xxlim[()ln()],xfx且当时，且，又存在，则 xx,0 ,,()()xx. lim()lim()fxfx, ,,,,()lim[()ln()]lim[()ln()]()xxfxxfxx证明 . ?lim()lim()fxeefx,,, [5]fx(),()xfx()0,fx()1,定理7 设在的某个去心领域内，与连续，，xx,0 fx()0,,,()~()xxlim[()ln()],xfx且当时，，，又存在，则 xx,0 fxfx()(). lim()lim(),,xx, fxfxx()lim[()ln()],证明 因， lim(),xe, lim[()ln()]fxx,,lim[()ln()]fxx,又由推论8，， 故 fxfxxfx()lim[()ln()](),. ? lim()lim(),,xex,, lntan4x例10 求lim. x,0lntan7x xtan44xln，ln4lntan4xx0，ln4xx44,lim,lim,lim,1解 lim. ? x,0x,0x,0x,0xtan77x0，ln7lntan7xxln，ln7xx77 须要注意的是，此题若用tan4x~4x，tan7~7xx进行替换得到 lntan4xln4xlimlim，虽然结果上是正确的，但缺乏理论上的依据。 ,x,0x,0lntan7xln7x 通过以上讨论表明，选定合适的等价无穷小是求极限的关键，在适当的条件下，可在四则运算中、复合函数式、幂指数运算中使用等价无穷小的替换，使计算简化。 4 一些更深入地讨论 4.1 差函数的等价无穷小替换 x,0当时，我们借助麦克劳林公式计算了几对常用的等价无穷小的差的等价无穷小: 111333(1); (2); (3); xxx,sin~tansin~xxx,xxx,,tan~623 12 332xxxxx,arctan~(4); (5); (6); xx,,arcsin~xx,，ln(1)~362 1x2(7). exx,,1~2 通过以上的计算过程，我们能得到一个一般性的结论。 [8]命题1 设 112()nnn,,,， ，,faxa，,oxa(())()()fxfafaxafaxa()()()()()(),，,，,n!2! fx()0,fa()0,如果当时，，那么必有。 xa, 该命题的证明见文献[8]。 [8]命题2 设 112()nnn,,, fxfafaxafaxafaxaoxa,，,，,，,，,()()()()()()()()(())n2!! 设 112()nn,,,， pxfafaxafaxafaxa,，,，,，,()()()()()()()()n2!! ()iin,1,2,,fx()0,若()不全为零，且当时，， fa()xa, px()fx()则，当时，与为等价无穷小。 xa, 该命题的证明见文献[8]。 由此命题可以看出，若一个函数为其极限过程中的无穷小，则它的泰勒展开 式(或麦克劳林公式)中前面的多项式部分即为它的等价无穷小，而展开到多少， 常常是由所求极限的分母来决定的。 2x,2cosx,e例11 求. lim40x,x 2x2424,xxxx12,，,，cos~1,~1,xe解 因为 2!42!42! 所以 2x,111442， cos~xe,(),,,xx4!42!12, 因此 21x4,,x21cosx,e12,,,. ? limlim44x,00x,x12x 4.2 等价无穷小在求积分上限的函数的极限中的应用 以下探讨了一类变上限积分的等价无穷小量的一些结论。 ,,()0x,,()xx,0定理8 若当时，，存在， 13 fx()0,,gx()0,,fxgx()~()， ,,()()xx则. ftdtgtdt()~(),,00 ,,()()xxftdtftdt()(),,00证明 ,limlim()()xx,,,,xx0()0,gtdtgtdt()(),,00 ,fxx[()](),, ,lim,()0x,,gxx[()](),, fx[()],,,. ? lim1,()0x,gx[()], 例如，当时， x,0 tantanxx1223， tdttdtx,sin~tan,,003 xx,,0,()0,又当， ,,()()xx,2,. [(1)1]~()，,,tdttdtt,,,,002 x[9],fx()f(0)0,f(0)0,定理9 若连续，，，则当x,0时，的等ftdt(),0 x,,f(0)f(0)22价无穷小为，即. xftdtx()~,022 0证明 根据定理的条件，对比式的极限(此为型的未定式)连续两次使用0洛必达法则，得 xftdt(),fxfx()(),0， ,,,limlimlim1,,,000,xxxf(0),,fxf(0)(0)2x2 即有 x,f(0)2. ftdtx()~,02 [9],,fx()f(0)0,f(0)0,,()x定理10 若连续，，，且连续，，,()0x,0 ,()x,f(0)2则当时，的等价无穷小为，即 xx,ftdt(),()x0,02 ,()x,f(0)2. ? ,ftdtx()~(),02 0证明 根据定理的条件，对比式的极限(此为型的未定式)连续两次使用0洛必达法则，得 14 ,()xftdt(),fx(()),,,fxx(())(),0,lim ,limlimxx,,,,xxxxf(0)0,00fx(0)(),,fxx(0)()(),2,,()x,2 ,,,fxx(())(),,fx(()),,lim， ,,lim1xx,xx,00,,,fx(0)()f(0), 即有 ,()x,f(0)2. ? ,ftdtx()~(),02 mx[9]，，,fx()f(0)0,f(0)0,推论8 若连续，，，则当时，的x,0ftdt(),,,0，， mmm,,xf(0)f(0),,,,22mm，，等价无穷小为，即，其中为正整数。 mxftdtx()~m,m,,0，，22 [9],,fx()f(0)0,f(0)0,,()x推论9 若连续，，，且连续，，则,()0x,0 mm,,()xf(0),,2m，，当时，的等价无穷小为，即 ftdt()xx,,()x0,m,,0，，2 mm,,()xf(0),,2m，，. ,ftdtx()~(),m,,0，，2 22xt(1)edt,,0limsinx0x,例12 求. 3tdt,0 22x6t2xx(1)edt,2,60tdt4limx,30sinx0x,解 . ? 3,,,,limlimlim0xsin44tdt,,,xxx0003sinx,3x0tdt,04 6xarctantdt,0t(1，t)例13 求. lim1,cosxx,02(1,1,t)dt,0 6x1dt66,ln(1，x)x01，t,lim,limlim,48解 原式. ? 2x,x,x,000,x1cos1111t36,(1,cosx),xdt,023682 4.3 等价替换的推广及在重要极限中的应用 ,1本节探讨了一种求型的未定式的简便的方法，将无穷小的等价替换推广到 15 ,,fx()Fx()fx()Fx()所有函数的等价，在与等价，且与等价的条件下，等价替换满足幂指数及对数函数的运算。 fx()[3]fx()gx()fxgxxa()(),(),,定义2 若,，则称与等价，记为。 lim1xa,gx() fx()gx()与是当时的无穷小，须要注意的是，这个定义中并不要求xa, 因此说它是将无穷小的等价到所有函数等价的一个推广。由此定义，立得若fxgxxa()~(),(),fxgxxa()(),(),,，则。同样地，类似于推论1，我们可以平行地得到 gxA()[3],,,,AB定理11 若fxFxgxGx()(),()(),lim，、均不为零，xa,fxB() 则 AFxBGxAfxBgx()()()()，,，. 平行于推论3，我们有 [3]fxFx()(),fx()0,fxFx(),()定理11 若，，一阶可导，且,,fxFx()(),，则 ln()ln()fxFx,. lim()fxA,A证明 (1)若，是非0非1的实数，由极限的四则运算法则和对数函数的连续性、对数运算与极限运算可交换，可知 ln()limln()lnlim()lnlim()fxfxfxfxlim1,,,,，结论成立; ln()limln()lnlim()lnlim()FxFxFxfx lim()fxA,A(2)当，为0，1或时，使用洛必达法则，有, ,ln()()()fxFxfxlimlim1,,,. ,ln()()()Fxfxgx 故 ln()ln()fxFx,. ? 平行于定理4，有 [3]gx()fxFxgxGx()(),()(),,fx()0,定理12 设，，存在，lim()fx,xa ,,fxFx(),()fxFx()(),一阶可导，且，则 16 gxGx()(). lim()lim()fxFx,,,xaxa 证明 由定理11可知 gxgxfx()lim[()ln()]ln()ln()fxFx,，， lim()fxe, gx()lim[()ln()]gxfx因为存在，所以存在，故 lim()fx gxgxfx()lim[()ln()], lim()fxe, ，，GxFx()ln()lim()ln()gxfx,,,,,GxFx()ln()，， ,e lim()ln()GxFx,Gx(),e. ? ,lim()Fx 这里极限值相等是一般函数等价的必要条件。我们可以看到，选定合适的等 价函数是求极限的关键，由以上定理和推论可知，在适当条件下一般函数的等价 替换也满足四则运算、对数运算、幂指数函数运算。 13x例14 求. lim(sin6x，cos2x),x0 sin6x解 因为，故， sin6cos261xxx，,，,,,lim01x,0cos2x 又因为 ,(sin6cos2)6cos62sin2xxxx，,limlim1,,， xx,,00,(61)6x， 所以 ,,(sin6cos2)~(61)xxx，，， 由定理12， 1,,11lim6x,,,x,02x3,,3x3x,，,,lim(16)xee. ? lim(sin6x，cos2x)x,0,x0 ,2sinx例15 求. lim(1，3xtanx),x0 ,3tanxx2解 因为，所以 limlim(3)01,,,,,xxx,,001 2,,2213tan13，,，xxxsinxx,，且， 又因为 2,(13tan)3(tansec)，，xxxxxlimlim, 2xx,,00,(13)6，xx 2tansecxxx， ,limx,02x 17 2tansecxxx,， limlimxx,,0022xx 11， ,，,122 所以 2,,， (13tan)~(13)，，xxx 故 22,lim(3)xx,,2,223xsinxx,0,，,,lim(13)xee. ? lim(1，3xtanx)x,0,x0 ,2x例16 求. lim(cossin)xxx，,0x xxsin2cossin1xxxx，,，解 因为，所以， ,,,lim01x,0cosx 但 ,(cossin)sinsincos1xxxxxxx，,，，,limlim,,， 2xx,,00,(1)22，xx 又因为 22cossin11xxxxkx，,，,，， 因此可以令 ,(cossin)xxx，,，，,sinsincosxxxx1， lim,,1,lim2x,0x,0,(1)，kx2k2kx 1得， k,2 1122,,即，并且， cossin1xxxx，,，(cossin)(1)xxxx，,，22故 ,2x1,,22,1limxx,,,,21,,xx2,02,,2xee. ? lim(cossin)xxx，,，,,lim1,,,0,x0x2,, 13x. 例17 求lim(sin6x，cos2x),x0 sin6x解 因为，所以sin6cos216xxx，,，，且 ,,,lim01x,0cos2x ,(sin6cos2)6cos62sin2xxxx，,limlim1,, xx,,00,(16)6，x 即 ,,(sin6cos2)(16)xxx，,，， 18 所以由定理12可得, 1,,11lim6x,,,x,02x3,,3x3x. ? ,，,,lim(61)xeelim(sin6x，cos2x)x,0,x0 ,2sinx 求. 例18lim(1，3xtanx),x0 13tan，xx解 因为， lim11,,,2x,013，x 所以 2,,2213tan13，,，xxx ,sin,xx, 又因为 2,(13tan)3tan3sec，，xxxxxlimlim, 2xx,,00,(13)6，xx 23tan3secxxx,， limlim xx,,0066xx 11. ,，,122所以 2， (13tan)'(13)'，,，xx由定理可得, 22,lim(3)xx,,213tan，xx32xx,0,,ee. ? ,，lim(13)xlim11,,,2x,0,x013，xx,2sin2例19 求. lim(cosx),0x ,2,xx4(cos)x,,,2解 因为cos1x,，，不存在， sin,,lim,,2x,0,22x1,, ,(cos)sin1xx,2cos1xcx,，limlim1,,,,但，令， 2xx,,00,(1)22，cxcxc 112,,得到，即， c,,(cos)(1)xx,,22由定理可得, 414,,2x,22xlim,,sinx,,12,,x,0,222x,,2xee,,,,lim1. ? lim(cosx),,x,0,0x2,, 2x例20 求x. lim(arctan),，,x, 2解 因为,， arctan1x, 19 ,1021但，且， limlim01,,,,，arctan1xcxx,，,,0221,x,x(arctan),2,,x1， 221,x,(arctan)222,,，x1令，得到， ,,,,,,climlim1xx,，,,011,c,,,,，c(1)c,,,,2xx,, 221,,即， ,,,(arctan)(1)x,,x 212,,,,xlim()212xxx,,,,x,,,,,ee由定理可得原式=lim(1). ? xlim(arctan)x,,,0x,x, fx()通过以上例子，可以发现对于一个极限值确定的函数，在基本初等函 ,,gx()fxgx()~()fxgx()~()满足:，， 数中的任意一类只有唯一的一个函数 x如时，，这样为解题找等价无穷小提供了x,0xxxxe~tan~sin~ln(1)~1，, 方便。 fx()通过举例可以发现对于一个极限值确定的函数，在初等函数中只有唯 ,,gx()fxgxfxgx()(),()(),,一的一个函数满足:. 5 结语 利用等价无穷小替换可使计算极限式化繁为简，变难为易，但在极限式的计算过程中，并不是所有的无穷小都可以用它们各自的等价无穷小替换，这种替换是有条件的，稍不注意就会出现计算错误。因此，在使用等价无穷小量的替换定理时，应做到有理有据。 参考文献: [1] 华东师范大学数学系编. 数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社, 2001.6. 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